【正文】 所以 zzf 2)( ?? 幾個(gè)初等函數(shù)的定義 《機(jī)電控制工程基礎(chǔ)》書面輔導(dǎo)（ 16） 安慶電大 程曦 9 (1) 指數(shù)函數(shù) 由 )s i n( c o s yjyeeeee xjyxjyxz ????? ? ，所以 例 求 jew ?? 1 的實(shí)部、虛部、模和相角。 (3) 冪函數(shù) 性質(zhì) ① ),0( 212121 是復(fù)常數(shù)?????? ?? ? zzzz ② ?z 的每一單值分支在相應(yīng)的 Lnz的解析域內(nèi)也解析，且 1)()( ??????? ???? ?? zzeez L nzL nz (4) 三角函數(shù) 三角函數(shù)的性質(zhì) ① zsin 和 zcos 在復(fù)平上解析，且 zzzeejeezjzjzjzjzs in)(c o sc o s22)(s in??????????????? ????? 《機(jī)電控制工程基礎(chǔ)》書面輔導(dǎo)（ 16） 安慶電大 程曦 10 ② 周期性 ??? ?? ?? zkz zkz c os)2c os ( sin)2sin( ?? ③ 奇偶性 ??? ?? ??? zz zz cos)cos ( sin)sin( ④ 加法定理 ??? ?????212121212121 s ins inc osc os)c os ( s inc osc oss in)s in( zzzzzz zzzzzz ? ⑤ 平方關(guān)系 1cossin 22 ?? zz 拉氏變換的定義及常用函數(shù)的拉氏變換 拉普拉斯變換的定義 滿足狄利赫利條件的函數(shù) f(t)的拉普拉斯變換為 ? ? ?? ???0)()()( dtetftfLsF st 其中 ?? js ?? 為復(fù)數(shù)。 常用函數(shù)的拉普拉斯變換 (1) 單位階躍函數(shù)的拉普拉斯變換 單位階躍函數(shù)為 ??? ??? 00 01)( tttu 根據(jù)拉普拉斯變換的定義，單位階躍函 數(shù)的拉普拉斯變換為 ? ? ? ? ?? ? ?? ? ???00)()(1 dtedtetutLsF stst )0)((110???? ?? sRses est (2) 單位脈沖函數(shù)的拉普拉斯變換 單位脈沖函數(shù)為 ???????????????????1)(000)(dttttt?? 《機(jī)電控制工程基礎(chǔ)》書面輔導(dǎo)（ 16） 安慶電大 程曦 11 根據(jù)拉普拉斯變換的定義，單位脈沖函數(shù)的拉普拉斯變換為 ? ? ? ? 1)()()()()( 0000000?????? ???? ????????? ??? ? dtetdtetdtetdtettLsF sststst ????? (3) 單位斜坡函數(shù)的拉普拉斯變換 單位斜坡函數(shù)為 ??? ??? 000)( tt ttu 根據(jù)拉普拉斯變換的定 義，單位斜坡函數(shù)的拉普拉斯變換為 ? ? ? ? ?? ???0dttetLsF st 0)(11 200?????? ?? ??? sRsdtesest estst 4)指數(shù)函數(shù)的拉普拉斯變換 指數(shù)函數(shù)： ??? ??? ? 000)( te ttu at 根據(jù)拉普拉斯變換的定義，指數(shù)函數(shù) ate? 的拉普拉斯變換為 ? ? ?? ??? ???0][ dteeeLsF statat aseasdte tastsa ?????? ?? ????? 110 0)()( 同理可得 ? ? ? ? aseLsF at ??? 1 (5) 冪函數(shù) )1( ??ntn 的拉普拉斯變換。拉氏變換的齊次性是：一個(gè)時(shí)間函數(shù)乘以常數(shù)時(shí)，其拉氏變換為該時(shí)間函數(shù)的拉氏變換乘以該常數(shù)。 拉氏變換的疊加性是：兩個(gè)時(shí)間函數(shù) )(1tf 與 )(2tf 之和 )(tf 的拉氏變換等于 )(1tf 、 )(2tf 的拉氏變換 )(1sF 、 )(2 sF 之和。 解：根據(jù)歐拉公式 tjte tj ??? s inc o s ?? tjte tj ??? s inc o s ??? 則 )(21c os tjtj eet ??? ??? )(21s in tjtj eejt ??? ??? 又根據(jù)拉普拉斯變換的線性性質(zhì)，有 ? ? ? ? ? ?tjtj eLeLtL ??? ??? 2121c os ? ? )( 1 ?? jseL tj ?? ， ? ? ?? jseL tj ??? 1 所以 ? ?2222 )(2 )()()(2 1)(2 1c os ?? ????? ??? ???????? s ss jsjsjsjstL 同理 ? ?2222 )(2 2)( 121)( 121s i n ??????? ?????????? ssj jjsjjsjtL 例 已知 tetf 21)( ??? ，求 )(tf 的拉氏變換。 《機(jī)電控制工程基礎(chǔ)》書面輔導(dǎo)（ 16） 安慶電大 程曦 13 解：由于 0)0()0()0( )1( ????? ?mfff ??，且 !)()( mtf m ? ，由拉氏變換微分性質(zhì)得 ? ? ? ?)()()( tfLstfL mm ? ，又因 ? ? ? ? smmLtfL m !!)()( ?? 故 ? ? ? ? 1)( !)()( ??? mmm smstfLtfL (3) 積分性質(zhì) 若 ? ? )()( sFtfL ? ，則 ? ?0)()()( ??? ?? tsdttfssFdttfL 例 已知 ?? ktdttf sin)( ， k 為實(shí)數(shù)，求 )(tf 的拉氏變換。該函數(shù)滿足下述條件 f (tτ ) t0 時(shí)， f (t)=0 tτ時(shí) , f (tτ )=0 0 τ t 若 L[f(t)]= F(s)， 則 圖 2－ 4－ 1 L[f (t?)]=es? F(s) ， ）（ 0?? 例 求函數(shù) ??? ???? ??? tttu ,1 ,0)(的拉氏變換。 解：因?yàn)? 22][s in ??? ?? stL 《機(jī)電控制工程基礎(chǔ)》書面輔導(dǎo)（ 16） 安慶電大 程曦 14 故 22)(]s in[ ??? ???? asteL at 例 求下面各圖所示函數(shù)的拉氏變換。 《機(jī)電控制工程基礎(chǔ)》書面輔導(dǎo)（ 16） 安慶電大 程曦 15 解：由初值定理和終值定理可得 )(lim)0( ssFfs ???=asss ??? 1lim=1 ??? ? )(lim)( 0 ssFf s asss ?? 1lim0 =0 例 已知 F(s)= 22 1as ?， 求 f(0)和 f (? )。 例 (1) 拉氏變換的數(shù)學(xué)表達(dá)式為（ ）。 答： ④ 。 ① 1 ； ② ∞ ； ③ 0 。 (3) 已知函數(shù) ttetf 52)( ??? 的拉氏變換為（ ）。 答：依據(jù)線性性質(zhì)和位移性質(zhì)選擇 ① 。 a 0 τ t 圖 ① sa ； ② ses ??1 ； ③ sesa ?? ； ④ sesa? 。所以選擇 ③ 。 ① te t sin2? ； ② tet sin2 ； ③ te t 2sin? ； ④ tet cos2 。 拉氏反變換 。 例 已知)1(10)( ?? sssF 。 （ 2） 通過取 F（ s）的拉氏反變換，求 ??t 時(shí) f(t)的值。 （ 1）利用初值定理求 )0(f 和 )0(f? 的值。 解：（ 1） 0)2(l i m)(l i m)(l i m)0( 20 ?????? ????? s ssFstff sst 因?yàn)? ? ? )0()()0()0()()()( 220fsFsffssFsdtetftfL st ?????????? ??? ???? 兩邊取極限 s→∞ ， 0)0()(l i m)(l i m 20?????????? ?? ?????? ? fsFsdtetf ssts 所以 1)2(l i m)(l i m)0( 222 ????? ???? s ssFsf ss （ 2） F(s)的拉氏反變換為 ttetf 2)( ?? ，則 )21()( 2 tetf t ?? ?? 0)0( 02 ?? ?? ttetf 1)21()0(02 ??? ?? tt tef? 可見，兩種方法結(jié)果相同。 解： 部分分式法： 23)2)(3( 161)( 212 ?????? ???? ?? s Cs Css sss ssF 其中 52)3()2)(3( 1 31 ???? ?? ??ssss sC 53)2()2)(3( 1 22 ???? ?? ?ssss sC 《機(jī)電控制工程基礎(chǔ)》書面輔導(dǎo)（ 16） 安慶電大 程曦 18 所以 )21(53)31(52)( ???? sssF 因此 )(sF 的拉氏反變換為 ? ?tt eesLsLssLsFLtf231111535221533152))2(1(53))3(1(52)()(?????????????????????????????????? 第 2章 輔導(dǎo) 機(jī)械系統(tǒng) 機(jī)械旋轉(zhuǎn)系統(tǒng)如圖所示。當(dāng)力矩作用于系統(tǒng)時(shí)，產(chǎn)生角位移。 解 根據(jù)牛頓第二定律，系統(tǒng)的諸力矩之和為 22s )()()(TT (t ) dt tdJtTt d ??? 式中： J—— 轉(zhuǎn)動(dòng)系統(tǒng)的慣性矩； 扭矩 )()(Ts tKt ?? ， K—— 扭簧的彈性系數(shù)； 黏性摩擦阻尼力矩 dttdBtTd )()( ??， B—— 黏性摩擦系數(shù)。 圖為一具有電阻－電感－電容的無源網(wǎng)絡(luò)，求以電壓 u 為輸入， uc為輸出的系統(tǒng)微分方程式。 編寫控制系統(tǒng)微分方程的一般步驟為： (l) 首先確定 系統(tǒng)的輸入量和輸出量； (2) 將系統(tǒng)劃分為若干個(gè)環(huán)節(jié)，確定每一環(huán)節(jié)的輸入量和輸出量。 (3) 寫出每一環(huán)節(jié) (或元件 )描述輸出信號(hào)和輸入信號(hào)相互關(guān)系的運(yùn)動(dòng)方程式；找出聯(lián)系輸出量與輸入量的內(nèi)部關(guān)系，并確定反映這種內(nèi)在聯(lián)系的物理規(guī)律。在此同時(shí)再做一些數(shù)學(xué)上的處理，如非線性函數(shù)的線性化。使方程簡(jiǎn)化的可能性和容許程度。設(shè)法消去中間 變量，最后得到只包含輸入量和輸出量的方程式。 非線性數(shù)學(xué)模型的線性化 一般運(yùn)動(dòng)方程式化為增量方程式的步驟 以下式為例 )()()()( 22 tkydt tdyBdt tydMtF ??? (1) 確定額定點(diǎn)，寫出靜態(tài)方程式：設(shè)額定點(diǎn)為 (F。 )，靜態(tài)方程式為 Ky。 . (2) 將原運(yùn)動(dòng)方程式中的瞬時(shí)值用其額定點(diǎn)值和增量之和表示 y=y。 +Δ F。 (1) 一元函數(shù)的線性化 設(shè)系統(tǒng)的工作點(diǎn)為（ x0, y0），那么 y=f(x)在額定工作點(diǎn)附近展開成泰勒級(jí)數(shù)為 ??????? 202200 )()(!21)()()(00xxdx xfdxxdx xdfxfyxx 《機(jī)電控制工程基礎(chǔ)》書面輔導(dǎo)（ 16） 安慶電大 程曦 20 因函數(shù) y=f(x)在工作點(diǎn)很小的范圍內(nèi)變化，可忽略二次以上的各項(xiàng)，則方程為 )()()()( 00000xxkyxxdx xdfxfyx?????? 這就是非線性元件或系統(tǒng)的線性化數(shù)學(xué)模型。工作點(diǎn)不同，得到線性化微分方程的系數(shù)也不同。 (3) 線性化后的運(yùn)動(dòng)方程