【正文】 利用一個 結(jié) 構(gòu)元素去探測一個圖像，通過目標(biāo)圖像的形態(tài)變換實現(xiàn)結(jié)構(gòu)分析和特征提取的目的。本論文圍繞數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué) 圖像處理方法 ， 介紹了形態(tài)學(xué)在 擊中或擊不中變換、圖像的細(xì)化和粗化、圖像重構(gòu)和圖像平滑方面 的基本 應(yīng)用 ，重點 對 各種 形態(tài)學(xué)圖像邊緣檢測算法 做了仿真實現(xiàn)，并和傳統(tǒng)邊緣檢測算法做比較，最后對結(jié)果進(jìn)行了分析。 image processing。 1964 年法國的 Matheron 和 Serra 在積分幾何的研究成果上，將數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)引入圖像處理領(lǐng)域，并研制了基于數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的圖像處理系統(tǒng) [1]。數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)蓬勃發(fā)展，由于其并行快速，易于硬件實現(xiàn)，已引起了人們的廣泛關(guān)注。 Sinha 和 Dougherty 于 90 年代初將模糊數(shù)學(xué)引入數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)領(lǐng)域，形成模糊數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)。集合的交、并運算 分別由凸的交、并運算代替，從而分別形成模糊腐蝕和模糊膨脹。 此外， Koskinen[3]等還提出了另一種數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)方法 ——軟數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)。權(quán)值與結(jié)構(gòu)元素有關(guān)，并由核心和軟邊界兩大部分組成。舒昌獻(xiàn)、莫玉龍等對基于軟化形態(tài)學(xué)的邊緣檢測算子的性能也進(jìn)行了分析和比較。模糊軟數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)將模糊數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)和軟數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)結(jié)合起來，可根據(jù)圖像的拓樸結(jié)構(gòu)，合理選擇模糊集合運算算子及結(jié)構(gòu)元素核心、軟邊界的定義域，并通過改變反映結(jié)構(gòu)元素與圖像間匹配程度的參數(shù) K 的值調(diào)整圖像處理的輸出結(jié)果。形態(tài)學(xué)的應(yīng)用覆蓋了圖像處理的幾乎所有領(lǐng)域，包括文字識別、醫(yī)學(xué)圖像處理、圖像編碼壓縮、視覺檢測、材料科學(xué)以及機(jī)器人視覺等，不勝枚舉。形態(tài)學(xué)圖像處理的基本思想，是利用一個稱作結(jié)構(gòu)元素的 ―探針 ‖收集圖像的信息。數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)基于探測的思想，與人的視覺特點有類似之處。 數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)是一種非線性濾波方法。數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)可以用來解決抑制噪聲、特征提取、邊緣檢測、圖像分割、形狀識別、紋理 分析，圖像恢復(fù)與重構(gòu)、圖像壓縮等圖像處理問題。迄今為止，還沒有一種方法能夠像數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)那樣既有堅實的理論基礎(chǔ)，簡潔、樸素、統(tǒng)一的基本思想，又具有如此廣泛的實際應(yīng)用價值。顯然，這并不是一句簡單的褒獎。數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)是一門建立在嚴(yán)格數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ)上的學(xué)科 [5]，其基本思想和方法對圖像處理的理論和技術(shù)產(chǎn)生了重大影響。事實上，數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)已經(jīng)構(gòu)成一種新型的圖像處理方法和理論，形態(tài)學(xué)圖像處理已成為計算機(jī)數(shù)字圖像處理的一個主要研究領(lǐng)域。一些形態(tài)學(xué)的算法，已經(jīng)做成了計算機(jī)芯片，許多研究成果已經(jīng)作為專利出售，其影響已波及到與計算機(jī)圖像處理有關(guān)的各個領(lǐng)域，包括圖像增強(qiáng)、分割、恢復(fù)、邊緣檢測、紋理分析、顆粒分析、特征生成、骨架化、形狀分析、壓縮、成分分析及細(xì)化等諸多領(lǐng)域。所以，對數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的理論研究是非常有意義的。經(jīng)典的信號處理方法主要是基于線性系統(tǒng)的理論、傳統(tǒng)的信號與系統(tǒng)的概念及 Fourier 分 析，并廣泛地運用于不同的科學(xué)與技術(shù)領(lǐng)域中 [4]。 近幾十年發(fā)展起來的數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)從理論和方法上彌補(bǔ)了這一缺憾?；跀?shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的圖像處理技術(shù)是一種采用集合的概念表示圖像、非線性疊加方式描述圖像的非線性系統(tǒng)技術(shù)，稱之為形態(tài)系統(tǒng)， 它廣泛地應(yīng)用于生物醫(yī)學(xué)和電子顯微鏡圖像的分析以及數(shù)字圖像處理和計理工大學(xué)畢業(yè)論文 3 算 機(jī)視覺等領(lǐng)域，并已發(fā)展成為一種新型的圖像處理方法和理論。 本文結(jié)合目前的研究進(jìn)展，對數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的理論研究及其應(yīng)用進(jìn)展進(jìn)行了綜合性闡述。數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)可以通過本身的運算性質(zhì)實現(xiàn)對噪聲的抑制，還可以通過對結(jié)構(gòu)元素的調(diào)整實現(xiàn)各種場合條件下的應(yīng)用，且容易用硬件實現(xiàn)，所以利用數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)進(jìn)行圖像處理已 經(jīng)漸漸發(fā)展為與線性方法并行的主流方向。數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)起源于巖相學(xué)對巖石結(jié)構(gòu)的定量描述工作，近年來在數(shù)字圖像處理和機(jī)器視覺領(lǐng)域中得到了廣泛的應(yīng)用，形成了一種獨特的數(shù)字圖像法系方法和理論。用于描述數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的是集合論，因此可以用一個統(tǒng)一且強(qiáng) 大的工具來處理圖像處理中所遇到的問題，它利用形態(tài)學(xué)基本概念和運算，將結(jié)構(gòu)元靈活的組合分解，應(yīng)用形態(tài)變換達(dá)到了分析問題的目的。比如在圖像 恢復(fù)處理方面，基于數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的形狀濾波器可借助于先驗的幾何特征信息，利用形態(tài)學(xué)算子就能有效地濾除噪聲，還可以保留圖像中原有的信息； 另外， 基于數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的邊緣信息提取處理優(yōu)于基本微分運算的邊緣提取算法，它對噪聲不像微分算法那樣敏感，且提取的邊緣也較平滑。 數(shù)學(xué)形 態(tài)學(xué)是一種非線性濾波方法 [6]。它首先處理二值圖像 ， 數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)將二值圖像看成是集合 ， 并用結(jié)構(gòu)元素來探察?；镜臄?shù)學(xué)形態(tài)學(xué)運算是將結(jié)構(gòu)元素在圖 像 范圍內(nèi)平移，同時施加交、并等基本的集合運算。在此基礎(chǔ)上，眾多學(xué)者進(jìn)行了大量、深入的研究，提出了一系列新的數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)理論。結(jié)構(gòu)元素對數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的運算結(jié)果具有決定性的作用，結(jié)合實際應(yīng)用背景和期望設(shè)計合理的結(jié)構(gòu)元素是數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)研究的重點之 —。數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)實質(zhì)上是一類非線性濾波器，最基本的是開、閉濾波器。 3．快速算法?？焖偎惴ǖ难芯恐荚诮Y(jié)合實際背景，優(yōu)化計算方法，提高運算速度。數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)非常適合對形狀描述，將數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)應(yīng)用于目標(biāo)基圖像編碼與運動景 物描述是當(dāng)前的研究熱點之一。彩色圖像包含更豐富的信息，也有特殊的性質(zhì)，研究彩色圖像的數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)處理與分析方法是形態(tài)學(xué)研究內(nèi)容之一。形態(tài)小波包含了目前幾乎所有已知的線性和非線性小波，構(gòu)成了統(tǒng)一的非線性小波變換框架。 改善數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的通用性，增強(qiáng)其適應(yīng)性，結(jié)合其他領(lǐng)域的最新應(yīng)用進(jìn)展門發(fā)展數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)理論和方法，拓展其應(yīng)用領(lǐng)域，是數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)重要研究內(nèi)容。結(jié)構(gòu)元素是一個可以在圖像上平移、且尺寸比圖像小的集合 [7]。數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的實質(zhì)是通過圖像集合與結(jié)構(gòu)元素間的相互作用來提取有意義的圖像信息，不同的結(jié)構(gòu)元素可以提取不同層面的圖像信息。 圖 21 二值圖像形態(tài)學(xué)的基本思想 數(shù)字圖像的表示及反射平 移 在形態(tài)學(xué)中，二值數(shù)字圖像可以用集合 A 來表示。其中 a 表示元素， A ， B 表示集合。一幅二值圖像可以看成是 x 和 y 的一個二值函數(shù)，形態(tài)學(xué)理論把二值圖像看成是前景像素的集合，集合的元素屬于 2Z 。例如，若 A 和 B 是二值圖像，則BAC ?? 仍是一幅二值圖像，若 A 和 B 中相應(yīng)的像素是前景像素，則 C 中的這個像素也是前原始圖像 移位、交、并等集合運算 結(jié)構(gòu)元 處理算法 輸出圖像 理工大學(xué)畢業(yè)論文 6 景像素。 )}(),(),(),(|),{( BAyxByxAyxyxC 和或或 ???? （ 22） 還有兩個廣泛應(yīng)用于形態(tài)學(xué)的附加定義，在集合中 定義如定義 1 和定義 2 所示。 },|{)( AazaccA z ???? （ 23） 定義 2： 集合對于原點的反射，稱為 B 的反射，表示為 B? ， 其 定義 如式（ 24）所示。 圖 22 平移和反射示意圖 二值圖像的腐蝕和膨脹運算 膨脹和腐蝕變換是建立在集合的和與差基礎(chǔ)上的，是所有復(fù)合形態(tài)變換或形態(tài)分析的基礎(chǔ) [8]。 對集合 A 和 B ，使用 B 對 A 進(jìn)行膨脹，用 BA? 表示， 其定義如式（ 25）所示。 A 被 B 膨脹是所有位移 z 的集合，這樣 zB)?( 和 A至少有一個元素是重疊的。 })(|{ 空集????? AzBzBA ? （ 26） 膨脹的直觀解釋是：將結(jié)構(gòu)元素 B 做映像后，在圖像上 A 移動，當(dāng) A 與 B 的映像有交集的時候， B 的映像的原點所經(jīng)過的所有的點構(gòu)成的集合就 是 B 膨脹 A 的結(jié)果；腐蝕的直觀解釋是：當(dāng)集合 B 完全包含在集合 A 中時， B 的原點位置的集合就是用 B 腐蝕 A 的結(jié)果 。圖 24[9]理工大學(xué)畢業(yè)論文 7 給出了膨脹運算的例子，其中 (a)是二值圖像 A ； (b)是結(jié)構(gòu)元素 B ； (c)是結(jié)構(gòu)元素 B 的映像；(d)是 B 膨脹 A 后的結(jié)果，深色的部分就是相對原圖擴(kuò)大的部分。 圖 23 二值圖像膨脹示意圖 圖 24 二值膨脹運算結(jié)果 對集合 A 和 B ，使用 B 對 A 進(jìn)行腐蝕，用 BA? 表示， 其 定義 如式（ 27）所示。 B 平移 z 后得到的圖像仍包含于 A 。一般地，如果原點在結(jié)構(gòu)元素的內(nèi)部，則腐蝕后的圖像為輸入圖像的一個子集，這就是稱作 ―腐蝕 ‖的原因；如果原點在結(jié)構(gòu)元素的外部，那么腐蝕后的圖像可能不在輸入圖像的內(nèi)部?？梢姼g運算使得圖像區(qū)域收縮變小了。 圖 26 二值腐蝕運算的結(jié)果 二值形態(tài)膨脹和腐蝕運算 的性質(zhì) 1. 對偶性 如式（ 28）所示。 BABABABAAA ??????????? , （ 29） BABABABABB ??????????? , （ 210） 3. 遞減（增）性 如式（ 211）所示。 4. 交換律 如式（ 212）所示。 5. 結(jié)合律 如式（ 213）和式（ 214）所示。這在實際應(yīng)用中對提高算法效率和硬件實現(xiàn)意義極大。 ,)(,)( tBtABAttBtABAt ?????? （ 215） 理工大學(xué)畢業(yè)論文 9 7. 平移不變性 如式（ 216）和式（ 217）所示。這符合實際的要求，因為當(dāng)同一目標(biāo)出現(xiàn)在圖像的不同位置時，對它們的分析不應(yīng)因位置差異而不同。 BBABA ??? )(? （ 218） 用結(jié)構(gòu)元素 B 對集合 A 進(jìn)行開操作就是用 B 對 A 腐蝕，然后用 B 對結(jié)果進(jìn)行膨脹。圖中給出了利用圓盤對一個矩形先腐蝕后膨脹所得到的結(jié)果。 BBABA ???? )( （ 220） 圖 28 為閉運算的示意圖，閉運算是先膨脹后腐蝕，也可以利用對偶性，即沿圖像的外 圖 28 二值圖像閉運算示意圖 邊緣填充或滾動結(jié)構(gòu)元素，閉運算磨光了凸向圖像內(nèi)部的尖角，即對圖像外部濾波。比較 (a)和 (b)可以看到，開運算完全刪除了不能包含結(jié)構(gòu)元素的對象區(qū)域，平滑了對象的輪廓，斷開了狹窄的連接，去掉了細(xì)小的突出部分。閉運算具有填 充物體內(nèi)細(xì)小空洞，連接鄰近物體和平滑邊界的作用。 BABABABA CCCC ?? ???? )()( ， （ 221） 2．?dāng)U展收縮性 如式（ 222）所示。 BABABABAAA ????????? ,?? （ 223） CABACABACBCCB ??????? , ??? （ 224） 4．冪等性 如式（ 225）所示。 理工大學(xué)畢業(yè)論文 11 xBABxAxBABxA ???????? )()(,)( ?? （ 226） 開、閉運算是由腐蝕和膨脹組成的二次運算，因此具有與腐蝕和膨脹相類似的性質(zhì)。 灰度圖像形態(tài)學(xué) 隨著數(shù)字成像技術(shù)的發(fā)展和數(shù)字圖像處理技術(shù)應(yīng)用范圍的擴(kuò)展，對二值圖像的處理已經(jīng)不能滿足數(shù)字圖像處理日新月異的變化需要，而對高分辨率 圖像的處理已成為圖像工程中的迫切需要解決的問題?；叶刃螒B(tài)學(xué)是二值形態(tài)學(xué)的推廣，研究的主要對像是灰度圖像。所以在介紹灰度形態(tài)變換之前，先介紹一些與之相應(yīng)的概念。 )()( xzfzfx ?? （ 227） 將信號，豎直移動 y ，稱為偏移，記為 ))(( zyf ? ， 其 定義 如式（ 228）所示。 yxzfzyf x ???? )())(( （ 229） 假設(shè) g 和 f 分別定義在域 ][gD 和 ][fD 上的兩個信號，如果（ 1） ][][ fDgD ? ；（ 2）對][gDx?? ，有 )()( xfxg ? ，則稱 g 在 f 下方，記為 fg?? 。 )()(? xfxf ??? （ 232） 圖 210 表示了一個信號的移位 、 平移及相應(yīng)的形態(tài)學(xué)平移。如果 x 在 g 的定義域內(nèi)，但在 f 的定義域外， 理工大學(xué)畢業(yè)論文 12 圖 210 信號的移位、平移及相應(yīng)的形態(tài)學(xué)平移 那么，定義 )())(( xgxgf ?? 。如圖 211 所示。如圖 212 所示，信號的反射是通過先對縱軸反射，然后對橫軸反射得到的。 理工大學(xué)畢業(yè)論文 13 利用結(jié)構(gòu)元素 b 對信號 f 的灰度膨脹記為 bf? ，其 定義如式 233 所示。這里限制 )( xs? 和 )( yt? 在 f 的定義域之內(nèi)，類似于二值膨脹定義中要求兩個運算集合至少有一個 (非零 )元素相交。膨脹灰度圖像的結(jié)果是，比背景亮的部分得到擴(kuò)張，而比背景暗的部分受到收縮。 })(|)()(m a x { [))(( bf DxDxsxbxsfsbf ??????? 和 （ 234） 在此利用了結(jié)構(gòu)元素的反射，求將信號限制在結(jié)構(gòu)元素的定義域內(nèi)時，上推結(jié)構(gòu)元素使其原點超過信號時最小值，即為該點的膨脹結(jié)果。 利用結(jié)構(gòu)元素 b 對信號 f 的灰度腐蝕記為 bf? ，其定義 如式（ 235）所示。這里限制 )( xs? 和 )( yt? 在 f 的定義域之內(nèi)，類似于二值膨脹定義中要求兩個運算集合至少有一個 (非零 )元素相交。膨脹灰度圖像的結(jié)果是，比背景暗的部分得到擴(kuò)張，而比背景暗的部分受到收縮。 })(|)()(m i n { [))(( bf DxDxsxbxsfsbf ??????? 和 （ 236） 從幾何角度講，為了求出信號被結(jié)構(gòu)元素在點 x 腐蝕的結(jié)果，可以在空間滑動這個結(jié)構(gòu)元素，使其原點與 x 點重合，然后上推結(jié)構(gòu)元素，使其處于信號下方所能達(dá)到的最大值，即為該點的腐蝕結(jié)果。否則腐蝕在該點 沒有定義。其中 (1)是結(jié)構(gòu)元素； (2)是原始信號； (3)是灰度腐蝕后的結(jié)理工大學(xué)