【正文】 25 2023/3/26 20 11200 0 . 0 7 0 1 82850NWN? ? ?11110 0 . 0 5200nfN? ? ?111111 39 .5niiyyn ???? ? ?1 221 1 1111 16 24 .7 221niis y yn ?? ? ?? ?2 105y ?3 165y ?4 24y ?22 ?23 ?24 ?同理，求得： 2023/3/26 21 ???41?hhh yNY? ? ? ?442 2 2 2 8111? 5 . 9 3 1 0hh h h hhh hfv Y N W v y N sn???? ? ? ???? ?? 23208vY??? ??sY? ?? 2 0 9 6 5 0 2 2 3 2 0 8t s Y? ? ? ??Y2023/3/26 22 三、對(duì)總體比例的估計(jì) ? 總體比例 P的估計(jì)為： ? 估計(jì)量的性質(zhì) p W pst h hhL???1 性 質(zhì) 1： 對(duì)于一般的分層抽樣 ， 如果 是 的無(wú)偏估計(jì) （ ） ， 則 是 的無(wú)偏估計(jì) 。 2)當(dāng) ，即 ， 分別比估計(jì)的精度不低于聯(lián)合比估計(jì)的精度。 2023/3/26 32 ( ) 0hRR??hRR?22( ) 2 ( ) 0h x h h y h x h h x hR R S S S R S???? ? ? ???( ) 0hRR?? hRR? 2 221( 1 )( ) ( ) ( ) 0L hhR C R S h x hh hWfV y V y R R Sn??? ? ? ? ??( ) 0hRR??2h x h x hhy h y hR R S SRSS????4）當(dāng) 且 ， 或 且 ， 聯(lián)合比估計(jì)的精度要高于分別比估計(jì)的精度。 2023/3/26 33 ( ) 0hRR??2h x h x hhhy h y hR R S SRSS????( ) 0hRR??2h x h x hhhy h y hR R S SRSS????12x h hhy h hSXSY? ??第四節(jié) 回歸估計(jì)量及其性質(zhì) ? 與比估計(jì)相似 ， 將回歸估計(jì)的思想與技術(shù)用于分層隨機(jī)樣本時(shí) ， 同樣有兩種可行的辦法 : ? 先“回歸”后“加權(quán)” ,此時(shí)所得的估計(jì)量稱為 分別回歸估計(jì) ； ? 先“加權(quán)”后“回歸” ,這時(shí)所得的估計(jì)量稱為 聯(lián)合回歸估計(jì) 分別回歸估計(jì) ? 定義 分別回歸估計(jì) 是指在分層隨機(jī)抽樣中 ,先在每層中對(duì)層均值或?qū)涌偤妥龌貧w估計(jì) ,然后再對(duì)各層的回歸估計(jì)按總體層權(quán)進(jìn)行加權(quán)平均。討論分兩種情形 : 事先給定各層的回歸系數(shù) β h 與不能事先給定各層的回歸系數(shù) β h 。因?yàn)楫?dāng)各層的回歸系數(shù)為常數(shù)時(shí) ,根據(jù)回歸估計(jì)的性質(zhì) , E ( ????? ?? ??) = ?????, 自然有E ( ????? ?? ??) = ∑?? = ????W h E ( ????? ?? ??) = ∑?? = ????W h ?????= ???成立。 同時(shí) , 當(dāng)各層的回歸系數(shù) β h 為事先給定的常數(shù)時(shí) , 還有 V ( ????? ?? ??) = ∑?? = ??????????( ?? ????)????( ???? ????+ ?????????? ???? 2 β h S xyh ) βh 若 β h 不能事先設(shè)定 , 則將 β h 取為第 h 層總體回歸系數(shù) B h 的最小二乘估計(jì) b h , b h 即為樣本回歸系數(shù) : b h =∑?? = ??????( ???? ?? ?????)( ???? ?? ?????)∑?? = ??????( ???? ?? ?????)?? 當(dāng) β h 取為 b h 時(shí) , 分別回歸估計(jì)量是有偏的 , 但當(dāng)每層的樣本量 n h 都比較大時(shí) , 估計(jì)的偏倚可以忽略 , 此時(shí) y?lrs的方差近似為 : V ( ????? ?? ??) ≈ ∑?? = ??????????( ?? ????)???? ???? ???? ?? ?????? 它可以用下面的 v ( y?lrs) 來(lái)估計(jì) : 聯(lián)合回歸估計(jì) 定義 3 . 7 聯(lián)合回歸估計(jì)是指在分層隨機(jī)抽樣中 , 先對(duì) Y?和 X?作分層估計(jì) : ????? ??= ∑?? = ????W h ?????, ????? ??= ∑?? = ????W h ????? 進(jìn)而構(gòu)造總體均值 Y?的聯(lián)合回歸估計(jì)為 : ????? ?? ??= ????? ??+ β ( ??? ????? ??) 總體總量 Y 的聯(lián)合回歸估計(jì)為 : ??＾?? ?? ??=N ????? ?? ?? =N ????? ??+ ?? ( ??? ????? ??) = ??＾?? ??+ β ( X ??＾?? ??) β為事先設(shè)定的常數(shù)時(shí) 當(dāng) β 為常數(shù)時(shí) , 聯(lián)合回歸估計(jì)量 y?lrc和 Y＾lrc均為無(wú)偏估計(jì)。同理 , Y＾lrc是總體總量 Y 的無(wú)偏估計(jì)。 c =∑?? = ????∑?? = ??????( ???? ?? ?????)( ???? ?? ?????)∑?? = ????∑?? = ??????( ???? ?? ?????)?? 當(dāng) B c 用樣本估計(jì) b c 來(lái)代替時(shí) , 有 y?l r c= y?st+b c ( X? x?st) = [ y?st+B c ( X? x?st)] + ( b c B c )( X? x?st) 在式 中 , 中括號(hào)里是總體均值 Y?的無(wú)偏估計(jì)量 , 而 ( b c B c )( X? x?st) 的存在使得此時(shí)的聯(lián)合回歸估計(jì)變成有偏的 , 但當(dāng)樣本量 n 較大時(shí) , 估計(jì)量的偏倚趨于 0 。 ∑i = 1nh[( yhi y?h) bc( xhi x?h)]2 = ∑h = 1LWh2( 1 fh)nh( syh2+ bc2sxh2 2 b c s x y h ) 分別回歸估計(jì)與聯(lián)合回歸估計(jì)的比較 為了簡(jiǎn)單起見(jiàn) , 這里只針對(duì)分別回歸估計(jì)和聯(lián)合回歸估計(jì)的 最小方差 V m i n ( y?lrs) 和 V m i n ( y?lrc) 進(jìn)行比較。 當(dāng)回歸系數(shù)需要由樣本進(jìn)行估計(jì)時(shí) , 如果各層的樣本量不太小 , 而且各層的回歸系數(shù)之間的差異較大 , 采用分別回歸估計(jì)較為適宜 。 如果各層的回歸系數(shù)差別不是太大 , 而且每層的樣本量 n h 不是相當(dāng)大 , 聯(lián)合回歸估計(jì)可能更保險(xiǎn)一些。抽樣按照一般職員層與高管層進(jìn)行分層隨機(jī)抽取。同時(shí)還知道一般職員層人員總數(shù)N1=390名 ,該類職員進(jìn)入公司時(shí)工資總額為 X1=5 523 965元 。經(jīng)過(guò)分層隨機(jī)抽樣調(diào)查所得的數(shù)據(jù)如表 3—5所示。 表 3 — 5 某公司職員工資總額調(diào)查數(shù)據(jù) 一般職員層 ( h =1 ) 高管層 ( h =2 ) i x hi y hi i x hi y hi 1 8 000 19 200 1 26 250 64 750 2 16 500 34 800 2 22 750 46 000 3 10 500 22 950 3 20 000 41 500 4 15 550 34 400 4 29 400 80 250 5 18 000 38 350 5 37 500 87 500 6 16 500 37 800 6 23 250 49 625 7 14 250 31 650 7 31 500 79 500 8 13 500 32 550 8 34 200 83 500 9 15 000 36 050 9 33 000 82 250 10 10 200 27 450 10 35 540 85 500 11 15 000 35 750 12 15 750 36 750 13 13 750 33 250 14 21 240 44 875 15 10 750 21 300 注 : x hi 代表第 h 層第 i 個(gè)職員剛進(jìn)入公司的工資收入 。 解 : 首先根據(jù)表 3 — 5 中的調(diào)查數(shù)據(jù) , 計(jì)算得出表 3 — 6 中的相關(guān)統(tǒng)計(jì)量的值。( 2 ) 分別估計(jì)的效果好于聯(lián)合估計(jì)的效果 , 原因在于 R＾1與R＾2之間 ( b 1 與 b 2 之間 ) 有一定差別。 而差估計(jì)雖然標(biāo)準(zhǔn)差相對(duì)較大 ， 但它卻是 無(wú)偏的 ，均方誤差并不一定大 ， 所以仍然有采用的價(jià)值。 ? 在 比估計(jì) 中 ， 當(dāng)各層樣本量都較大時(shí) ， 分別比估計(jì)與聯(lián)合比估計(jì)近似無(wú)偏 ； 當(dāng)某些層的樣本量不夠大 ， 而總樣本量較大時(shí) ,聯(lián)合比估計(jì)近似無(wú)偏。 ? 當(dāng) Y與 X高度相關(guān)時(shí) ,分別比估計(jì)、聯(lián)合比估計(jì)、分別回歸估計(jì)以及聯(lián)合回歸估計(jì)等估計(jì)等產(chǎn)生的估計(jì)量 都是有效的 。 在這種情況下 ， 采取比估計(jì)尤其是聯(lián)合比估計(jì)也許更保險(xiǎn) (3)如果各層的樣本量都比較大 ,同時(shí)每層的比估計(jì)或回歸估計(jì)也比較有效 （ 即 ρh均比較大 ） ,而且各層的 Rh之間 （ 或 βh之間 ） 差異較大 ,則此時(shí)分別估計(jì)優(yōu)于聯(lián)合估計(jì) ,估計(jì)量的方差更小 (4) 如果各層的樣本量不大 ,而且各層的 Rh之間 (或 βh之間 )差異較小 ,則采用聯(lián)合估計(jì)較為適宜 (5) 如果各層的 Rh之間 (或 βh之間 )差別不是太大 ,而且并不是每層的樣本量都相當(dāng)大 ,則聯(lián)合估計(jì)可能更保險(xiǎn)一些 ? 如果各層的回歸系數(shù)都接近于 1,則可以采用差估計(jì)。 通常會(huì)有下面的幾種分配思路 :( 1 ) 常數(shù)分配 。( 3 ) 與層權(quán) W h 成比例地分配 。 ? 實(shí)際工作中有不同的分配方法，可以按各層單元數(shù)占總體單元數(shù)的比例分配，也可以采用使估計(jì)量總方差達(dá)到最小、費(fèi)用最小。 這種樣本也稱為自加權(quán)的樣本 。 2023/3/26 66 設(shè)總費(fèi)用函數(shù)為 : C T =c 0 + ∑h = 1Lc h n h ( 3 . 132 ) 式中 , C T 為總費(fèi)用 。 c h 為在第 h 層中抽取一個(gè)單元的平均費(fèi)用。 c h 通常包括調(diào)查員工資、差旅費(fèi)、調(diào)查測(cè)試費(fèi)等費(fèi)用。我們的目標(biāo)是同時(shí)權(quán)衡費(fèi)用和方差兩個(gè)指標(biāo) , 在方差給定時(shí)使費(fèi)用盡可能小 , 或在費(fèi)用給定時(shí)使方差盡可能小 , 因此構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)如下 : 2023/3/26 67 C39。= ( C T c 0 ) V + ∑h = 1LWhSh2N 代表方差中受各層樣本量 n h 影響的部分。最終得出下面的定理 3 . 7 。單元數(shù)較多 ? 費(fèi)用比較省 則對(duì)這一層的樣本量要多分配一些 。 這時(shí) ， 達(dá)到最小 。令 n=500,已知甲地區(qū)共有 20 000戶居民 ,乙地區(qū)共有 50 000戶居民 。同時(shí)對(duì)甲地和乙地每戶的平均抽樣費(fèi)用之比為 2∶ 3,請(qǐng)分