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【正文】 (lnx) 39。 v] 39。 177。 ◇ 推廣 ： [u1177。 un] 39。177。177。177。 （ 2）積： [u = u39。 ◇ 推廣 ： [u1u n] 39。 u n +u1u239。u3+ u1u n39。239。 , ( 0)u u v uv vvv??? ??????2023/09 31 微積分 6． 復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 設(shè) y = f (? (x))，若 u=? (x)在 x0處可導(dǎo)，y=f (u)在 u0=? (x0)處可導(dǎo)，則 )(39。dddd)(39。 2023/09 32 微積分 ※ 求導(dǎo)數(shù)一般方法 ◇ 反函數(shù)求導(dǎo) 若 y = f (x)嚴格單調(diào)、可導(dǎo)， y= f 39。 ◇ 隱含數(shù)求導(dǎo) 對于 F(x, y)=0確定 y是 x的函數(shù)，由 F 39。 2023/09 33 微積分 7． 二階導(dǎo)數(shù)的概念及計算 函數(shù) f (x)的導(dǎo)數(shù) f 39。39。 ※ 可推廣至 n 階導(dǎo)數(shù) ※ 二階以上稱為高階導(dǎo)數(shù) ? ?? ?xf n? ? 22dd39。39。xyxfy ??2023/09 34 微積分 例：求下述函數(shù)導(dǎo)數(shù) 2023/09 35 微積分 復(fù)習(xí)思考題： 1．導(dǎo)數(shù)是怎樣定義的？有怎樣的幾何意義？ 2．什么是導(dǎo)函數(shù)？ 3．導(dǎo)數(shù)存在的必要條件及充分條件是什么？ 4．求函數(shù)導(dǎo)數(shù)可利用哪些方法？ 5．高階導(dǎo)數(shù)的概念是什么？ 2023/09 36 微積分 8． 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 ◇ 切線方程 ◇ 求極限 —— 羅必達法則 ◇ 函數(shù)的單調(diào)性及其判定 ◇ 極值概念及其判定 ◇ 函數(shù)圖像的凹凸性、拐點及其判定 ◇ 函數(shù)的最大值和最小值 2023/09 37 微積分 1）切線方程： 函數(shù) y= f (x)在點 (x0， y0) 的切線方程： yy0= f 39。 2023/09 38 微積分 2）羅必達法則 xxxxxxxxxxxexxxxxxnxxxxsinlim)6(lim)5()ln11(lim)4(lnlim)3(1lim)2(39lim)1(11112023????????????????例：求極限： 定理：當(dāng) x?*時， f (x) ?0(或 ?)， g(x) ?0 (或 ?)，有 注： 非此 2種情形結(jié)論，定理不成立。(x) 0單調(diào)增加； f 39。 用一階導(dǎo)數(shù)判定： ① f 39。(xx0) 0， x0為極大值點； ② f 39。(xx0) 0， x0為極小值點 用二階導(dǎo)數(shù)判定： ① f 39。(x0) 0—— ? x0為極小值點 ② f 39。(x0) 0—— ? x0為極大值點 ③ f 39。(x0) =0 —— ? 不能判定，改用一階導(dǎo)數(shù)或定義判定 2023/09 41 微積分 5）最值 —— 最大值、最小值 存在位置：極值點，邊界點 6）曲線凹凸性、拐點： 依二階導(dǎo)數(shù)符號性判定 ① f 39。(x) 0 —— ?上凹 ② f 39。(x) 0 —— ?下凹 ③ f 39。(x0) =0時， f 39。(xx0) 與 f 39。(xx0) 異號，則 x0為拐點。 2023/09 42 微積分 2023/09 43 微積分 例：求函數(shù) f (x)=2x39x2+12x的單調(diào)區(qū)間、極值。(x)； （ 2）求駐點及無導(dǎo)數(shù)之點 xi； （ 3）按 xi劃分整個定義域區(qū)間； （ 4）列表討論： x f 39。39。39。39。 2023/09 45 微積分 9．微分的概念及微分的應(yīng)用 若 y= f (x)在點 x0的某個鄰域內(nèi)有定義，且 △ y= f (x0 +△ x) － f (x0)=A△ x+o(△ x) 其中 A是與 △ x無關(guān)的常數(shù)， 則稱 y= f (x)在 x0點可微，并稱 A△ x 為 f (x)在 x0點的微分記作 dy| x0 = A△ x。 (x0) △ x 000 00( ) ( ) + ( )39。△ x， 而 y39。 (x0) dx 可微與可導(dǎo)的關(guān)系：函數(shù)可導(dǎo)即可微。( ) d 39。 3xey ? ? ?xexxeey xxx d3ddd 333 23 ???解：2023/09 49 微積分 微分運算法則： 四則運算： （ 1） d(u177。 dv （ 2） d(uv)=udv+vdu （ 3） 2023/09 50 微積分 微分應(yīng)用 —— 近似計算 例：求一個薄球殼（內(nèi)半徑為 5米，殼厚）體積的近似值?！?r =4πr2 dr ， dr =△ r r=5米 ， △ r = ∴ △ v≈dv ≈ ※ 另算： △ v=v1v0 = v=4π(r13 r03) /3 ≈ △ y= △ f (x) ≈ f 39。(x0)△ x 2023/09 51 微積分 復(fù)習(xí)思考題： 1．利用導(dǎo)數(shù)可確定函數(shù)曲線切線的什么參數(shù)？ 2．羅畢達法則應(yīng)用條件是什么？ 3．怎樣利用導(dǎo)數(shù)信息繪制函數(shù)圖像？ 4．極值與最值的判定可有哪些辦法？ 5．什么是函數(shù)微分？為何可利用微分進行近似計算？ 2023/09 52 微積分 二、一元函數(shù)積分學(xué) ☆ 不定積分 原函數(shù)與不定積分的概念；基本積分公式； 不定積分的積分方法 ☆ 定積分 定積分的概念；變上限定積分；牛 — 萊公式；定積分應(yīng)用 ； 無窮區(qū)間廣義積分 2023/09 53 微積分 （一）不定積分 1．原函數(shù)與不定積分的概念 在區(qū)間 I上，有 F 39。 f (x)原函數(shù)的全體稱為 f (x)的不定積分，記 且 ? xxf d)(? ?? cxFxxf )(d)(? ?? ?? ?? ?111 d , ( 1 )112 d l n13dln4dxxxxx x x cx x cxa x a cae x e c?????? ? ? ????????????2．基本積分公式 2023/09 54 微積分 3．不定積分性質(zhì)與積分方法 （ 1）性質(zhì) [ ( ) d ] 39。( ) d ( ) d ( ) ( )F x x F x
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