【正文】 3. 復利計算公式是研究經濟效果，評價投資方案優(yōu)劣的重要工具。已知：（ F／ P， 8%， 3） =，則此人在第 5 年末可以獲得復本利和為（ ）元。 2 年后得到的利息 =Pni=1200210%=240（元） （單利） 2 年后得到的本利和 =1200+240=1440（元） 5 年末得到的本利和 =P（ F／ P， 8%， 3） =1440=（元） （復利） (二 )資金時間價值的復利計算公式 現(xiàn)金流量圖 （重要的輔助計算工具） ? 一條向右的帶箭頭的線代表時間軸 。 ? 向上的箭頭表示現(xiàn)金流入 ，向下的箭頭代表現(xiàn)金流出 ，流入流出具有相對性。 〖 補充說明 〗 只有將發(fā)生在各個點的資金量換算到同一時點 ，才能比較大小和相加減 資金時間價值計算的基本公式 〖 數(shù)字記憶 〗 ? 三個值 P(現(xiàn)值 )：表示現(xiàn)在時點的資金額 。 A(年值 )：是指在一定的時期內，以相同的時間間隔連續(xù)發(fā)生的等額收付款項。 (1+i) n=P若第 三 年末一次還本付息，應償還多少萬元 ? 〖解析〗 P→ F F=P(F/P， i， n)=P(1+i)n=100(1+12%)3=140(萬元 ) （ 2）將來 值換算為現(xiàn)值 F→ P 公式 ： )/()1( 1 niFPFiFP n ，????? （ 1— 3） 形象記憶 ： (存款 )已知到期本利合計數(shù)，求最初本金。 孩子小時 定期等額 存入教育基金 ，想到 孩子 一定年齡 （上大學時） 一次性取出一定錢數(shù)，問每月或每年應存入多少錢。 系數(shù)名稱 ： 等額支付現(xiàn)值因數(shù) (P/A， i, n) 〖 2020 真題〗某方案初期投資額為 300 萬元，此后每年年末的作業(yè)費用為 40 萬元。假設基準收益率為 10% ，己知 (P / A,10%,10 ) = 。 〖解析〗 A→ P P=A(P/A,10%,10)=40= 萬元 +300= 萬元 注意：總費用包括初始投資和運營 (作業(yè) )費用 （ 6） 現(xiàn)值換算為年值 P→ A 公式 ： )/(1)1( )1( niPAPi iiPA nn ，???? ??? （ 1— 7） 形象記憶 ： (按揭 )住房按揭貸款，已知貸款額，求月供或年供 系數(shù)名稱 ： 資本回收因數(shù) (A/ P， i， n) 〖例 7〗 某人貸款 20 萬元，分 10 年攤還，年利率為 6%，按月計息，則每月的償還金額為多少 ? 〖解析〗已知 P(現(xiàn)值 )，要求的是 A(年值 ) 〖注意〗計息期 ，已知的是年利率，但求的是月還 款額， i=6%247。 ② 當投資的效果持續(xù)幾十年以上時就可以認為 n→∞，從而應用式（ 1— 9）、（ 1— 10）簡化計算。 〖 2020 真題〗 某地區(qū)用 100 萬元捐款修建一座永久性建筑物，該建筑物每年的維護費用為 2 萬元（折算至年末），除初期建設費用外，其余捐款（用于維護的費用）以 6％的年利率存入銀行 ，以保證正常的維護費用開支，則可用于修建永久性建筑物的資金是（ ）萬元。 〖 2020 真題〗 某永久性投資項目初始投資額為 30 萬元，從第一年起，每年年末可產生凈收益 5 萬元，假設基準收益率為 10%，則項目的凈現(xiàn)值為（ ）萬元。 13 頁 如 F/P 表示已知現(xiàn)值 P 求 將來 值 F； P/F 表示已知 將來 值 F 求 現(xiàn)值 P； P/A 表示已知 A 求 P； A/F 表示已知 F 求 A。 A→ P 與 P→ A 的因數(shù)互為倒數(shù)。 并且：（ P/A， i， n） =（ P/F， i， n）（ F/A， i， n） 即： nnii i )1( 1)1( ? ??= ni)1( 1? ii n 1)1( ?? 同理： (A/P， i， n） =（ A/F， i， n）（ F/P， i， n） 大家還可以根據(jù)規(guī)律自行推導，舉一反三。 但需注意： 大多給定的因數(shù)可直接應用，但有時提供的因數(shù)可能需要變換后再應用。 如想記憶可只記 ? ? ? ?111 nn iF P i A i??? ? ?即可，其余自行推導。而且在題目中如沒有特別說明，都假設現(xiàn)金流發(fā)生在期末，即每年的年末 ，每月月末，每季度季度末等 。 現(xiàn)金流量圖中的 0 點，表示第一 期 的 期 初，其它數(shù) 字 3…n 都表示是這一 計息期 的 期 末 , 一般， 只有初始投資是在第一個計息期的期初，其它年內的投入或支出，都要歸在這一個計息期的期末。 除了第一個計息期外，一筆收入或支出如果發(fā)生在這一 期 的 期初 ，則在現(xiàn)金流量圖中必須表示為上一年的流入或流出中。 〖答案〗 A 〖解析〗 當 P 和 A 時，系列的第一 個 A 是在 P 發(fā)生一個期間后的期末發(fā)生的 當 F 和 A 時，系列的 最后 一個 A 與 F 同時發(fā)生 〖例 9〗 n 0 1 2 3 4 5 ?? n1 A F A A A A A A A A 0 1 2 3 4 5 ?? n P n1 A n 0 1 2 3 4 5 ?? n1 A F 0 1 2 3 4 5 ?? n P n1 16 頁 某建筑機械估計尚可使用 5 年，為更新該機械估計需要 3 萬元，為此打算在今后的 5 年內將這筆資金積蓄起來，若資本的利率為 12%， 每年年初 積蓄多少才行？ 〖解析〗 錯誤現(xiàn)金流量圖 錯誤的計算 正確現(xiàn)金流量圖 第一年年初在零的位置上 本題首先應該利用 F→ P,將第五年末的 F 值（ 3 萬元）折算到第四年末 。 正確的計算 A=F（ P/F， i， n2） （ A/F， i， n1） =3000 （ 1+12%） 1 （ A/F,12%,5） =4216 ? 在三個值之間進行直接的換算 (初級 直接套公式 ) ? 條件不符合公式的假定條件，需進行一定的變換 (中級 套用多個公式換算 ) ? 綜合題，主要是案例分析題，結合運用各知識，需要對題目有一個非常透徹的理解 (高級 ) 第一步，審題。（注意：現(xiàn)金流量圖的三要素 ：大小 (現(xiàn)金數(shù)額 )、方向 (現(xiàn)金流入或流出 )和作用點 (現(xiàn)金發(fā)生的時間點 )。 17 頁 第二步，確定換算關系。題中的條件與公式換算的假定條件是否一致，如不一致，則需調整換算關系式 第四步，檢查一致性。 第五步，計算。 第一步，審題，先畫出現(xiàn)金流量圖 第二步，確定換算關系 A～ F。 第三步，審查條件。將發(fā)生在第 8年的 F1 再換算到第 10 年的位置上，他們之間的關系相當于 P→ F。 ① 年利率與計息期年一致 ② 注意第二次折算時，利率采用最新的利率 第五步，計算 18 頁 ＝ 1000＋ 1000＝ 11661（元） 〖常見錯誤分析〗 錯誤一：未進行條件審查，無第二次換算 F＝ A1（ F/A， 3%， 8）＋ A2（ F/A， 4%， 2） 錯 誤二：第二次換算時，利率未采用變化后利率 F＝ A1（ F/A， 3%， 8） （ F/P， 3%， 2） ＋ A2（ F/A， 4%， 2） 〖例 11〗 投資 24 萬元購置某施工機械，則每年人工費（假設已折算至每年年末）可節(jié)約 6 萬元，設 i=12%，那么，該機械的壽命為幾年以上時這項投資合適？ 〖 解析 〗 該題實際是：幾年的人工費節(jié)約的現(xiàn)值，大于初始投資，則這種投資是合適的。此題中（ P/A， 12%， 5） =，（ P/A， 12%， 6） = 則： ??????n （年） 〖例 12〗 投資 400 萬元購置一棟賓館，則每半年的利潤額為 30 萬元。若基準收益率為 8%，為使該方案有利，則每年利用該設備的收益應大于（ ）萬元。 A. B. C. D. 〖 答案 〗 A 〖 解析 〗 19 頁 ① 先將每年的運行費用 12 萬元（ A1）折現(xiàn)（ P）： P1=12（ P/A， 8%， 2） == 萬元 ② 將設備殘值 8 萬元（ F）折現(xiàn)（ P）： P2=8（ P/F， 8%， 2） =8= 萬元 ③ 該設備收益的現(xiàn)值應為： P=32+－ = 萬元 ④ 將現(xiàn)值 P 折為年值 A，此處，可用因數(shù)（ P/A， 8%， 2） = 的倒數(shù)： A=P247。 = 〖例 13〗 欲進行房地產開發(fā)，需購置土地，假設土地價款支付方 式是：現(xiàn)時點支付 600 萬元，此后，第一個五年每半年支付 40 萬元 。第三個五年每半年支付 80 萬元 。則該土地的價格相當于現(xiàn)時點的值是多少 ? 〖 解析 〗 作法一 P=600+40（ P/A,4%,30%） +20（ P/A,4%,20） (P/F,4%,10)+20（ P/A,4%,10） (P/F,4%,20) 作法 二 P=600+[40（ F/A， 4%， 30） +20（ F/A， 4%， 20） +20（ F/A， 4%， 10） ] （ P/F， 4%， 30） 作法 三 0 100 200 300 400 600 800 0 100 200 300 400 600 800 0 100 200 300 400 600 800 20 頁 P=600+40（ P/A， 4%， 10） +60（ P/A， 4%， 10）（ P/F， 4%， 10） +80（ P/A， 4%， 10）（ P/F，4%， 20） 〖 內容總結 〗 第二節(jié) 單一投資方案的評價 〖 考綱要求 〗 掌握 凈現(xiàn)值、 凈年值、凈將來值、基準收益率、內部收益率、投 資回收期的基本概念，并應用上述概念熟練地進行單一方案的評價。 是投資決策的重要參數(shù) ， 基準收益率一般大于貸款利率 。其實質是（ F→ P）或（ A→ P） 。 實質是（ P→ A）或（ F→ A） 。 實質是（ P→ F）或（ A→ F） 。若基準收益率為 20%，己知：（ P/A， 20%， 20） =，（ P／ F， 20%， 21）=，則該方案的凈現(xiàn)值是（ ）萬元。 ② 把每年凈收益 A= 萬， 折為第 2 年初 第 1 年末 現(xiàn)值 （此處為 A→ P 的轉換，每年的凈收益 萬元是年值 A，是從第 2 年年末開始的，折現(xiàn)后， P 值在第一個 A 值的前一時間點 1 上，即：第 1 年年末，第 2 年年初） P1=A（ P/A,20%,20） == ③ 把 時間點 1 上的 凈收益 繼續(xù) 折為 0 點位置 上的 現(xiàn)值（ 此時為 F→ P 的轉換 ） : P2=P1/（ 1+r） =23 0 1 2 3 4 ?? 20 21 A= F= 22 頁 ④ 把凈殘值折為現(xiàn)值 （ F→ P） : P3=F（ P／ F， 20%， 21） == 所以，凈現(xiàn)值 =+= 即： PW=（ P/A,20%， 20）（ P/F,20%,1） +（ P/F,20%,21） 23= 易錯處 ： ① 將 20 年收益折現(xiàn)時，忘記只折在第 1 年年末，還需要再折算一次，折到 0 點位置 。 ③ 忘記最后減去初始投資 23 萬元 。 評價標準 ： ① PW≥0，說明方案正好達到預定 的投資收益水平，或者尚有盈余，項目可以接受 。 〖 說明 〗 ① 統(tǒng)一方