【正文】 P(1+i)+ P(1+i)i= P(1+i )2 第三年 P(1+i)2 P(1+i)2i P(1+i)2+ P(1+i)2i= P(1+i )3 。 7 頁 第 N 年 P(1+i)n1 P(1+i)n1i P(1+I )n1＋ P(1+i )n1i＝ P(1+i )n 復(fù)利 公式 ： I=P(1+i )n－ P 復(fù)本利和（ F）： F=P(1+i )n 〖例 2〗 將 1000 元存入銀行，年利率為 6%，如果按復(fù)利計(jì)算，則三年后的本利和為多少 ? 〖解答〗 1000(1+6%)3=(元 ) 〖 說明 〗 1. 對比例 1 與例 2 看出： 本金與利率均相同時(shí)，按復(fù)利計(jì) 算的利息要比按單利計(jì)算的利息高，這是由于利息部分也產(chǎn)生利息的原因。 2. 單利沒有完全地反映出資金運(yùn)動(dòng)的規(guī)律性，不符合資金時(shí)間價(jià)值的本質(zhì)，因而通常采用復(fù)利計(jì)算。 3. 復(fù)利計(jì)算公式是研究經(jīng)濟(jì)效果，評價(jià)投資方案優(yōu)劣的重要工具。 〖 2020 真題〗 某人以 l0%的單利借出 l200 元，借期為 2 年，然后以 8%的復(fù)利將上述借出金額的本利和再借出，借期為 3 年。已知：（ F／ P， 8%， 3） =，則此人在第 5 年末可以獲得復(fù)本利和為（ ）元。 正確答案 ： C 答案 解析 ： 本題考核的是單利和復(fù)利的計(jì)算。 2 年后得到的利息 =Pni=1200210%=240（元） （單利） 2 年后得到的本利和 =1200+240=1440（元） 5 年末得到的本利和 =P（ F／ P， 8%， 3） =1440=（元） （復(fù)利） (二 )資金時(shí)間價(jià)值的復(fù)利計(jì)算公式 現(xiàn)金流量圖 （重要的輔助計(jì)算工具） ? 一條向右的帶箭頭的線代表時(shí)間軸 。 8 頁 ? 上面的點(diǎn)代表時(shí)間點(diǎn)，起點(diǎn)為 0，依次為 123…n 。 ? 向上的箭頭表示現(xiàn)金流入 ，向下的箭頭代表現(xiàn)金流出 ，流入流出具有相對性。 ? 箭 頭的長短與資金量值成正比 。 〖 補(bǔ)充說明 〗 只有將發(fā)生在各個(gè)點(diǎn)的資金量換算到同一時(shí)點(diǎn) ，才能比較大小和相加減 資金時(shí)間價(jià)值計(jì)算的基本公式 〖 數(shù)字記憶 〗 ? 三個(gè)值 P(現(xiàn)值 )：表示現(xiàn)在時(shí)點(diǎn)的資金額 。 F(將來 值 )： 也稱為終值，表示 期末的復(fù)本利和 。 A(年值 )：是指在一定的時(shí)期內(nèi)，以相同的時(shí)間間隔連續(xù)發(fā)生的等額收付款項(xiàng)。 ? 兩個(gè)因 素 利率 (i) 計(jì)息期 (n) ? 六種換算 （對應(yīng)資金時(shí)間價(jià)值六公式） 現(xiàn)值換算為 將來 值 P→ F 將來 值換算為現(xiàn)值 F→ P 年值換算為 將來 值 A→ F 將來 值換算為年值 F→ A 年值換算為現(xiàn)值 A→ P 現(xiàn)值換算為年值 P→ A 9 頁 （ 1） 現(xiàn)值換算為 將來 值 P→ F 公式 ： F=P (1+i) n=P (F/P， i， n) （ 1— 2） 形象記憶 ： (存款 )一次存款，到期本利合計(jì)多少 系數(shù)名稱 ： 一次支付復(fù)本利和因數(shù) (F/P， i， n) (F/P， i， n)= (1+i)n 〖例 3〗 某建筑 企業(yè) 貸款 100 萬元 購買施工機(jī)械， 年利率為 12%，按復(fù)利計(jì)息。若第 三 年末一次還本付息，應(yīng)償還多少萬元 ? 〖解析〗 P→ F F=P(F/P， i， n)=P(1+i)n=100(1+12%)3=140(萬元 ) （ 2）將來 值換算為現(xiàn)值 F→ P 公式 ： )/()1( 1 niFPFiFP n ，????? （ 1— 3） 形象記憶 ： (存款 )已知到期本利合計(jì)數(shù)，求最初本金。 系數(shù)名稱 ： 一次支付現(xiàn)值因數(shù) (P/F， i， n) 1( / ) (1 ) nP F i n i? ?， ， 10 頁 〖 注意 〗 ( / )P F i n， ， 與 ( / )F P i n， ， 互為倒數(shù) 〖例 4〗 將一筆資金按年利率 6%（ 以復(fù)利計(jì)息， 下同，除非另有說明） 存入銀行，要在 6 年后本利和為 1000 萬元，則現(xiàn)在應(yīng)存款多少萬元 ? 〖解析〗 F→ P ),/( ???? niFPFP （ 萬元 ） 705%)61( 110 00)1( 1),/( 6 ???????? niFniFPFP （萬元） （ 3） 年值換算為將來值 A→ F 公式 ： ),/(1)1( niAFAiiAF n ?????? （ 1— 4） 形象記憶 ： (存款 )等額零存整取 系數(shù)名稱 ： 等額支付將來值 (終值 )因數(shù) (F/A， i， n) 〖例 5〗 若每年年末 分別按 年利率為 6%存入銀行 10 萬元，則 5 年后的復(fù)本利和為多少元 ? 〖解析〗 A→ F F=A(F/A， i， n)=（ F/A， 6%， 5） =10=(萬元 ) （ 4）將來 值換算為年值 F→ A 公式 ： ),/(1)1( niFAFiiFA n ?????? （ 1— 5） 形象記憶 ： (存款、 孩子教育基金 )已知最后要取出一筆錢，每年應(yīng)等額存入多少錢。 孩子小時(shí) 定期等額 存入教育基金 ，想到 孩子 一定年齡 （上大學(xué)時(shí)） 一次性取出一定錢數(shù)，問每月或每年應(yīng)存入多少錢。 系數(shù)名稱 ： 等額支付償債基金因數(shù) (A/F， i， n) 〖例 6〗 11 頁 某設(shè)備估計(jì)尚可使用 5 年，為此準(zhǔn)備 5 年后進(jìn)行設(shè)備更新，所需資金估計(jì)為 50 萬元，若存款利率為 5%，從現(xiàn)在開始每 年 末均等的存款，則應(yīng)存款 多少 萬元 ? 已知 (A/F， 5%， 5)= 〖解析〗 F→ A A=F(A/F， i， n)=30(A/F， 5%， 5)=30=(萬元 ) （ 5） 年值換算為現(xiàn)值 A→ P 公式 ： )/()1( 1)1( niAPAii iAP nn ，??? ???? （ 1— 6） 形象記憶 ： (設(shè)施維護(hù)基金 )某設(shè)施 以后每年 的維護(hù)費(fèi)用一定 ， 為保障以后每年都能得到這等 額的維護(hù)費(fèi)用 ，問最初一次性需存入多少錢 作為維護(hù)基金 。 系數(shù)名稱 ： 等額支付現(xiàn)值因數(shù) (P/A， i, n) 〖 2020 真題〗某方案初期投資額為 300 萬元，此后每年年末的作業(yè)費(fèi)用為 40 萬元。方案的壽命期為 10年， 10 年后的殘值為零。假設(shè)基準(zhǔn)收益率為 10% ，己知 (P / A,10%,10 ) = 。則該方案總費(fèi)用的現(xiàn)值為 ( )萬元。 〖解析〗 A→ P P=A(P/A,10%,10)=40= 萬元 +300= 萬元 注意：總費(fèi)用包括初始投資和運(yùn)營 (作業(yè) )費(fèi)用 （ 6） 現(xiàn)值換算為年值 P→ A 公式 ： )/(1)1( )1( niPAPi iiPA nn ，???? ??? （ 1— 7） 形象記憶 ： (按揭 )住房按揭貸款，已知貸款額，求月供或年供 系數(shù)名稱 ： 資本回收因數(shù) (A/ P， i， n) 〖例 7〗 某人貸款 20 萬元，分 10 年攤還，年利率為 6%，按月計(jì)息，則每月的償還金額為多少 ? 〖解析〗已知 P(現(xiàn)值 )，要求的是 A(年值 ) 〖注意〗計(jì)息期 ，已知的是年利率，但求的是月還 款額， i=6%247。12=%， n=1012=120， P=20 萬元， A=P(A/P， %， 120)=20=(萬元 ) 12 頁 ※ 特殊情況：永續(xù)年值（ n→ ? ），此時(shí) : iAP? （ 1— 9） i??PA （ 1— 10） 〖 說明 〗 ① 如 果年值一直持續(xù)到永遠(yuǎn)，是相同時(shí)間間隔的無限期等額收付款項(xiàng) 時(shí)，年值 A 與現(xiàn)值 P 之間的計(jì)算可以簡化為上式（ 1— 9）、（ 1— 10）。 ② 當(dāng)投資的效果持續(xù)幾十年以上時(shí)就可以認(rèn)為 n→∞，從而應(yīng)用式（ 1— 9）、（ 1— 10）簡化計(jì)算。 ③ 當(dāng)求港灣、道路以及壽命長的建筑物、構(gòu)筑物等的投資年值或凈收益的現(xiàn)值時(shí)，可用此簡化算法，給問題求解帶來極大方便。 〖 2020 真題〗 某地區(qū)用 100 萬元捐款修建一座永久性建筑物，該建筑物每年的維護(hù)費(fèi)用為 2 萬元（折算至年末），除初期建設(shè)費(fèi)用外，其余捐款（用于維護(hù)的費(fèi)用）以 6％的年利率存入銀行 ，以保證正常的維護(hù)費(fèi)用開支，則可用于修建永久性建筑物的資金是（ ）萬元。 〖答案〗 A 〖解析〗 當(dāng) n 趨于無窮大時(shí)， P=A/i=2/6%=（萬元） 所以，修建永久性建筑物的資金 ==（萬元）。 〖 2020 真題〗 某永久性投資項(xiàng)目初始投資額為 30 萬元，從第一年起，每年年末可產(chǎn)生凈收益 5 萬元，假設(shè)基準(zhǔn)收益率為 10%，則項(xiàng)目的凈現(xiàn)值為（ ）萬元。 A. 5 B. 5 C. 10 D. 20 〖答案〗 D 〖解析〗 當(dāng) n 趨于無窮大時(shí)， P=A/i=5/10%=50（萬元） 凈現(xiàn)值 =凈收益現(xiàn)值 — 初始投資 =5030=20（萬元） 〖 注意 〗 ① 首先分清三個(gè)值 ,知道已知什么求什么 ② 關(guān)于因數(shù) 形如： (F/P， i， n) F/P： 表示經(jīng)濟(jì)活動(dòng)的內(nèi)涵，斜杠右 邊 的表示已知的值，斜杠左邊的表示要求的值。 13 頁 如 F/P 表示已知現(xiàn)值 P 求 將來 值 F； P/F 表示已知 將來 值 F 求 現(xiàn)值 P； P/A 表示已知 A 求 P； A/F 表示已知 F 求 A。 i： 表示利率 n：表示 計(jì)息期 ③ 六轉(zhuǎn)化中： P→ F 與 F→ P 的因數(shù)互為倒數(shù) ，即： (1+i) n與ni)1( 1?互為倒數(shù) 同樣： A→ F 與 F→ A 的因數(shù)互為倒數(shù)。 A→ P 與 P→ A 的因數(shù)互為倒數(shù)。 所以只要記住 P→ F， A→ F， A→ P 的因數(shù)即可。 并且：（ P/A， i， n） =（ P/F， i， n）（ F/A， i， n） 即： nnii i )1( 1)1( ? ??= ni)1( 1? ii n 1)1( ?? 同理： (A/P， i， n） =（ A/F， i， n）（ F/P， i， n） 大家還可以根據(jù)規(guī)律自行推導(dǎo)，舉一反三。 ④ 因數(shù)的作用在于因數(shù)相當(dāng)于一個(gè)計(jì)算的系數(shù)， 可 不必自行計(jì)算，已有現(xiàn)成的表格供使用，在計(jì)算時(shí)可以查表，在考試時(shí) 一般 會(huì)直接告訴因數(shù)。 但需注意： 大多給定的因數(shù)可直接應(yīng)用，但有時(shí)提供的因數(shù)可能需要變換后再應(yīng)用。也有時(shí)提供的因數(shù)不完全，簡單的因數(shù)需自行計(jì)算一下。 如想記憶可只記 ? ? ? ?111 nn iF P i A i??? ? ?即可，其余自行推導(dǎo)。 ① 實(shí)施方案的初期投資發(fā)生在方案的壽命期初 公式默認(rèn)的現(xiàn)金流量圖 ② 方案實(shí)施中發(fā)生的經(jīng)常性收益和費(fèi)用假定發(fā)生在期末 14 頁 事實(shí)上現(xiàn)金流在一年中隨機(jī)地發(fā)生，但是公式默認(rèn)為現(xiàn)金流發(fā)生在每一期的期末。而且在題目中如沒有特別說明，都假設(shè)現(xiàn)金流發(fā)生在期末，即每年的年末 ，每月月末，每季度季度末等 。 1 上的現(xiàn)金流假設(shè)發(fā)生在第 1 個(gè)計(jì)息期的期 末， N 上的現(xiàn)金流假設(shè)發(fā)生在第 n 期期 末。 現(xiàn)金流量圖中的 0 點(diǎn)，表示第一 期 的 期 初，其它數(shù) 字 3…n 都表示是這一 計(jì)息期 的 期 末 , 一般， 只有初始投資是在第一個(gè)計(jì)息期的期初，其它年內(nèi)的投入或支出，都要?dú)w在這一個(gè)計(jì)息期的期末。 ④ 本期的期末為下期的期初 前一期的期末就意味著今期的期初， 例如 1 上的現(xiàn)金流既可看作發(fā)生在第一期的期末，也可看作是發(fā)生在第 2 期的期初。 除了第一個(gè)計(jì)息期外，一筆收入或支出如果發(fā)生在這一 期 的 期初 ，則在現(xiàn)金流量圖中必須表示為上一年的流入或流出中。 〖例 8〗 某建設(shè)項(xiàng)目，建設(shè)期為 3 年，建設(shè)期第一年貸款 400 萬元，第二年貸款 500 萬元，第三年貸款 300萬元，貸款均為年初發(fā)放，年利率為 12%，采用復(fù)利法計(jì)