【正文】 ?? uAuA 是一個(gè)普通集合顯然 )(, UF)()( UFUP ?其中 ， P（ U)是 U的冪集 。：年老；取論域 :],100,0[ BAU ? :給出了它們的隸屬函數(shù)Zadeh ???????????? ?? 10050])550(1[5000)( 12 uuuuA???????????? ? 10025])525(1[2501)( 12 uuuuB25100500 U )(uA1 )(uB 模糊理論的基本概念 模糊集與隸屬函數(shù) 模糊集的表示方法（以有限論域?yàn)槔O(shè)論域 是有限集或可數(shù)集， U上的任一模糊集 A，其隸屬函數(shù)為 （ 1）扎德表示法： （ 2）序偶表示法： （ 3）向量表示法： A ? ? ? ? ? ?1212.nnA x A x A xAx x x? ? ? ?? ?? ? ? ?? ? ? ?? ?? ?1 1 2 2, , , , , , .nnA x A x x A x x A x? ? ? ? ? ? ?? ?12, , , .nA A x A x A x?12{ x , x , ..., x }nU ?{ ( x ) } , i 1 , 2 , ... ni ?模糊集合的表示法 1－ zadeh表示法 論域 U是有限集 ｛ x1, x2, …, xn｝ ,U的任一模糊子集 A， 其隸屬函數(shù)為 μi =A(xi) 模糊子集 A記作 A = ∑i=1n A(xi) / xi “∑i=1n A(xi) / xi”不是分式求和 ， 只是一 符號(hào)而已 。A B A x B x x U? ? ? ? ?? ? ? ? ,.B A x B x x U? ? ? ? ?, ( ),A B F U?① 自反性 ② 反對稱性 ③ 傳遞性 。, BAABBA ???? ., CAC ?是偏序集。 A , F ( )A B U?? ? ? ? ? ? ? ? m a x{A ( u) , B ( u) } , 。B x A x B x x U? ? ? ? ?? ? ? ?1 , .CA x A x x U? ? ? ?? ?,??例 ? ?54321 ,: uuuuuU ?設(shè) 5321uuuuA ????5421uuuuB ???則按以上運(yùn)算定義可得： 54321uuuuuBA???????????54321uuuuu ?????54321uuuuuBA???????????521uuu ???54321uuuuuAC ??????????5421uuuu ???? 模糊理論的基本概念 截集。 而其中包含哪些元素?zé)o法確定 。 但在實(shí)際問題中對于模糊現(xiàn)象常常要做出不模糊的判決 。 這個(gè)橋梁就是 例 1 在一次 “ 優(yōu)勝者 ” 的選拔考試中 ， 10位應(yīng)試者及其成績?nèi)缦卤? 4x6x68應(yīng)試者 成績 1x23578x910x1009235822574804055按 “ 擇優(yōu)錄取 ” 原則挑選。 的元素挑選再將隸屬度先確定閾值 ??? ??? )(),10( ixA時(shí)有出來。 定義 設(shè) 規(guī)定 ，其隸屬函數(shù)為 并稱 為 數(shù) 與模糊集 的乘積。由定義知 ?A ..)( AFuAuuAUu 集屬于水平上，即在時(shí)，當(dāng) ?? ????? ..)( AFuAuuA 集不屬于水平上，即在時(shí)，當(dāng) ?? ??? 具有如下性質(zhì)：的數(shù)積集與 AAF ?? 。 ? ?0 ,1.AA????? 則設(shè) ),( UFA ?,54321 uuuuuAF ?????集設(shè)例如:, 我們得到截集取 ??? ?31 uA ? ? ? , uu? ? ? , uuu? ? ? , uuu? ? ? , uuuuuA ? 集的形式，例如截集寫成將 F??4311uuA ??得集的定義于是按數(shù)乘 ,F3111uA ? uuA ?? .uuuA ??? uuuuA ???? .uuuuuA ?????應(yīng)用分解定理 Ⅰ 構(gòu)成原來的 F集 ? ??? ? AA 1,0?? ? AAAAA ???????? ?????? ???????? ??432433uuuuuu ?????? ?????????? ???543214321uuuuuuuuu ? ???????????321uuu 54uu ???54321uuuuu ?????分解定理的直觀表示如圖所示 2?1)(33 uA??3 )(22 ? )(11 u??U1 )(uA0? ?, 0 , 1 ,F A A ?????推 論 : 已 知 集 的 各 截 集 為有則 ,Uu ?? ? ??? AuuA ?? sup)( 1 2 3 4 5{ , , , , } .U u u u u u?例 設(shè)????????????????????}{},{},{},{},{331531532154321??????uuuuuuuuuuuuuuuA。)( 1 ?uA所以 ,2 值為最大的中的一切含有元素 ??A。0)(,50 0 ????? ? ??xAx 時(shí)當(dāng)。32)(,52320?????????xAx 時(shí)當(dāng) 1)(,53132?????????xAx 時(shí)當(dāng)于是 ?????????????????531323220300)(xxxxxxA如圖所示： )(uA21345132o UF集的模糊度 定義 1 若映射 ]1,0[)(: ?UFd滿足條件 1)(21)(, ????? AduAUu② ③ ① ④ 0)()( ??? AdUPA )()(21)()(, AdBduAuBUu ?????)()(),( cAdAdUFA ?? 的模糊度。 它們反映的現(xiàn)實(shí)是： 條件①表明普通集是不模糊； 條件②和條件③表明，越靠近 ， 是最模糊的，這時(shí)時(shí)尤其是當(dāng) ,)( ?uA )(1)( ??? uAuA c這種模棱兩可的情況是最難決策的； 條件④表明 具有同等的模糊度，與其補(bǔ)集集 cAAF因?yàn)? )()( ??? uAuA c 的距離相等。 模糊統(tǒng)計(jì)與概率統(tǒng)計(jì)的區(qū)別是：若把概率統(tǒng)計(jì)比喻為 “ 變動(dòng)的點(diǎn) ” 是否落在 “ 不動(dòng)的圈內(nèi) ” ， 則可把模糊統(tǒng)計(jì)比喻為 “ 變動(dòng)的圈 ” 是否蓋住 “ 不動(dòng)的點(diǎn) ” （ 2）指派方法 指派隸屬函數(shù)的方法普遍被認(rèn)為是一種主觀方法 ， 它把人們的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)考慮進(jìn)去 。 指派方法 ， 就是根據(jù)問題的性質(zhì)套用現(xiàn)成的某些形式的模糊分布 ， 然后根據(jù)測量數(shù)據(jù)確定分布中所含的參數(shù) 。 （ 4）二元對比排序法 對于有些模糊集，很難直接給出隸屬度，但通過兩兩比較，容易確定兩個(gè)元素相應(yīng)隸屬度的大小。 隸屬程度的思想是模糊數(shù)學(xué)的基本思想，應(yīng)用模糊數(shù)學(xué)方法的關(guān)鍵在于建立符合實(shí)際的隸屬函數(shù)。 實(shí)驗(yàn)次數(shù) n 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 隸屬次數(shù) m 6 14 23 31 39 47 53 62 68 76 85 95 101 隸屬頻率 m/n 表 21 27歲對（青年人）的隸屬頻率 若 n次實(shí)驗(yàn)中覆蓋 27歲的年齡區(qū)間的次數(shù)為 m， 則稱 m/n為 27歲對于（青年人）的隸屬頻率。 上述 F統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)說明了隸屬程度的客觀規(guī)律 . F統(tǒng)計(jì)與概率統(tǒng)計(jì)區(qū)別： 隨機(jī)試驗(yàn)： 是確定的，在每次試驗(yàn)中， A .是隨機(jī)變動(dòng)的基本事件 ? )( APnAA ??? ”的次數(shù)“發(fā)生的頻率 ?F統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)： 是確定的，在每次試驗(yàn)中， ?A次試驗(yàn)做 n 次試驗(yàn)做 n )( 000 uAnAuAu ??? ? ”的次數(shù)“的隸屬頻率對二相 F統(tǒng)計(jì) : },{2 cAAP ?設(shè)有二相集每次 F試驗(yàn)確定一個(gè)映射： 2: PUe ? 是兩個(gè)相反的模糊概念的一次劃分這是對 ,U 滿足與數(shù)中竟選的結(jié)果。 下面根據(jù)年齡特征確定參數(shù) 。 .25?a故選 .2??故選又因?yàn)?30歲作為年輕人是最模糊的概念， 11 ( 30) .25 2， 使 A 于 是? ? ?21 x a1xaA ( x )x 2515?????? ?????? ??? ???可選參數(shù) 4. 借用已有的“客觀尺度” 比如 ， 在論域 U（ 設(shè)備 ） 上定義模糊集 A=“ 設(shè)備完好 ” ， 以“ 設(shè)備完好率 ” 作為隸屬度來表示 “ 設(shè)備完好 ” 這個(gè)模糊集。 在論域 U（ 家庭 ） 上定義模糊集 C=“ 貧困家庭 ” ， 可用恩格爾系數(shù)作為隸屬度來表示家庭貧困程度 。 將這種模糊認(rèn)識(shí)數(shù)量化 ，最后用模糊數(shù)學(xué)方法給出總體排序 ， 這就是模糊二元對比決策 。 ? 可見，關(guān)系也是個(gè)集合。 的程度具有關(guān)系稱為 RyxyxR ,)((關(guān)聯(lián)度 )。,(),( ,),( yxSyxRYXyxSR ?????? )。( 2) ( ) 。( 4) , 。( 6) .ccTTn n n nT T T Tk k k kk k k kccRRRRR O R R O OR E E R E RR R R RR S R S? ? ? ?????????? ? ?若模糊關(guān)系的表示－模糊矩陣 ? 經(jīng)典有限集合上的關(guān)系，可以使用矩陣來表示。 ? 模糊矩陣元素表示關(guān)系的隸屬值。 模糊理論的基本概念 模糊矩陣 有限論域上的模糊關(guān)系可以用模糊矩陣來表示。若 則模糊矩陣變成 Boole矩陣。 1 , 2 , , 。 模糊關(guān)系與模糊矩陣 ? 若給定 X Y上的模糊關(guān)系 O，滿足 則稱 O為 X Y的“零關(guān)系”， 表示零關(guān)系 O的矩陣為零矩陣。 模糊關(guān)系與模糊矩陣 ? 如果給定 X Y上的模糊關(guān)系 R，定義 稱 RT為 R的“倒置關(guān)系” ,表示模糊關(guān)系 RT的矩陣為 R矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣。 定義 設(shè) ，記 ，定義 相等 包含 因此，對任何 總有： , mnAB ? ?? ? ? ? ?,ij ijA a B b?? , 1 , 2 , , 。 1 , 2 , .ij ijB a b i m n n? ? ? ? ?,mnR ???O R E?? 模糊理論的基本概念 模糊矩陣 定義 設(shè) ，定義 并 交 余 定義 設(shè) ，稱模糊矩陣 為 與 的合成，其中 ? ? ? ?,ij ij m nA a B b ? ?? ? ?? ? ,ij ij mnA B a b ???? ? ,ij ij mna b ???? ? ijmnAa ???? ? ? ?,ij ijm s s nA a B b????? ?ij mnB c ??BA ? ?1 .sij ik k jkc a b?????????????????? , SR,),(,),(,),( SzyRyxYyTzx ?????? 若 .SRTSRT ??的合成，記為與稱為則 .),(),(,),(),( SzyRyxYyTzxzxT ???????? 且1 111 ???????? ),(),(,),(),(, zySyxRyzySyxRy 且.)),(),(( 1??? zySyxRy )).,(),((), zySyx