【正文】 ttR yPyy???????111() 444 .92 104 .33PyM odDP?? ? ? ?? ?556 500( 1 )1yI a yy?? ? ?? ?44 4. 92??33 類似地，第二種債券的價格為： 該債券價格對收益率的一階導(dǎo)數(shù)為： 102 100 ( 1 ) 9Py ?? ? ?1012( 1 )dd1ttttR yPyy???????101000( 1 )1yy???? ?58 4. 68??34 于是第二種債券的修正久期為： 債券組合的價格為： 該債券組合的修正久期為： 1212 PPD D DPP? ? ?222() 584 .68 9PyM odDP?? ? ? ?12 165 .72P P P? ? ?35 001e()( ) ( ) ( )mttttttytRtRP mM ac DP P P??? ? ???????????????? ? ? ???()( ) 1 /P y M ac DM odDP y y m?? ? ??? ?0 2PPEffDPy?????馬考勒久期： 修正久期： 有效久期： 001emttttttyP R Rm???????? ? ???????價格： 小結(jié) 36 20( ) 1 1( ) 1( ) ( )mtttP y yC t t RP y P y m m??????? ??? ? ? ??? ???????22001()( ) ( ) ( )mttttttytRt R eP mM ac CP P P y?????????????????? ? ???? ?? ?0202P P PEff CyP??????馬考勒凸度： 凸度： 有效凸度： 37 久期和凸度的綜合應(yīng)用 ? 將債券的價格函數(shù)用泰勒級數(shù)展開，則有 其中 o(y – y0)是關(guān)于 (y – y0)的高階無窮小量 ? 由此可得近似公式： 210 0 0 0 0 02( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )P y P y P y y y P y y y y y?? ??? ? ? ? ? ? ?21% ( ) ( )2PP y yP?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?修 正 久 期 凸 度38 ? 應(yīng)用上式時，恰當(dāng)選擇久期和凸度： ? 修正久期和凸度：名義收益率，固定現(xiàn)金流的資產(chǎn)。 ? 有效久期和有效凸度：名義收益率，固定現(xiàn)金流的資產(chǎn)或利率敏感型現(xiàn)金流的資產(chǎn)。如果年實際收益率為 12%，試計算其價格、馬考勒久期、修正久期和凸度。 ? 用修正久期作近似計算： – % = –% ? 考慮凸度的影響，凸度引起的價格變化為 ? 故市場利率上升 50個基點所導(dǎo)致的價格變動幅度為 221122 ( ) 716 ( % ) 33%Cy? ? ? ? ? ? ?3. 45 92 % 0. 09 33 % 3. 36 59 %? ? ? ?利率上升 50個基點所導(dǎo)致的價格變動幅度 41 債券的價格、馬考勒久期、修正久期和凸度與收益率的關(guān)系 收益率（ %） 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 債券的價格 1778 1623 1486 1364 1257 1161 1076 1000 932 871 馬考勒久期 修正久期 凸度 注 ：均為收益率的減函數(shù)。 在最初的時點上，資產(chǎn)的現(xiàn)值應(yīng)該等于負(fù)債的現(xiàn)值。 可能 超過 負(fù)債的價值。 免疫 （ immunization） 43 ? 如何合理安排資產(chǎn)的結(jié)構(gòu)？免疫策略的條件： 資產(chǎn)的 現(xiàn)值 等于 負(fù)債的現(xiàn)值。 資產(chǎn)的 凸度 大于或等于 負(fù)債的凸度。 45 命題： 如果一個金融機構(gòu)的資產(chǎn)和負(fù)債滿足上述三個條件，那么利率的變化將不會導(dǎo)致金融機構(gòu)的盈余減少。 注意 ： 上述三個條件只能在特定時點上成立，隨著時間的推移，資產(chǎn)和負(fù)債的久期（或凸度）會發(fā)生不同的變化 ( ) 0 , ( ) 0 , ( ) 0S y S y S y? ??? ? ?? ? 2 ()( ) ( ) ( ) 02y S yS y y S y y S y ????? ? ? ? ? ? ?48 例： 某人在 10年以后需要償還一筆 ，按當(dāng)前的市場利率 6%計算，這筆債務(wù)的現(xiàn)值為 1000萬元。 債券 B：面值 1000元，期限為 15年，息票率為 %。 試問債務(wù)人應(yīng)該如何選擇上述三種債券？ 49 ? 在當(dāng)前的市場利率下（ 6%），修正久期： 負(fù)債： ； 債券 A： ； 債券 B： （ 與負(fù)債相同 ） ； 債券 C： 。 （ 1）市場利率不變 ： 購買債券 A，每份債券在第 10年末的價值為 1000 + 67 = 第 10年末可以積累到的總價值為 9510 = 正好等于到期需要償還的債務(wù)。 |10s52 ? 結(jié)論 ：如果市場利率不變，債務(wù)人沒有利率風(fēng)險。假設(shè)購買債券后，市場利率下降到 5%，重新進行上述計算可得下表。 54 0 1500202325003000ABC 結(jié)論 ：實現(xiàn)免疫策略最好的債券是 B。 在其他市場利率條件下，在第 10年的價值 6% 55 ? 免疫策略的另一種選擇 ：構(gòu)造一個債券組合，使其修正久期等于債務(wù)的修正久期。 （ 2）當(dāng)市場利率變化時，組合的價值上升得更多。 ? 完全免疫 （ full immunization）： 在某些情況下，即使當(dāng)平坦的收益率曲線發(fā)生較大的平移，盈余也不會減少。它們的大小關(guān)系如下圖所示。 = + +0 0 0( ) ( )0( ) 0 ( ) e ( ) e e 0t a t b tS A t a B t b L td d dd + 162。 + + =證明（略）： 60 ?上式變形得（展開括號）： ?由條件（ 1）知，第一項為零。231。231。231。令括號中的項為 f (? )，則： 0 0 0( ) ( )( ) e e e e 1a a bt aaSAbbd d d d ddd 輊 驏 247。犏= + + 247。 247。犏 桫臌( ) ( )( ) e e et a t b tS A B Ld d dd + = + 00( ) ( )( ) e eabf a ad d d dd 162。 = = ?0000 ( ) 0 0 f如 果 如 果 如 果 ddd d ddd236。239。239。237。239。 239。0( ) e e ( ) 0atS A fdddd=?故 63 命題： 當(dāng)滿足前述完全免疫的三個條件時，必然會滿足Remington免疫的三個條件。假設(shè)年收益率為 10％。 1020230000 771086 ??A 5 16105100 77108 ? ? ?66 容易看出，負(fù)債的馬考勒久期為 10 資產(chǎn)的馬考勒久期為 完全免疫的第二個條件也得到了滿足。 5 ( 1 .10) 5 16105100 ( 1 .10) 1510 77 108 65. 79 AM ac D??? ? ? ? ???67 如果收益率從 10%變?yōu)?20％，則保險公司的盈余為： 可見，由于保險公司處于完全免疫狀態(tài)，所以收益率的較大變化仍然會導(dǎo)致盈余增加（ 參見下圖 ）。如果實施現(xiàn)金流匹配策略，投資在這三種資產(chǎn)上的資金分別應(yīng)為多少？ 第 1年末 第 2年末 第 3年末 現(xiàn)金流支出 1000 1000 1000 資產(chǎn) 1 50 50 500 x 資產(chǎn) 2 100 300 y 資產(chǎn) 3 200 z 令：投資比例為 x、 y、 z，則有 500 100050 300 100050 100 200 1000xxyx y z??? ???? ? ? ??233xyz??? ??? ??71 ? 現(xiàn)金流匹配策略的特點： 徹底消除了利率風(fēng)險 不容易實現(xiàn)：可能沒有所需期限的資產(chǎn)（債券） 可調(diào)空間很小，一旦實施，就很難調(diào)整債券組合。 如果該公司打算通過現(xiàn)金流匹配策略管理利率風(fēng)險，請計算應(yīng)該如何購買這三種債券？ 年度 1 2 3 4 5 負(fù)債的現(xiàn)金流 4090 6790 3550 36550 5250 73 年度 1 2 3 4 5 5年期債券 5 5 5 5 105 4年期債券 10 10 10 110 2年期債券 20 120 可投資債券的現(xiàn)金流： 年度 1 2 3 4 5 負(fù)債的現(xiàn)金流 4090 6790 3550 36550 5250 負(fù)債的現(xiàn)金流： 74 （ 1） 年度 1 2 3 4 5 （ 2） 負(fù)債的現(xiàn)金流 4090 6790 3550 36550 5250 （ 3） 5年期債券的現(xiàn)金流 250 250 250 250 5250 （ 4） 剩余負(fù)債的現(xiàn)金流 3840 6540 3300 36300 0 （ 5） 4年期債券的現(xiàn)金流 3300 3300 3300 36300 0 （ 6） 剩余負(fù)債的現(xiàn)金流 540 3240 0 0 0 （ 7） 2年期債券的現(xiàn)金流 540 3240 0 0 0 （ 8） 剩余負(fù)債的現(xiàn)金流 0 0 0 0 0 現(xiàn)金流匹配策略的計算過程 ? 5年期債券到期時的本息之和為 105元，故需購買： 5250247。 110 = 330 ? 2年期債券到期時的本息之和為 120元，故需購買： 3240247。 ? 如果通過利率的期限結(jié)構(gòu)，發(fā)現(xiàn)一項資產(chǎn)的定價過高或者過低，就有可能從中獲得無風(fēng)險收益，即套利（ arbitrage）。 0 ( 1 )ttt yCP????77 到期日 年息票率 年實際收益率 債券的價格 1 2% % 2 5% % 3 6% % 4 10% % 5 4% % 6 12% % 7 0% % 8 7% % 9 4% % 10 8% % 表 1：利率的期限結(jié)構(gòu)（由 10種不同到期日的債券組成） 78 %%%%%%%%1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 收益率曲線： 利率隨著投資時期變化而變化的曲線 平價收益率曲線 （ par yield curve）： 債券的息票率等于其收益率時相應(yīng)的收益率曲線。 79 ? 即期利率 （ spot rate） ：從當(dāng)前時點開始計算的未來一定限期的利率水平。 0 (1 )tttt rCP?? ??即期利率 80 例 ： 1年期的即期利率為 %， 2年期的即期利率為 %。 解 ：該債券的價格為 221215 115 15 115 117 .580 2( 1 ) 1 ( 1 ) 2 5tttCPr r r? ? ? ? ? ?? ? ??81 ? 用即期利率計算年金的現(xiàn)值： 2121 1 1...( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) nn na r r r? ? ? ?? ? ?211 2 11 1 11 ...( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) nn na r r r ??? ? ? ? ?? ? ?82 例 ：假設(shè) 1年期、 2年期和 3年期的即期利率分別為 5％、 7％和 9％，請計算一項每年年末支付 100元的三年期年金的現(xiàn)值。 由一年期債券的價格計算 1年期的即期利率 利用這個信息及兩年期債券的價格，計算 2年期的即期利率 以此類推。 84 例： 假設(shè) 1年期和 2年期的即期利率分別為 5％和 ％。求 3年期的即期利率。在該例中，收益率曲線是遞增的，因此即期利率也是遞增的。 例： 如果 1年期的即期利率是 5%， 2年期的即期利率是 %，求其隱含的第一年末到第二年末的遠期利率 f ？ 解： (1 + 5%)(1 + f