84直線、平面平行的判定及其性質(zhì)-在線瀏覽
2025-07-13 12:52本頁面
【正文】 A1B1C1中，E ， F ， G ， H 分別是 AB ， AC ，A1B1， A1C1的中點(diǎn)，求證： (1) B ， C ， H ， G 四點(diǎn)共面； (2) 平面 EF A1∥ 平面 BC HG . 證明 ( 1) ∵ GH 是 △ A1B1C1的中位線，∴ GH ∥ B1C1. 又 ∵ B1C1∥ BC ， ∴ GH ∥ BC ， ∴ B ， C ， H ， G 四點(diǎn)共面 . ( 2) ∵ E 、 F 分別為 AB 、 AC 的中點(diǎn)， ∴ EF ∥ BC ， ∵ EF ? 平面 B C H G ， BC ? 平面 B C H G ， ∴ EF ∥ 平面 B C H G . ∵ A1G//EB ， ∴ 四邊形 A1EBG 是平行四邊形， ∴ A1E ∥ GB . ∵ A1E ? 平面 B C H G ， GB ? 平面 B C H G . ∴ A1E ∥ 平面 B C H G . ∵ A1E ∩ EF ＝ E ， ∴ 平面 E F A1∥ 平面 B C H G . 題型三 線面、面面平行的綜合應(yīng)用 例 3 如圖所示，平面 α ∥ 平面 β ，點(diǎn) A ∈ α ，C ∈ α ，點(diǎn) B ∈ β ， D ∈ β ，點(diǎn) E 、F 分別在線段 AB 、 CD 上，且AE ∶ EB ＝ CF ∶ FD . 求證： EF ∥ β ， EF ∥ α . 證明 ① 當(dāng) AB ， CD 在同一平面內(nèi)時(shí)， 由 α ∥ β ， α ∩ 平面 ABDC ＝ AC ， β ∩ 平面 ABDC ＝ BD ， ∴ AC ∥ BD ， ∵ AE ∶ EB ＝ CF ∶ FD ， ∴ EF ∥ BD ， 又 EF ? β ， BD ? β ， ∴ EF ∥ β . ② 當(dāng) AB 與 CD 異面時(shí)， 設(shè)平面 ACD ∩ β ＝ DH ，且 DH ＝ AC . ∵ α ∥ β ， α ∩ 平面 A C DH ＝ AC ， ∴ AC ∥ DH ， ∴ 四邊形 A C DH 是平行四邊形 . 在 AH 上取一點(diǎn) G ，使 AG ∶ GH ＝ CF ∶ FD ， 又 ∵ AE ∶ EB ＝ CF ∶ FD ， ∴ GF ∥ HD ， EG ∥ BH ， 又 EG ∩ GF ＝ G ， ∴ 平面 EFG ∥ 平面 β . ∵ EF ? 平面 EFG ， ∴ EF ∥ β . 綜上， EF ∥ β . ∵ α ∥ β ， EF ∥ β 且 EF ? α ， ∴ EF ∥ α . 探究提高 面面平行的性質(zhì)定理的應(yīng)用問題，往往涉及面面平行的判定、線面平行的判定與性質(zhì)的綜合應(yīng)用 . 解題時(shí)，要準(zhǔn)確地找到解題的切入點(diǎn)，靈活地運(yùn)用相關(guān)定理來解決問題，注意三種平行關(guān)系之間的相互轉(zhuǎn)化 . 變式訓(xùn)練 3 如圖，三棱柱 ABC — A1B1C1，底面為正三角形，側(cè)棱 A1A ⊥ 底面ABC ，點(diǎn) E 、 F 分別是棱 CCBB1上的點(diǎn)，點(diǎn) M 是線段 AC 上的動(dòng)點(diǎn)， EC ＝ 2 FB . 當(dāng)點(diǎn) M 在何位置時(shí)， BM ∥ 平面 AEF ？ 解 方法一 如圖，取 AE 的中點(diǎn) O ，連接 OF ，過點(diǎn) O 作 OM ⊥ AC 于點(diǎn) M . ∵ 側(cè)棱 A1A ⊥ 底面 ABC ， ∴ 側(cè)面 A1ACC1⊥ 底面 ABC ， ∴ OM ⊥ 底面 ABC . 又 ∵ EC ＝ 2 FB ， ∴ OM ∥ FB //12EC ， ∴ 四邊形 OMB F 為矩形， ∴ BM ∥ OF ， 又 ∵ OF ? 面 AEF ， BM ? 面 AEF . 故
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