橢圓方程及性質(zhì)應(yīng)用-在線瀏覽
2024-09-15 09:10本頁面
【正文】 解得 a=0(舍去 )， a=2(舍去 )， 所以長軸長 a7? ， 2a 2 7.?類型二 弦長及中點弦問題 【 典例 2】 (1)(2022第 2課時 橢圓方程及性質(zhì)的應(yīng)用 【 題型示范 】 類型一 直線與橢圓的位置關(guān)系 【 典例 1】 (1)若直線 y＝ kx＋ 1與焦點在 x軸上的橢圓 總有公共 點，則 m的取值范圍為 ________． (2)判斷直線 l: 和橢圓 2x2+3y2=6是否有公共點 . 22xy 15m?＋6y x 26??【 解題探究 】 (1)中直線 y=kx+1是否恒過定點？若恒過定點，過哪個定點？當點在什么位置時，經(jīng)過該點的直線總與橢圓有公共點？ (2)判斷直線是否與橢圓有公共點，常用什么方法？ 【 探究提示 】 (0,1)，當點在橢圓上或在橢圓內(nèi)部時，經(jīng)過該點的直線與橢圓總有公共點 . ，往往利用判別式的符號進行判斷 . 【 自主解答 】 (1)方法一 :由 消去 y,整理得 (m+5k2)x2+10kx+5(1m)=0, 所以 Δ=100k 220(m+5k2)(1m)=20m(5k2+m1). 因為直線與橢圓總有公共點 , 所以 Δ≥0 對任意 k∈R 都成立 . 因為 m0,所以 5k2≥1 m恒成立 ,所以 1m≤0, 即 m≥1. 又因為橢圓的焦點在 x軸上 ,所以 0m5, 所以 1≤m5. 22y kx 1xy 15m?????????，方法二：因為直線 y＝ kx＋ 1過定點 M(0,1)， 所以要使直線與該橢圓總有公共點，則點 M(0,1)必在橢圓內(nèi)或 橢圓上，由此得 解得 1≤m ＜ 5. 答案： ［ 1,5) 220 m 501 15m??? ???＜ ＜ ，＋ ，(2)由 得 即 Δ = 因此直線與橢圓沒有公共點 . 226y x 2 ,62x 3y 6?????? ???2262 x 3 ( x 2) 6 ,6? ? ?25 x 2 6 x 6 0 .2 ? ? ?? ? 2 52 6 4 6 2 4 6 0 3 6 0 .2? ? ? ? ? ? ? ＜【 延伸探究 】 題 (2)條件不變，問橢圓上是否存在一點，它到 直線 l的距離最大？最大距離是多少？ 【 解析 】 因為直線 l與橢圓 2x2+3y2=6不相交，設(shè)與橢圓相切的 直線 m平行于直線 l，則直線 m的方程為： 由方程組 消去 y得 : 即 由 Δ=0 ，得 或 6y x b,6??226y x b ,62x 3y 6?????? ???225 x 6 b x 3 b 6 0 ,2 ? ? ? ?225 x 2 6 b x 6 b 1 2 0? ? ? ? ，10b 2? 10b,2??當 時，直線 m與橢圓的交點到直線 l的距離最遠，此時 m的方程為 直線 m與直線 l的距離 所以最大距離為 10b2??6 10y x ,62??21022 1 0 5 2 4 2d.761 ( )6???????105 2 42 .7?【 方法技巧 】 直線與橢圓位置關(guān)系的判斷方程 【 變式訓(xùn)練 】 已知橢圓 C： 一個頂點為 A(0， 2). (1)若將橢圓 C繞點 P(1， 2)旋轉(zhuǎn) 180176。 得到橢圓 D，求橢圓 D的方 程 . (2)若橢圓 C與直線 y=kx+m(k≠0) 相交于不同的 M， N兩點，且 |AM|=|AN|，求 m的取值范圍 . 22xy 1,12 4??【 解析 】 (1)由題意得，橢圓 C的對稱中心 (0， 0)關(guān)于點 P(1， 2) 的對稱點為 (2， 4)，且對稱軸平行于坐標軸，長軸、短軸的長 度不變，故將橢圓 C繞點 P(1， 2)旋轉(zhuǎn) 180176。 衡水高二檢測 )橢圓 4x2+9y2=144內(nèi)一點 P(3,2),過點 P的弦恰好以 P為中點 ,那么這弦所在的直線方程為 ( ) +2y12=0 +3y12=0 +9y144=0 +4y144=0 (2)(2022 2, 驗證知 Δ0 成立， 所以直線 l的方程為 xy+2=0或 xy2=0. ? ?2224 m 162m 16( ) ( ) ,5 5 5?? ? ?【 方法技巧 】 直線與橢圓相交有關(guān)弦的問題 ,主要思路是聯(lián)立直線和橢圓的方程 ,得到一元二次方程 ,然后借助一元二次方程的有關(guān)知識解決 ,有時運用弦長公式 ,解題時應(yīng)注意以下幾點 : (1)當弦的兩端點的坐標易求時 ,可直接求出交點坐標 ,再用兩點間距離公式求弦長 . (2)當弦的兩端點的坐標不易求時 ,可用弦長公式 . (3)如果直線方程涉及斜率 ,要注意斜率不存在的情況 . (1)根與系數(shù)的關(guān)系法：聯(lián)立直線方程和橢圓方程構(gòu)成方程組，消去一個未知數(shù)，利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系以及中點坐標公式解決 . (2)點差法：利用端點在曲線上，坐標滿足方程，將端點坐標 分別代入橢圓方程，然后作差，構(gòu)造出中點坐標和斜率的關(guān) 系，具體如下： 已知 A(x1,y1),B(x2,y2)是橢圓 (ab0)上的兩個不同的點， M(x0,y0)是線段 AB的中點，則 2222xy 1ab??221122222222xy1 ,abxy1 ,ab??????? ????①②由① ② ，得
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