【正文】 ( x ) 的單調(diào)區(qū)間與極值． 課前自助餐 授人以漁 自助餐 課時作業(yè) 新課標(biāo)版 高三數(shù)學(xué)（理） 高考調(diào)研 (2) 由 (1) 知， f ( x ) ＝12( x － 5)2＋ 6ln x ( x 0) ， f ′ ( x ) ＝ x － 5 ＋6x＝? x － 2 ?? x － 3 ?x. 令 f ′ ( x ) ＝ 0 ，解得 x1＝ 2 ， x2＝ 3 ，可得 x (0,2) 2 (2,3) 3 (3 ，＋ ∞ ) f ′ ( x ) ＋ 0 － 0 ＋ f ( x ) 極大值 極小值 課前自助餐 授人以漁 自助餐 課時作業(yè) 新課標(biāo)版 高三數(shù)學(xué)（理） 高考調(diào)研 探究 1 掌握可導(dǎo)函數(shù)極值的步驟： (1) 確定函數(shù)的定義域． (2) 求方程 f ′ ( x ) ＝ 0 的根． (3) 用方程 f ′ ( x ) ＝ 0 的根和不可導(dǎo)點的 x 的值順次將函數(shù)的定義域分成若干個小開區(qū)間，并形成表格． (4) 由 f ′ ( x ) ＝ 0 的根左右的符號以及 f ′ ( x ) 在不可導(dǎo)點左右的符號來判斷 f ′ ( x ) 在這個根或不可導(dǎo)點處取極值的情況，此步驟不可缺少， f ′ ( x ) ＝ 0 是函數(shù)有 極值的必要條件． 課前自助餐 授人以漁 自助餐 課時作業(yè) 新課標(biāo)版 福建 ) 已知函數(shù) f ( x ) ＝ x － a ln x ( a ∈ R ) ． ① 當(dāng) a ＝ 2 時，求曲線 y ＝ f ( x ) 在點 A (1 ， f (1 )) 處的切線方程； ② 求函數(shù) f ( x ) 的極值． 【解析】 函數(shù) f ( x ) 的定義域為 (0 ，＋ ∞ ) ， f ′ ( x ) ＝ 1 －ax. ① 當(dāng) a ＝ 2 時， f ( x ) ＝ x － 2ln x ， f ′ ( x ) ＝ 1 －2x( x 0) ， 因而 f (1) ＝ 1 ， f ′ (1) ＝－ 1 ， ∴ 曲線 y ＝ f ( x ) 在點 A (1 ， f (1)) 處的切線方程為 y － 1 ＝－ ( x －1) ，即 x ＋ y － 2 ＝ 0. 課前自助餐 授人以漁 自助餐 課時作業(yè) 新課標(biāo)版 高三數(shù)學(xué)（理） 高考調(diào)研 【答案】 ① x ＋ y － 2 ＝ 0 ② a ≤ 0 時無極值， a 0 時極小值a － a ln a ，無極大值 課前自助餐 授人以漁 自助餐 課時作業(yè) 新課標(biāo)版 e ax 的單調(diào)區(qū)間與極值． 【解析】 f ′ ( x ) ＝ ( x2) ′ eax＋ x2(eax) ′ ＝ ( ax ＋ 2) eax， ① 當(dāng) a ＝ 0 時， f ′ ( x ) ＝ 2 x ， ∴ f ( x ) 的單調(diào)遞增區(qū)間為 (0 ，＋ ∞ ) ， 單調(diào)遞減區(qū)間為 ( － ∞ ， 0) ，在 x ＝ 0 處取極小值． 課前自助餐 授人以漁 自助餐 課時作業(yè) 新課標(biāo)版 高三數(shù)學(xué)（理） 高考調(diào)研 ③ 當(dāng) a 0 時，令 f ′ ( x ) 0 ， ∴ 0 x －2a. ∴ 此時 f ( x ) 的單調(diào)遞增區(qū)間為 (0 ，－2a) ，單調(diào)遞減區(qū)間為 ( －∞ ， 0) 和 ( －2a，＋ ∞ ) ，函數(shù)在 x ＝－2a處取極大值，在 x ＝ 0 處取極小值． 【答案】 增區(qū)間 (0 ，－2a) ，減區(qū)間 ( － ∞ ， 0) 和 ( －2a，＋ ∞ ) 函數(shù)在 x ＝－2a處取極大值，在 x ＝ 0 處取極小值． 課前自助餐 授人以漁 自助餐 課時作業(yè) 新課標(biāo)版 高三數(shù)學(xué)（理） 高考調(diào)研 【解析】 ∵ f ( x ) ＝ x3＋ 3 ax2＋ 3[ ( a ＋ 2) x ＋ 1] ， ∴ f ′ ( x ) ＝ 3 x2＋ 6 ax ＋ 3( a ＋ 2) ． 令 3 x2＋ 6 ax ＋ 3( a ＋ 2) ＝ 0 ，即 x2＋ 2 ax ＋ a ＋ 2 ＝ 0. ∵ 函數(shù) f ( x ) 有極大值和極小值， ∴ 方程 x2＋ 2 ax ＋ a ＋ 2 ＝ 0 有兩個不相等的實根． 即 Δ ＝ 4 a2－ 4 a － 80 ， ∴ a 2 或 a － 1. 【答案】 a 2 或 a － 1 課前自助餐 授人以漁 自助餐 課時作業(yè) 新課標(biāo)版 1 處有極值，且極大值為 4 ，極小值為 1 ，求 a ， b ， c . 【思路】 顯然有 f ′ ( 1) ＝ f ′ ( － 1) ＝ 0. 難點區(qū)分： x 為何值f ( x ) 取得極大值． x 為何值 f ( x ) 取得極小值． 【解析】 f ′ ( x ) ＝ 5 ax4－ 3 bx2＝ x2(5 ax2－ 3 b ) ， 依題意知 x ＝－ 1 ， x ＝ 1 為方程 5 ax2－ 3 b ＝ 0 的兩根． ∴ 5 a ＝ 3 b . ∴ f ′ ( x ) ＝ 5 ax2( x2－ 1) ＝ 5 ax2( x ＋ 1 )( x － 1) ． f ( x ) ＝ ax5－53ax3＋ c . 課前自助餐 授人以漁 自助餐 課時作業(yè) 新課標(biāo)版 高三數(shù)學(xué)（理） 高考調(diào)研 探究 2 已知極值求參數(shù)值或范圍時，關(guān)鍵是利用單調(diào)性判斷出哪個是極大值點，哪個是極小值點． 思考題 2 (1) 已知函數(shù) f ( x ) ＝13x3－ bx2＋ c ( b ， c 為常數(shù) ) ．當(dāng)x ＝ 2 時，函數(shù) f ( x ) 取得極值，若函數(shù) f ( x ) 有三個零點，則實數(shù) c的取值范圍為 ________ ． 課前自助餐 授人以漁 自助餐 課時作業(yè) 新課標(biāo)版 高三數(shù)學(xué)（理） 高考調(diào)研 (2) 已知函數(shù) f ( x ) ＝ x3 － 3 ax 2 ＋ 3 x ＋ 1. ① 設(shè) a ＝ 2 ，求 f ( x ) 的單調(diào)區(qū)間； ② 設(shè) f ( x ) 在區(qū)間 (2,3) 中至少有一個極值點，求 a 的取值范圍． 課前自助餐 授人以漁 自助餐 課時作業(yè) 新課標(biāo)版 高三數(shù)學(xué)（理） 高考調(diào)研 ② f ′ ( x ) ＝ 3 x2－ 6 ax ＋ 3 ＝ 3[ ( x － a )2＋ 1 － a2] ． 當(dāng) 1 － a2≥ 0 時， f ′ ( x ) ≥ 0 ， f ( x ) 為增函數(shù)，故 f ( x ) 無極值點； 當(dāng) 1 － a20 時， f ′ ( x ) ＝ 0 有兩個根 x1＝ a － a2－ 1 ， x2＝ a ＋ a2－ 1 . 由題意，知 2 a － a2－ 1 3 ， (*) 或 2 a ＋ a2－ 1 3 ， (**) (*) 無解， (**) 的解為54 a 53. 因此 a 的取值范圍為 (54，53) ． 課前自助餐 授人以漁 自助餐 課時作業(yè) 新課標(biāo)版 高三數(shù)學(xué)（理） 高考調(diào)研 例 3 (201 4 高三數(shù)學(xué)（理） 高考調(diào)研 (2) 因為 f ′ ( － 1) ＝ 0 ，所以 a ＝12. ∴ f ( x ) ＝ x3－12x2－ 4 x ＋ 2 ， f ′ ( x ) ＝ 3 x2－ x － 4. 令 f ′ ( x ) ＝ 0 ，則 x ＝43或 x ＝－ 1. 又 f (43) ＝－5027， f ( － 1) ＝92， f ( － 2) ＝ 0 ， f (2) ＝ 0 ， 所以 f ( x ) 在 [ － 2,2] 上的最大值、最小值分別為92，－5027. 【答案】 (1) f ′ ( x ) ＝ 3 x 2 － 2 ax － 4 (2) 最大值92 ，最小值－5027 課前自助餐 授人以漁 自助餐 課時作業(yè) 新課標(biāo)版 高三數(shù)學(xué)（理） 高考調(diào)研 思考題 3 已知函數(shù) f ( x ) ＝ ln x － ax ( a ∈ R ) ． (1) 求函數(shù) f ( x ) 的單調(diào)區(qū)間； (2) 當(dāng) a 0 時，求函數(shù) f ( x ) 在 [ 1, 2] 上的最小值． 【解析】 (1) f ′ ( x ) ＝1x－ a ( x 0) ， ① 當(dāng) a ≤ 0 時， f ′ ( x ) ＝1x－ a 0 ， 即函數(shù) f ( x ) 的單調(diào)增區(qū)間為 (0 ，＋ ∞ ) ． 課前自助餐 授人以漁 自助餐 課時作業(yè) 新課標(biāo)版 高三數(shù)學(xué)（理） 高考調(diào)研