【正文】 是 13 億。例如：省略 345900 萬(wàn)后面的尾數(shù)約是 35 萬(wàn)。 4. 大小比較 1. 比較整數(shù)大?。罕容^整數(shù)的大小，位數(shù)多的那個(gè)數(shù)就大，如果位數(shù)相同，就看最高位，最高位上的數(shù)大，那個(gè)數(shù)就大；最高位上的數(shù)相同，就看下一位，哪一位上的數(shù)大那個(gè)數(shù)就大。分?jǐn)?shù)的分母和分子都不相同的，先通分，再比較兩個(gè)數(shù)的大小。 2. 分?jǐn)?shù)化成小數(shù)：用分母去除分子。 3. 一個(gè)最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)，如果分母中除了2和5以外，不含有其他的質(zhì)因數(shù)，這個(gè)分?jǐn)?shù)就能化成有限小數(shù)；如果分母中含有2和5 以外的質(zhì)因數(shù)，這個(gè)分?jǐn)?shù)就不能化成有限小數(shù)。 5. 百分?jǐn)?shù)化成小數(shù)：把百分?jǐn)?shù)化成小數(shù)，只要把百分號(hào)去掉，同時(shí)把小數(shù)點(diǎn)向左移動(dòng)兩位。 7. 百分?jǐn)?shù)化成小數(shù)：先把百分?jǐn)?shù)改寫成分?jǐn)?shù)，能約分的要約成最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)。先用能整除這個(gè)合數(shù)的質(zhì)數(shù)去除，一直除到商是質(zhì)數(shù)為止，再把除數(shù)和商寫成連乘的形式。 3. 求幾個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)的方法是：先用這幾個(gè)數(shù)（或其中的部分?jǐn)?shù)）的公約數(shù)去除，一直除到互質(zhì)（或兩兩互質(zhì)）為止，然后把所有的除數(shù)和商連乘求積，這個(gè)積就是這幾個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)。 （五） 約分和通分 約分的方法：用分子和分母的公約數(shù)（1除外）去除分子、分母；通常要除到得出最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)為止。 三 性質(zhì)和規(guī)律（一）商不變的規(guī)律 商不變的規(guī)律：在除法里，被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)擴(kuò)大或者同時(shí)縮小相同的倍，商不變。 （三）小數(shù)點(diǎn)位置的移動(dòng)引起小數(shù)大小的變化1. 小數(shù)點(diǎn)向右移動(dòng)一位，原來(lái)的數(shù)就擴(kuò)大10倍；小數(shù)點(diǎn)向右移動(dòng)兩位，原來(lái)的數(shù)就擴(kuò)大100倍；小數(shù)點(diǎn)向右移動(dòng)三位，原來(lái)的數(shù)就擴(kuò)大1000倍…… 2. 小數(shù)點(diǎn)向左移動(dòng)一位，原來(lái)的數(shù)就縮小10倍；小數(shù)點(diǎn)向左移動(dòng)兩位，原來(lái)的數(shù)就縮小100倍；小數(shù)點(diǎn)向左移動(dòng)三位，原來(lái)的數(shù)就縮小1000倍…… 3. 小數(shù)點(diǎn)向左移或者向右移位數(shù)不夠時(shí)，要用“0補(bǔ)足位。 （五）分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系1. 被除數(shù)247。 3. 被除數(shù) 相當(dāng)于分子，除數(shù)相當(dāng)于分母。 在加法里，相加的數(shù)叫做加數(shù)，加得的數(shù)叫做和。 加數(shù)+加數(shù)=和 一個(gè)加數(shù)=和－另一個(gè)加數(shù) 2整數(shù)減法：已知兩個(gè)加數(shù)的和與其中的一個(gè)加數(shù)，求另一個(gè)加數(shù)的運(yùn)算叫做減法。被減數(shù)是總數(shù)，減數(shù)和差分別是部分?jǐn)?shù)。 3整數(shù)乘法：求幾個(gè)相同加數(shù)的和的簡(jiǎn)便運(yùn)算叫做乘法。相同加數(shù)的和叫做積。 一個(gè)因數(shù) 一個(gè)因數(shù) =積 一個(gè)因數(shù)=積247。 在除法里，已知的積叫做被除數(shù)，已知的一個(gè)因數(shù)叫做除數(shù)，所求的因數(shù)叫做商。 在除法里，0不能做除數(shù)。 被除數(shù)247。商 被除數(shù)=商除數(shù) （二）小數(shù)四則運(yùn)算1. 小數(shù)加法：小數(shù)加法的意義與整數(shù)加法的意義相同。 2. 小數(shù)減法：小數(shù)減法的意義與整數(shù)減法的意義相同。 4. 小數(shù)除法：小數(shù)除法的意義與整數(shù)除法的意義相同，就是已知兩個(gè)因數(shù)的積與其中一個(gè)因數(shù)，求另一個(gè)因數(shù)的運(yùn)算。例如 3 3 =32 （三）分?jǐn)?shù)四則運(yùn)算 1. 分?jǐn)?shù)加法：分?jǐn)?shù)加法的意義與整數(shù)加法的意義相同。 2. 分?jǐn)?shù)減法：分?jǐn)?shù)減法的意義與整數(shù)減法的意義相同。 3. 分?jǐn)?shù)乘法：分?jǐn)?shù)乘法的意義與整數(shù)乘法的意義相同，就是求幾個(gè)相同加數(shù)和的簡(jiǎn)便運(yùn)算。 5. 分?jǐn)?shù)除法：分?jǐn)?shù)除法的意義與整數(shù)除法的意義相同。 （四）運(yùn)算定律 1. 加法交換律：兩個(gè)數(shù)相加，交換加數(shù)的位置，它們的和不變，即a+b=b+a 。 3. 乘法交換律：兩個(gè)數(shù)相乘，交換因數(shù)的位置它們的積不變，即ab=ba。5. 乘法分配律：兩個(gè)數(shù)的和與一個(gè)數(shù)相乘，可以把兩個(gè)加數(shù)分別與這個(gè)數(shù)相乘再把兩個(gè)積相加，即(a+b)c=ac+bc 。（五）運(yùn)算法則 1. 整數(shù)加法計(jì)算法則：相同數(shù)位對(duì)齊，從低位加起，哪一位上的數(shù)相加滿十，就向前一位進(jìn)一。 3. 整數(shù)乘法計(jì)算法則：先用一個(gè)因數(shù)每一位上的數(shù)分別去乘另一個(gè)因數(shù)各個(gè)數(shù)位上的數(shù)，用因數(shù)哪一位上的數(shù)去乘，乘得的數(shù)的末尾就對(duì)齊哪一位，然后把各次乘得的數(shù)加起來(lái)。如果哪一位上不夠商1，要補(bǔ)“0”占位。 5. 小數(shù)乘法法則：先按照整數(shù)乘法的計(jì)算法則算出積，再看因數(shù)中共有幾位小數(shù)，就從積的右邊起數(shù)出幾位，點(diǎn)上小數(shù)點(diǎn)；如果位數(shù)不夠，就用“0”補(bǔ)足。 7. 除數(shù)是小數(shù)的除法計(jì)算法則：先移動(dòng)除數(shù)的小數(shù)點(diǎn)，使它變成整數(shù)，除數(shù)的小數(shù)點(diǎn)也向右移動(dòng)幾位（位數(shù)不夠的補(bǔ)“0”），然后按照除數(shù)是整數(shù)的除法法則進(jìn)行計(jì)算。 9. 異分母分?jǐn)?shù)加減法計(jì)算方法:先通分，然后按照同分母分?jǐn)?shù)加減法的的法則進(jìn)行計(jì)算。 11. 分?jǐn)?shù)乘法的計(jì)算法則:分?jǐn)?shù)乘整數(shù)，用分?jǐn)?shù)的分子和整數(shù)相乘的積作分子，分母不變；分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)，用分子相乘的積作分子，分母相乘的積作分母。 （六） 運(yùn)算順序 1. 小數(shù)四則運(yùn)算的運(yùn)算順序和整數(shù)四則運(yùn)算順序相同。 3. 沒(méi)有括號(hào)的混合運(yùn)算:同級(jí)運(yùn)算從左往右依次運(yùn)算；兩級(jí)運(yùn)算 先算乘、除法，后算加減法。 5. 第一級(jí)運(yùn)算：加法和減法叫做第一級(jí)運(yùn)算。 五 應(yīng)用（一）整數(shù)和小數(shù)的應(yīng)用1 簡(jiǎn)單應(yīng)用題 （1）簡(jiǎn)單應(yīng)用題：只含有一種基本數(shù)量關(guān)系，或用一步運(yùn)算解答的應(yīng)用題，通常叫做簡(jiǎn)單應(yīng)用題。讀題時(shí)，不丟字不添字邊讀邊思考，弄明白題中每句話的意思。 b選擇算法和列式計(jì)算：這是解答應(yīng)用題的中心工作。 C檢驗(yàn)：就是根據(jù)應(yīng)用題的條件和問(wèn)題進(jìn)行檢查看所列算式和計(jì)算過(guò)程是否正確，是否符合題意。2 復(fù)合應(yīng)用題 （1）有兩個(gè)或兩個(gè)以上的基本數(shù)量關(guān)系組成的，用兩步或兩步以上運(yùn)算解答的應(yīng)用題，通常叫做復(fù)合應(yīng)用題。 求比兩個(gè)數(shù)的和多（少）幾個(gè)數(shù)的應(yīng)用題。 （3）含有兩個(gè)已知條件的兩步計(jì)算的應(yīng)用題。 已知兩數(shù)之和與其中一個(gè)數(shù)，求兩個(gè)數(shù)相差多少（或倍數(shù)關(guān)系）。 （5）解答三步計(jì)算的應(yīng)用題。d答案：根據(jù)計(jì)算的結(jié)果，先口答，逐步過(guò)渡到筆答。 b求比一個(gè)數(shù)多幾的數(shù)應(yīng)用題：已知甲數(shù)是多少和乙數(shù)比甲數(shù)多多少，求乙數(shù)是多少。 b求兩個(gè)數(shù)相差的多少的應(yīng)用題：已知甲乙兩數(shù)各是多少，求甲數(shù)比乙數(shù)多多少，或乙數(shù)比甲數(shù)少多少。 (5 ) 解答乘法應(yīng)用題： a求相同加數(shù)和的應(yīng)用題：已知相同的加數(shù)和相同加數(shù)的個(gè)數(shù)，求總數(shù)。 ( 6) 解答除法應(yīng)用題： a把一個(gè)數(shù)平均分成幾份，求每一份是多少的應(yīng)用題：已知一個(gè)數(shù)和把這個(gè)數(shù)平均分成幾份的，求每一份是多少。 C 求一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的的幾倍的應(yīng)用題：已知甲數(shù)乙數(shù)各是多少，求較大數(shù)是較小數(shù)的幾倍。 （7）常見(jiàn)的數(shù)量關(guān)系： 總價(jià)= 單價(jià)數(shù)量 路程= 速度時(shí)間 工作總量=工作時(shí)間工效 總產(chǎn)量=單產(chǎn)量數(shù)量 3典型應(yīng)用題 具有獨(dú)特的結(jié)構(gòu)特征的和特定的解題規(guī)律的復(fù)合應(yīng)用題，通常叫做典型應(yīng)用題。 解題關(guān)鍵：在于確定總數(shù)量和與之相對(duì)應(yīng)的總份數(shù)。數(shù)量關(guān)系式：數(shù)量之和247。 加權(quán)平均數(shù)：已知兩個(gè)以上若干份的平均數(shù)，求總平均數(shù)是多少。（權(quán)數(shù)的和）=加權(quán)平均數(shù)。 數(shù)量關(guān)系式：（大數(shù)－小數(shù)）247。總份數(shù)=最大數(shù)應(yīng)給數(shù) 最大數(shù)與個(gè)數(shù)之差的和247。 例：一輛汽車以每小時(shí) 100 千米 的速度從甲地開(kāi)往乙地，又以每小時(shí) 60 千米的速度從乙地開(kāi)往甲地。 分析：求汽車的平均速度同樣可以利用公式。 =75 （千米） （2）歸一問(wèn)題：已知相互關(guān)聯(lián)的兩個(gè)量，其中一種量改變，另一種量也隨之而改變，其變化的規(guī)律是相同的，這種問(wèn)題稱之為歸一問(wèn)題。 根據(jù)球癡單一量之后，解題采用乘法還是除法，歸一問(wèn)題可以分為正歸一問(wèn)題，反歸一問(wèn)題。又稱“單歸一。又稱“雙歸一。 反歸一問(wèn)題：用等分除法求出“單一量”之后，再用除法計(jì)算結(jié)果的歸一問(wèn)題。數(shù)量關(guān)系式：?jiǎn)我涣糠輸?shù)=總數(shù)量（正歸一） 總數(shù)量247。 693 0 247。 31 ） =45 （天） （3）歸總問(wèn)題：是已知單位數(shù)量和計(jì)量單位數(shù)量的個(gè)數(shù)，以及不同的單位數(shù)量（或單位數(shù)量的個(gè)數(shù)），通過(guò)求總數(shù)量求得單位數(shù)量的個(gè)數(shù)（或單位數(shù)量）。 數(shù)量關(guān)系式：?jiǎn)挝粩?shù)量單位個(gè)數(shù)247。另一個(gè)單位數(shù)量= 另一個(gè)單位數(shù)量。實(shí)際 4 天修完，每天修了多少米？ 分析：因?yàn)橐蟪雒刻煨薜拈L(zhǎng)度，就必須先求出水渠的長(zhǎng)度。不同之處是“歸一”先求出單一量，再求總量，歸總問(wèn)題是先求出總量，再求單一量。 4=1200 （米） （4）和差問(wèn)題：已知大小兩個(gè)數(shù)的和，以及他們的差，求這兩個(gè)數(shù)各是多少的應(yīng)用題叫做和差問(wèn)題。 解題規(guī)律：（和＋差）247。2=小數(shù) 和－小數(shù)= 大數(shù) 例 某加工廠甲班和乙班共有工人 94 人，因工作需要臨時(shí)從乙班調(diào) 46 人到甲班工作，這時(shí)乙班比甲班人數(shù)少 12 人，求原來(lái)甲班和乙班各有多少人？ 分析：從乙班調(diào) 46 人到甲班，對(duì)于總數(shù)沒(méi)有變化，現(xiàn)在把乙數(shù)轉(zhuǎn)化成 2 個(gè)乙班，即 9 4 － 12 ，由此得到現(xiàn)在的乙班是（ 9 4 － 12 ）247。 解題關(guān)鍵：找準(zhǔn)標(biāo)準(zhǔn)數(shù)（即1倍數(shù)）一般說(shuō)來(lái)，題中說(shuō)是“誰(shuí)”的幾倍，把誰(shuí)就確定為標(biāo)準(zhǔn)數(shù)。根據(jù)另一個(gè)數(shù)（也可能是幾個(gè)數(shù)）與標(biāo)準(zhǔn)數(shù)的倍數(shù)關(guān)系，再去求另一個(gè)數(shù)（或幾個(gè)數(shù)）的數(shù)量。倍數(shù)和=標(biāo)準(zhǔn)數(shù) 標(biāo)準(zhǔn)數(shù)倍數(shù)=另一個(gè)數(shù) 例:汽車運(yùn)輸場(chǎng)有大小貨車 115 輛，大貨車比小貨車的 5 倍多 7 輛，運(yùn)輸場(chǎng)有大貨車和小汽車各有多少輛？ 分析：大貨車比小貨車的 5 倍還多 7 輛，這 7 輛也在總數(shù) 115 輛內(nèi)，為了使總數(shù)與（ 5+1 ）倍對(duì)應(yīng)，總車輛數(shù)應(yīng)（ 1157 ）輛 。（ 5+1 ） =18 （輛）， 18 5+7=97 （輛） （6）差倍問(wèn)題：已知兩個(gè)數(shù)的差，及兩個(gè)數(shù)的倍數(shù)關(guān)系，求兩個(gè)數(shù)各是多少的應(yīng)用題。（倍數(shù)－1 ）= 標(biāo)準(zhǔn)數(shù) 標(biāo)準(zhǔn)數(shù)倍數(shù)=另一個(gè)數(shù)。列式（ 6329 ）247。 （7）行程問(wèn)題：關(guān)于走路、行車等問(wèn)題，一般都是計(jì)算路程、時(shí)間、速度，叫做行程問(wèn)題。 解題關(guān)鍵及規(guī)律： 同時(shí)同地相背而行：路程=速度和時(shí)間。同時(shí)同地同向而行（速度慢的在后，快的在前）：路程=速度差時(shí)間。 已知甲在乙的后面 28 千米 （追擊路程）， 28 千米 里包含著幾個(gè)（ 169 ）千米，也就是追擊所需要的時(shí)間。 （ 169 ） =4 （小時(shí)） （8）流水問(wèn)題：一般是研究船在“流水”中航行的問(wèn)題。它的特點(diǎn)主要是考慮水速在逆行和順行中的不同作用。 水速：水流動(dòng)的速度。 逆水速度：船逆流航行的速度。解題時(shí)要以水流為線索。2流水速度=（順流速度逆流速度）247。逆水比順?biāo)嘈?2 小時(shí)，已知水速每小時(shí) 4 千米。已知順?biāo)俣群退魉俣?，因此不難算出逆水的速度，但順?biāo)玫臅r(shí)間，逆水所用的時(shí)間不知道，只知道順?biāo)饶嫠儆?2 小時(shí)，抓住這一點(diǎn)，就可以就能算出順?biāo)畯募椎氐揭业氐乃玫臅r(shí)間，這樣就能算出甲乙兩地的路程。（ 4 2 ） =5 （小時(shí)） 28 5=140 （千米）。 解題關(guān)鍵：要弄清每一步變化與未知數(shù)的關(guān)系。 根據(jù)原題的運(yùn)算順序列出數(shù)量關(guān)系，然后采用逆運(yùn)算的方法計(jì)算推導(dǎo)出原數(shù)。若需要先算加減法，后算乘除法時(shí)別忘記寫括號(hào)。 4 ，以四班為例，它調(diào)給三班 3 人，又從一班調(diào)入 2 人，所以四班原有的人數(shù)減去 3 再加上 2 等于平均數(shù)。 42+3=43 （人） 一班原有人數(shù)列式為 168 247。 46+6=42 （人）三班原有人數(shù)列式為 168 247。 （10）植樹(shù)問(wèn)題：這類應(yīng)用題是以“植樹(shù)”為內(nèi)容。 解題關(guān)鍵：解答植樹(shù)問(wèn)題首先要判斷地形，分清是否封閉圖形，從而確定是沿線段植樹(shù)還是沿周長(zhǎng)植樹(shù)，然后按基本公式進(jìn)行計(jì)算。株距+1株距=總路程247。株距 株距=總路程247。后來(lái)全部改裝，只埋了201 根。 分析：本題是沿線段埋電線桿，要把電線桿的根數(shù)減掉一。（ 2011 ） =75 （米） （11 ）盈虧問(wèn)題：是在等分除法的基礎(chǔ)上發(fā)展起來(lái)的。 解題關(guān)鍵：盈虧問(wèn)題的解法要點(diǎn)是先求兩次分配中分配者沒(méi)份所得物品數(shù)量的差，再求兩次分配中各次共分物品的差（也稱總差額），用前一個(gè)差去除后一個(gè)差，就得到分配者的數(shù)，進(jìn)而再求得物品數(shù)。每人差額=人數(shù) 總差額的求法可以分為以下四種情況： 第一次多余，第二次不足，總差額=多余+ 不足 第一次正好，第二次多余或不足 ，總差額=多余或不足第一次多余，第二次也多余，總差額=大多余小多余 第一次不足，第二次也不足， 總差額= 大不足小不足 例 參加美術(shù)小組的同學(xué)，每個(gè)人分的相同