【正文】 和項： （1）2由得變形勢能為 （2）其中代入式（2），得 （3）。解：1位移表達(dá)式仍取上題式（1），其兩階偏導(dǎo)數(shù)為（1）。，梁的跨度為，試用端茲法求梁的撓度。題圖46解一：用瑞茲法求解設(shè)滿足梁端部位移邊界條件的撓度函數(shù)為 （1）梁的變形能及總勢能為由得 （2）以上級數(shù)的收斂性很好，取很少幾項就能得到滿意的近似解，如作用于中點(diǎn)（）時，跨中撓度為（只取一項）這個解與材料力學(xué)的解（）相比，%。將式（1）代入伽遼金方程，注意到，且作用在處，可得求出的撓度表達(dá)式與（2）一致。題圖47解：設(shè)滿足此梁兩端位移邊界條件的撓度為 （1）則總勢能為，代入式（1）得梁上總荷重為，因此有、另一端支承的梁，其跨度為，抗彎剛度為常數(shù)，彈簧系數(shù)為，承受分布荷載作用。題圖48解：用位移變分方程推導(dǎo) （1）對上式左端運(yùn)用分部積分得代入式（1），經(jīng)整理后得 （2）由于變分的任意性，上述式子成立的條件為 （3） （4） （5）4式（3）就是以撓度表示的平衡微分方程。，所以，從最小勢能原理出發(fā)，也能得到所求的表達(dá)式（略）。試將各板邊的邊界條件用撓度表示。各邊界條件如下：（1）（2）或（3）或用撓度表示為 ， （4）或用撓度表示為 ， （5），和邊是自由邊，在點(diǎn)有一個向上位移，且由鏈桿拉住，如題圖52所示。題圖52解：：。由角的位移條件確定，從而求出撓度，內(nèi)力和反力：：給定的角點(diǎn)的位移沿軸反向，故為負(fù)值。，和兩邊簡支，和兩邊自由，試求撓度、內(nèi)力和反力。題圖53解：。題圖54解：不難驗證能滿足所有簡支邊的邊界條件，由撓曲面方程式可確定，從而求出撓度、彎矩和反力。板面無橫向荷載作用，坐標(biāo)取題圖55。所以，能滿足一切條件，其余內(nèi)力和反力為零。題圖56解：采用納維解法，撓度表達(dá)式為荷載表達(dá)式為由式求出：式中，周邊簡支，板面無垂直均布荷載作用，只在的板邊受均布彎矩作用，求板的撓度。采用李維解法。題圖58解：，滿足撓曲面微分方程的撓度可取為 （1）式中，特解設(shè)為，代入撓曲面方程后，得 （2），進(jìn)而求出撓度和內(nèi)力： （3） （4） （5）（1）取半徑為的板中部分圓板的平衡（）也可求得：（2）若固定邊圓板受荷載作用（題圖59a），該荷載可分解成題圖59b和題圖59c所示兩種荷載。題圖59b和題圖59c狀態(tài)下的解答疊加起來便可求得題圖59a狀態(tài)下的解答，不難證明，題圖59a情況下的撓度為題圖59，板中心受集中力作用，見題圖510a，求其撓度和內(nèi)力。該板的邊界條件為 （2） （3）取半徑為的部分圓板的靜力平衡條件，得 （4）2．由式（2）、式（3）、式(4)求得常數(shù)，進(jìn)而求出撓度和內(nèi)力： （5） （6） ：題圖510b所示固支圓板，當(dāng)版中心鏈桿支座發(fā)生沉陷時，可以用本題的式（5）求解（其中第三項在板中心為零） （7）將代入式（5）、式（6），求得題圖510b情況時的撓度和內(nèi)力為 （8） （9），板面無荷載，但在周邊受均布彎矩作用，見題圖511所示。題圖511解：，板中心無孔，故特解和常數(shù)，取為零。 (2)如將該曲線表示成形式，試給出的表達(dá)式。其中 已知簡單拉伸時的曲線由（）式給出，考慮橫向應(yīng)變與軸向應(yīng) 變的比值在彈性階段，為材料彈性時的泊松比，但進(jìn)入塑性階段后值開始增大最后趨向于。 解：按題設(shè)在簡單拉伸時總有 （a） 左邊為體積變形，不論材料屈服與否，它要按彈性規(guī)律變化，即有 （b） 比較（a），（b）兩式，得 將表達(dá)式代入，即可得。在處作用一個逐漸增加的力。求左端反力和力的關(guān)系。 （2）彈塑性階段（a段塑性，b段彈性）平衡方程和幾何方程仍為（a）、 （b）式。 （3）塑性階段 平衡方程和幾何方程同上。在處作用一個逐漸增加的力。按加載過程分析結(jié)構(gòu)所處不同狀態(tài)，并求力作用截面的位移與的關(guān)系。截面位移 本階段終止時， （2） 彈塑性階段（） 此時， 截面位移由段變形控制： 且本階段終止時， （3）塑性階段（） 無限位移（為不定值）。加載時保持并從零開始增加，求三桿內(nèi)力隨的變化規(guī)律． 解：基本方程為 （a) 幾何方程： （b） 協(xié)調(diào)關(guān)系： 本構(gòu)方程： （c） （1）彈性階段（） 利用（a）、（b）及（c）第一式，聯(lián)立求解得 即 可看出結(jié)構(gòu)彈性極限：令 有 （2）彈塑性階段（）取，結(jié)構(gòu)成為靜定，由平衡方程解得 若取，即此時即當(dāng)時，內(nèi)力為上列值，當(dāng)時，桿1和桿2 已 進(jìn)入塑性階段，當(dāng)時，兩桿為無線變形，結(jié)構(gòu)已成為機(jī)構(gòu)。 如圖所示三桿桁架，理想彈塑性材料，桿件截面面積均為，求下述兩種加載路徑的節(jié)點(diǎn)位移和桿件應(yīng)變： (1)先加豎向力，使結(jié)構(gòu)剛到達(dá)塑性極限狀態(tài)，保持不變，開始 加力，使桁架再次達(dá)到塑性極限狀態(tài)。 解：此結(jié)構(gòu)的基本方程為 （a） 幾何方程： （b） 且有： 本構(gòu)方程： （c） 將基本方程用其相應(yīng)的增量表示為 幾何方程： 且有： 本構(gòu)方程： （1）加載路徑見（1）教材 （2）加載路徑見（2） 第一階段：先加，由基本方程可得 顯然，1桿、3桿同時屈服，此時 （d） 第二階段：在保持不變的情況下施加力，這是由相應(yīng)改變，此時， 節(jié)點(diǎn)位移增量為 由