定積分的概念及性質(zhì)-在線瀏覽
2024-09-15 04:26本頁面
【正文】 xxfdxxf )()( .補充 ：不論 的相對位置如何 , 上式總成立 . cba ,例若 ,cba ??假設 bca ??性質(zhì) 3 a b c?ca dxxf )( ?? ?? cbba dxxfdxxf )()(?ba dxxf )( ?? ?? cbca dxxfdxxf )()(.)()( ?? ?? bcca dxxfdxxf（定積分對于積分區(qū)間具有可加性） 則 dxba ?? 1 dxba?? ab ?? .則 0)( ?? dxxfba . )( ba ?證 ,0)( ?xf? ,0)( ??? if ),2,1( ni ??,0?? ix? ,0)(1???? ??iinixf},m a x { 21 nxxx ???? ??iinixf ?? ???)(l i m10?? .0)(? ??ba dxxf性質(zhì) 4 性質(zhì) 5 如果在區(qū)間 ],[ ba 上 0)( ?xf ，例 1 比較積分值 dxe x? ? 20 和 dxx? ? 20 的大小 .解 令 ,)( xexf x ?? ]0,2[??x,0)( ?xf? ,0)(0 2 ??? ?? dxxe xdxe x??? 02 ,02 dxx???于是 dxe x?? 20 .20 dxx???性質(zhì) 5的推論： 證 ),()( xgxf ?? ,0)()( ??? xfx,0)]()([ ??? ? dxxfxgba,0)()( ?? ?? baba dxxfdxxg于是 dxxfba? )( dxxgba?? )( .則 dxxfba? )( dxxgba?? )( . )( ba ?如果在區(qū)間 ],[ ba 上 )()( xgxf ?， （ 1） dxxfba? )( dxxfba?? )( .)( ba ?證 ,)()()( xfxfxf ????,)()()( dxxfdxxfdxxf bababa ??? ????即 dxxfba? )( dxxfba?? )( .說明： 可積性是顯然的 . | )( xf |在區(qū)間 ],[ ba 上的性質(zhì) 5的推論： （ 2） 設 M 及 m 分別是函數(shù) 證 ,)( Mxfm ???,)( ??? ??? bababa M d xdxxfdxm).()()( abMdxxfabm ba ???? ?（此性質(zhì)可用于估計積分值的大致范圍） 則 )()()( abMdxxfabm ba ???? ? .)( xf 在區(qū)間 ],[ ba 上的最大值及最小值， 性質(zhì) 6 例 2 估計積分 dxx? ? ?0 3s in31的值 . 解 ,s i n3 1)( 3 xxf ?? ],0[ ??? x,1s i n0 3 ?? x ,31s i n3 141 3 ??? x,31s in3 141 00 30 dxdxxdx ??? ??? ???.3s in3 14 0 3 ?????? ? ? dxx例 3 估計積分 dxxx???24s i n的值 . 解 ,s i n)( x xxf ?2s i nc os)(xxxxxf ???2)t an(c osxxxx ??]2,4[ ???x,0?)( xf 在 ]2,4[ ?? 上單調(diào)下降 ,故 4??x 為極大點， 2??x 為極小點 ,22)4( ???? fM ,2)2( ???? fm,442 ??????? ab?,422s i n42 24????????? ??? dxxx.2 2s i n21 24??? ??? dxxx例 4. 試證 : 證 : 設 ?)(xf ,sinx x 則在 ),0( 2? 上 , 有 ?? )( xf 2 s i nc o s x xxx ? )t a n( xx ?? 2cosx x 0?)0()()( ?? ??? fxff2?即 ?2 ,1)( ?? xf ),0(?x 2?故 xxxfx d1d)(d 222 000 2 ??? ?? ??? ?即 2ds i n1 20 ?? ?? ? xx x如果函數(shù) )( xf 在閉區(qū)間 ],[ ba 上連續(xù)，證 Mdxxfabm ba ???? ? )(1)()()( abMdxxfabm ba ???? ??由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值定理知 則在積分區(qū)間 ],[ ba 上至少存在一個點 ? ，使 dxxfba? )( ))(( abf ?? ? . )( ba ?? ?性質(zhì) 7（定積分中值定理） 積分中值公式 在區(qū)間 ],[ ba 上至少存在一個點 ? ，使 ,)(1)( ???? ba dxxfabfdxxfba? )( ))(( abf ?? ? .)( ba ?? ? 在區(qū)間 ],[ ba 上至少存在一個點 ? ，即 積分中值公式的幾何解釋： xyo a b?)(?f 使得以區(qū)間 ],[ ba 為以曲線 )( xfy ?底邊，為曲邊的曲邊梯形的面積等于同一底邊而高為 )( ?f的一個矩形的面積。第五章 積分學 不定積分 定積分 定積分 第一節(jié) 一、 定積分問題舉例 二、 定積分的定義 三、 定積分的性質(zhì) 定積分的概念及性質(zhì) 第 五 章 教學目的與要求 ： ? 理解定積分的概念 ? 了解定積分的幾何意義 ? 重點： 定積分的概念 一、定積分問題舉例 1. 曲邊梯形的面積 設曲邊梯形是由連續(xù)曲線 以及兩直線 所圍成 , 求其面積 A . ??A)( xfy ?矩形面積 梯形面積 a b
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