矢量分析與場(chǎng)論天津大學(xué)流體力學(xué)基礎(chǔ)課件-在線瀏覽
2024-09-11 15:57本頁(yè)面
【正文】 數(shù) 為一單位矢量 設(shè)矢性函數(shù) A＝ A(t)， B＝ B(t)及數(shù)性函數(shù) μ ＝ μ (t)在 t的某個(gè)范圍內(nèi)可導(dǎo)，則下列公式在該范圍內(nèi)成立 4 矢性函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式 定長(zhǎng)矢量 A(t)與其導(dǎo)矢互相垂直．特別對(duì)于單位矢量 A。的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義， 而且有 則稱 A(t)在 t＝ t。第一章 矢量分析 天津大學(xué)建筑工程學(xué)院 閆宏生 第一節(jié) 矢性函數(shù) 我們?cè)谑噶看鷶?shù)中，曾經(jīng)學(xué)過模和方向都保持不變的矢量，這種矢量稱為常矢； 然而，在許多科學(xué)、技術(shù)問題中，我們常常遇到模和方向或其中之一會(huì)改變的矢量，這種矢量稱為變矢．此外，在矢量分析中還有矢性函數(shù)的概念。 定義：設(shè)有數(shù)性變量 t 和變矢 A，如果對(duì)于 t 在某個(gè)范圍內(nèi)的每一個(gè)數(shù)值， A都有一個(gè)確定的矢量和它對(duì)應(yīng)，則稱 A為數(shù)性變量 t 的矢性函數(shù)，記作 : A＝ A(t) (1． 1) 這時(shí)，矢量 A在直角坐標(biāo)系中的三個(gè)坐標(biāo) (即它在三個(gè)坐標(biāo)軸上的投影 )，顯然都是 t 的數(shù)性函數(shù)： 依此，就可以寫出矢量 A酌坐標(biāo)表示式： 2．矢端曲線 為了能用圖形來(lái)直觀地表示矢性因數(shù) A)的變化狀態(tài)，把 A的的起點(diǎn)取在坐標(biāo)原點(diǎn)．這樣，當(dāng) t 變化時(shí)，矢量 A(t)的終點(diǎn)就描繪出一條曲線 )；這條曲線叫矢性函數(shù) A的的矢端曲線，亦叫做矢性函數(shù) A(t)的圖形． 當(dāng)我們把 A(t)的起點(diǎn)取在坐標(biāo)原點(diǎn) O， A(t)實(shí)際上就成為其終點(diǎn) M的矢徑矢徑有這樣一個(gè)特點(diǎn)，就是它的三個(gè)坐標(biāo) 正好對(duì)應(yīng)地等于它的終點(diǎn) M的三個(gè)坐標(biāo) x ,y, z 此式就是曲線 L以 t為參數(shù)的參數(shù)方程．和矢量方程是一一對(duì)應(yīng)的 例如：已知圓柱螺旋線的參數(shù)方程為 其矢量方程為 其矢量方程為 3．矢性函數(shù)的極限和連續(xù)性 矢性函數(shù)就有類似于數(shù)性圖數(shù)中的一些極限運(yùn)算的法則 (2) 矢性函數(shù)連續(xù)性的定義：若矢性函數(shù) A(t)在點(diǎn) t。處連續(xù)。 ＝ A。 矢性函數(shù)的定積分 矢性函數(shù)的定積分概念也和數(shù)性困數(shù)的完全類似．因此，也相應(yīng)地具有數(shù)性函數(shù)定積分的基本性質(zhì)。 這個(gè)方程，一般在幾伺上表示一曲而，這個(gè)曲面，稱為數(shù)員場(chǎng)的等 值面．例如溫度場(chǎng)中的等值面，就是由溫度相同的點(diǎn)所組成的等溫面；電位場(chǎng)中的等值面，就是由電位相同的點(diǎn)須組成的等位面。 如果好為一封閉曲面，則流量 表示從內(nèi)穿出 S的正流量與從外穿入 S的負(fù)流量的代數(shù)和．從而當(dāng) Q＞0時(shí)，就表示流出多于流入，此時(shí)在 S內(nèi)必有產(chǎn)生流體的泉源。 希望也能找到這樣一種矢量，它與環(huán)量面密度的關(guān)系，正如梯度與方向?qū)?shù)之間的關(guān)系一樣。從而可知， R的方向?yàn)榄h(huán)量面密度最大的方向，其模即為最大環(huán)量面密度的數(shù)值．這說(shuō)明矢量 R完全符合我們所希望找到的那種矢量，我們把它叫做矢量場(chǎng) A的旋度。這個(gè)最大的數(shù)值，正好就是 IRI，則稱矢量 R為矢量場(chǎng) A在點(diǎn) M處的旋度，記做 rotA，即 簡(jiǎn)言之，旋度矢量在數(shù)值和方向上表示了最大的環(huán)量面密度．施度的上述定義，是與坐標(biāo)系無(wú)關(guān)的．上面 (4． 13)式中的矢量 R是它在直角坐標(biāo)系個(gè)的表示式．就是說(shuō)，在直角坐標(biāo)系中有 : [2) 平面調(diào)和場(chǎng)．我們先介紹平行平面場(chǎng)的概念： 如果某個(gè)矢量場(chǎng)具有這樣的幾何特點(diǎn)，就是場(chǎng)中所有的矢量都平行于某一平面 π ， 而且在垂直于 π 的任意直線的所有點(diǎn)上，場(chǎng)中矢量的大小和方向都相同，則稱這種矢量場(chǎng)為平行平面場(chǎng)，通常把平行平面場(chǎng)簡(jiǎn)稱為平面場(chǎng)． 現(xiàn)在來(lái)看 平面調(diào)和場(chǎng) ，平面調(diào)和場(chǎng)是指既無(wú)源又無(wú)旋的平面矢量場(chǎng)．和空間調(diào)和場(chǎng)的概念完全類似，但它比起空間調(diào)和場(chǎng)來(lái)說(shuō)，具有某些特殊性質(zhì)： 這兩個(gè)方程即是二維拉普拉斯方程．由此可知：函數(shù) u與 v均為滿足二維拉普拉斯方程的調(diào)和函數(shù)。實(shí)數(shù)與 x抽上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)， X軸稱為實(shí)軸； 純虛數(shù) iy與 y軸上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)， y稱為虛軸。 5 復(fù)變函數(shù)的定義 稱 為為 函 數(shù)值對(duì)應(yīng) 的與上的定 義義wzzEfivuwzEffiyxzE ),( , , , , . 復(fù)變數(shù)簡(jiǎn)稱復(fù)變函數(shù)的函數(shù)復(fù)變數(shù)是那末稱之對(duì)應(yīng)與就有一個(gè)或幾個(gè)復(fù)數(shù)的每一個(gè)復(fù)數(shù)中對(duì)于集合按這個(gè)法則存在確定的法則如果有一個(gè)的集合是一個(gè)復(fù)數(shù)設(shè)???? : ).( zfw ?記作100 (多 )值函數(shù)的定義 : . )( , 是單值的我們稱函數(shù)那末的值的一個(gè)值對(duì)應(yīng)著一個(gè)如果zfwz. )( , 是多值的那末我們稱函數(shù)的值兩個(gè)以上的一個(gè)值對(duì)應(yīng)著兩個(gè)或如果zfwz : 。4π ,20 )1( ??? ?r線段, , ??? iiewrez??設(shè),2, 2 ??? ?? r則,2π ,40 4π ,20 ?????? ??? 映射為故線段 r還是線段 . xyo uvo?? ?? ? 2zw116 例 1 : 2上的象平面下求下列平面點(diǎn)集在在映射 wzw ?。 6 、復(fù)變函數(shù)的極限與連續(xù) : . )( )(,)0(0 )( ,0 , , 0 )( 0000時(shí)的極限趨向于當(dāng)為那末稱有時(shí)使得當(dāng)相應(yīng)地必有一正數(shù)對(duì)于任意給定的存在如果有一確定的數(shù)內(nèi)的去心鄰域定義在設(shè)函數(shù)zzzfAAzfzzAzzzzfw????????????????????))(( .)(li m 00AzfAzf zzzz ?? ??? ?? 或記作注意 : . 0 的方式是任意的定義中 zz ?一 .函數(shù)極限 : 121 2. 極限計(jì)算的性質(zhì) 定理 .),(lim,),(lim )(lim , , ),(),()( 000000000000vyxvuyxuAzfiyxzivuAyxivyxuzfyyxxyyxxzz??????????????的充要條件是那末設(shè)證 ,)(lim 0Azfzz ??如果根據(jù)極限的定義 , )()(0 00 時(shí)當(dāng) ?????? iyxiyx ,)()( 00 ????? ivuivu(1) 必要性 . 122 , )()(0 2020 時(shí)或當(dāng) ?????? yyxx ,)
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