高三數(shù)學圓及直線與圓的位置關(guān)系-在線瀏覽
2025-01-13 07:56本頁面
【正文】 － x1)( x － x2) ＋ ( y － y1)( y － y2) ＝ 0. [ 教師選講 ] 根據(jù)下列條件，求圓的方程： (1 ) 和圓 O ： x2＋ y2＝ 4 相外切于點 P ( － 1 ，3 ) ，且半徑為 4 ； (2 ) 圓心在原點且圓周被直線 3 x ＋ 4 y ＋ 15 ＝ 0 分成 1 ∶ 2 兩部分的圓的方程； (3 ) 求經(jīng)過兩已知圓 C1： x2＋ y2－ 4 x ＋ 2 y ＝ 0 和C2： x2＋ y2－ 2 y － 4 ＝ 0 的交點，且圓心在直線l ： 2 x ＋ 4 y ＝ 1 上的圓的方程． 【解析】 (1 ) 設(shè)圓心 Q 的坐標為 ( a ， b ) ， 因為圓 O 與圓 Q 相外切于 P ， 所以 O 、 P 、 Q 共線，且 λ ＝OP＝－64＝－32. 由定比分點公式求得 a ＝－ 3 ， b ＝ 3 3 . 所以所求圓的方程為 ( x ＋ 3)2＋ ( y － 3 3 )2＝ 1 6 . (2 ) 如圖，因為圓周被直線 3 x ＋ 4 y ＋ 15 ＝ 0 分成 1 ∶ 2 兩部分， 所以 ∠ AO B ＝ 1 2 0 176。 ， 而圓心到直線 3 x ＋ 4 y ＋ 15 ＝ 0 的距離 d ＝1532＋ 42＝ 3 ， 在 △ AO B 中，可求得 OA ＝ 6 ，所以所求圓的方程為 x2＋ y2＝ 3 6 . (3 ) 由題意可設(shè)圓的方程為 λ ( x2＋ y2－ 4 x ＋ 2 y ) ＋( x2＋ y2－ 2 y － 4) ＝ 0 ， 即 (1 ＋ λ ) x2＋ (1 ＋ λ ) y2－ 4 λx ＋ (2 λ － 2) y － 4 ＝ 0 ， 圓心坐標為 (2 λ1 ＋ λ，1 － λ1 ＋ λ) ， 代入 l ： 2 x ＋ 4 y ＝ 1 ，得 λ ＝ 3. 所以所求圓的方程為： x2＋ y2－ 3 x ＋ y － 1 ＝ 0. 直線和圓的位置關(guān)系 已知圓 x2＋ y2－ 6 mx － 2( m － 1) y ＋ 10 m2－ 2 m－ 24 ＝ 0( m ∈ R ) ． (1 ) 求證 ： 不論 m 為何值 ， 圓心在同一直線 l上 ； (2 ) 與 l 平行的直線中 ， 哪些與圓相交 、 相切 、 相離 ？ (3 ) 求證 ： 任何一條平行于 l 且與圓相交的直線被各圓截得的弦長相等 ． 【 思路點撥 】 用配方法將圓的一般方程配成標準方程，求出圓心坐標，消去 m就得關(guān)于圓心的坐標間的關(guān)系，就是圓心的軌跡方程；判斷直線與圓相交、相切、相離，只需比較圓心到直線的距離 d與圓半徑的大小即可；證明弦長相等時，可用幾何法計算弦長． 【自主解答】 ( 1 ) 證明：配方得： ( x － 3 m )2＋ [ y － ( m － 1) ]2＝ 25 ， 設(shè)圓心為 ( x ， y ) ，則????? x ＝ 3 my ＝ m － 1，消去 m 得 l ： x － 3 y － 3 ＝ 0 ，則圓心恒在直線 l ： x －3 y － 3 ＝ 0 上 ． (2 ) 設(shè)與 l 平行的直線是： x － 3 y ＋ b ＝ 0 ， 當－ 5 10 － 3 ＜ b ＜ 5 10 － 3 時，直線與圓相交； b ＝ 177。2 時，直線與圓相切，有一個公共點； (3 ) 當 d ＞ r ，即 b ＞ 2 或 b ＜－ 2 時，直線與圓相離，無公共點 ． 方法二： 聯(lián)立兩個方程得方程組????? x2＋ y2＝ 2y ＝ x ＋ b， 消去 y 得， 2 x2＋ 2 bx ＋ b2－ 2 ＝ 0 ， Δ ＝ 16 － 4 b2. (1 ) 當 Δ ＞ 0 ，即－ 2 ＜ b ＜ 2 時，有兩個公共點； (2 ) 當 Δ ＝ 0 ，即 b ＝ 177。 3 . 當 a ＝ 3 時， A (1 ， 3 ) ，切線方程為 x ＋ 3 y－ 4 ＝ 0 ； 當 a ＝－ 3 時， A (1 ，－ 3 ) ，切線方程為 x －3 y － 4 ＝ 0 ， ∴ a ＝ 3 時，切線方程為 x ＋ 3 y － 4 ＝ 0 ， a ＝－ 3 時，切線方程為 x － 3 y － 4 ＝ 0. (2 ) 設(shè)直線方程為 x ＋ y ＝ b ，由于過點A ， ∴ 1 ＋ a ＝ b ， a ＝ b － 1. 又圓心到直線的距離 d ＝| b |2， ∴ (| b |2)2＋ 3 ＝ 4 ， ∴ b ＝ 177。 2 － 1. (1 2 分 ) 已 知圓 M ： x2＋ ( y － 2)2＝ 1 ， Q 是 x 軸上的動點 ， QA 、 QB 分別切圓 M 于 A 、 B 兩點 ． (1 ) 若 | AB |＝4 23， 求直線 MQ 的方程 ； (2 ) 求證 ： 直線 AB 恒過一個定點 ； (3 ) 求動弦 AB 的中點 P 的軌跡方程 ． 【 思路點撥 】 根據(jù)直線與圓的性質(zhì)及求軌跡的方法求解． 【規(guī)范解答】 ( 1 ) 設(shè) P 是 AB 的中點，由 | AB |＝4 23， 可得 | MP |＝ | MA |2－ (| AB |2)2＝ 1 － (2 23)2＝13.1 分 由 Rt △ MBP ∽ Rt △ MQ B 得， | MB |2
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