20xxgct線性代數部分-在線瀏覽
2024-09-03 05:32本頁面
【正文】 .j i j i n j n iD i ja A a A a Aij??? ? ? ?? ??【 總 結 】矩陣部分 矩陣及其初等變換 【 定 義 】 由 mn ? 個數( 1 , , 。 ( ii ) 用一個非零常數乘A的某一行 ( 列 ) 的所有元素 。 (2) 若矩陣 A 經過一系列初等變換 ( 行初等變換和列初等變換可交替使用 ) 化為矩 陣B, 則稱矩陣A與矩陣B等價 , 記為 AB ? . 5. 矩陣的行最簡等價標準型 階梯陣 : 若矩陣的行元素的排列 (視為一個單詞 )由上至下滿足 非零元優(yōu)先的詞典序 , 則稱此矩陣為 階梯陣 . 2 2 10 0 3 ,0 0 0???????????0 1 20 0 3 ,0 0 0??????????1 2 4 5 20 0 2 0 3.0 0 0 3 40 0 0 0 0?????????下面的矩陣都是 階梯陣 : 行最簡陣 : 若矩陣為階梯陣 , 且每行中第一個非零元為 1, 又這個 1 所在列中其它的元素都為 0, 則稱此矩陣為 行最簡陣 (通過行初等變換不能再簡化了 ). 下面的矩陣都是行最簡陣 : 11200 0 ,0 0 0??????????11000 0 ,000??????????2 0 0 20 0 0 3.0 0 0 40 0 0 0 0111????? 矩陣的子式 [ ] ,.ij m nA a kkkkkkA???在 矩 陣 中 任 選 行 列 其 相 交處 的 個 元 素 按 原 來 的 相 對 位 置 所 構 成 的 階 行列 式 稱 為 矩 陣 的【一 個定 義 】子 式例如 , 矩陣 1 2 3 40 5 6 70 0 8 0??????有如下 4 個 3 階子式 : 1 2 3 1 2 4 1 3 4 2 3 40 5 6 , 0 5 7 , 0 6 7 , 5 6 7 .0 0 8 0 0 0 0 8 0 0 8 0矩陣的秩 【 定 義 】 若矩陣 A 中有一個 r 階子式不等于零 , 而任何 1r ? 階子式 ( 若存在 ) 都等于零 , 則稱數 r 為矩陣 A 的 秩 ( rank ) , 記為 r ( )A 。r ( ) 1 ( r ( ) 1 ) 。A B C A B C? ? ? ? ? 結 合 律( 3 ) 0 0 。A B B A? ? ? 交 換 律 2 . 數 與 矩陣 相乘 2【 定 義 】若 k 為一個數 , []ij mnAa??, 則矩陣 11 12 121 22 212nnm mnma a aa a akAaak k kak k kk k k????????????? 稱為 k 與 A 的 數量乘積 . 即 數乘矩陣相當于用此數乘矩陣的每一個元素 。( 2 ) ( ) 。 1 , 2 , , )ni k k jka b i m j n?? ? ?? 【 定 義 3】1 1 1 2 11 1 1 12 1 2 212112njsjsi i im n n snnn njmmsmna a ab b bb b ba a aABb b ba a a????????????????????????????? 1 1 1 111jsiji ism m jmsmsc c cccCcccc????????????? 1 1 2 21ni j i j i n n j i k kkj ji a b ac b a b a b?? ? ? ? ? ? 即： 設 A 是 n 階 方陣 , 我們規(guī)定 01, , ,A E A A??( 1 , 2, ) .kkA A A A k??個方陣的冪滿足的運算規(guī)律： (1) m n m nA A A ??。 4. 方陣的冪 : 5. 矩陣的轉置 給定 mn ? 矩陣 []ij m nAa ??, 則 nm ? 矩陣 11T11mnmnmnaaAaa???????????? 稱為 A 的 轉置矩陣 . 例如 , 若1 2 3456A??? ????, 則T142536A??????????? 4【 定 義 】【 命 題 】 (1) 若 A 為方陣 , 則 T| | | |AA ? 。AA?T T T( 2 ) ( ) 。 (2 ) 當 | | 0A ? 時 , 1 1|| AAA ?? ? . 設 ,AB 為 n 階方陣 , 則 | | | | | |A B A B??. 若方陣 A 可逆 , 且 AB AC? , 則 BC ? . (1) 1 1 1, ( ) 。BA BA AB ? ? ??亦 可 逆
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