【正文】 ????222)(xxxaxf22l im ( ) l imxxf x a a?????? ? ?22l im ( ) l im 2 4xxf x x????? ??則有 4?a 從而 5?b????????221)( 2xbxxaxxf122 2 ??? ab導(dǎo)數(shù)與微分 練習(xí) ???????020)(2xbxxaexfx設(shè)函數(shù) 在 處可導(dǎo)， 0?x求常數(shù) ba,解： )(xf? 在 處可導(dǎo) 0?x)(xf? 在 處連續(xù) 0?x)0()(lim 0 fxfx ?? ??即 )(lim0 xfx ??xx ae20lim ???a? )0(f? 2?導(dǎo)數(shù)與微分 2?? a???????020)( 2xbxxaexf x且 ????????002)( 2xbxaexf x)(xf? 在 處可導(dǎo) 0?x)(lim2lim020baexxx????? ??即 ba ??24??? b導(dǎo)數(shù)與微分 三、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 對隱函數(shù)求導(dǎo)通常有兩種類型： 隱函數(shù)能化為顯函數(shù) 隱函數(shù)不能化為顯函數(shù) 導(dǎo)數(shù)與微分 隱函數(shù)求導(dǎo)步驟： 將方程 兩端對自變量 x0),( ?yxF求導(dǎo)。 在此表達(dá)式中允許含有 y求導(dǎo)之后得到一個關(guān)于 的方 y?程，解此方程求出 的表達(dá)式。 xye y ?解： 兩端對自變量 求導(dǎo)，則 x)( ?ye )( ?? xy即 ye y?? )( ?? x y? x? )( ?? y? ye y ?? y? yx ??解得 ??yxeyy ?即所求的導(dǎo)函數(shù)為： xeyyy ???導(dǎo)數(shù)與微分 導(dǎo)數(shù)與微分 0t a ns in2 ??? ?xyx、練習(xí)： 求由下列方程所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 11 ?? yxey、 兩端對自變量 求導(dǎo)，則 x答案： 0])([ ?????? yy exexy0????? yxeey yyyyxeey????1導(dǎo)數(shù)與微分 0t a ns in ??? ?xyx 兩端對自變量 求導(dǎo)，則 x0)(c o s1 ????xyxy1xyc o s? 0)(2 ?????xyxxy0)(c o s1 2 ??????xyxxyxy0)(c o s2 ???? yyxxyx即 xyxxyyxyc osc os2???導(dǎo)數(shù)與微分 導(dǎo)數(shù)的基本公式與運算法則 04 ??? exye y、練習(xí)： 求由下列方程所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 0231 57 ???? yyxx、1ln3 ?? xyey、12 ?? yxey、 2512146??yxyyxee??1xeyy ??xxyeey??12 導(dǎo)數(shù)的基本公式與運算法則 0)()2()(3)( 57 ???????? yyxx解： 兩端對自變量 求導(dǎo)，則 x14652211yxy????023 57 ???? yyxx621 x? y?? 2 yy ?? 45 0?導(dǎo)數(shù)的基本公式與運算法則 y?yyxeey????11?? yxeyy?0])([ ????? yy exex0??? yxe yye? 兩端對自變量 求導(dǎo)，則 x導(dǎo)數(shù)的基本公式與運算法則 兩端對自變量 求導(dǎo)，則 x1ln ?? xyeyy1 y?? xey?? ( 0) ?? xye即 02 ????? xx eyyeyyxxyeeyy????12導(dǎo)數(shù)的基本公式與運算法則 0??? exye y 兩端對自變量 求導(dǎo)，則 xye y?? y? yx ?? 0?)( xey y ?? y??xeyy y????導(dǎo)數(shù)與微分 四、對數(shù)求導(dǎo)法 冪指函數(shù) 叫做冪指函數(shù) 形如 )()( xvxuy ?取對數(shù)求導(dǎo)法則 (1)、先在函數(shù) 的兩邊取對數(shù) )( xfy ?)0)(( ?xf(2)、等式兩邊分別對 求導(dǎo)數(shù)，最 xxy?后解出 使用范圍 （ 1）、冪指函數(shù) （ 2）、函數(shù)表達(dá)式中積、商、乘 方和開方運算較多的函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 例 11 求 的導(dǎo)數(shù) xxy ?解： 在等式兩邊取對數(shù)，得 yln xx ln?xxln?導(dǎo)數(shù)與微分 兩邊求導(dǎo) y1 y?? xln?xx 1??xxyln1 ?得： )1( ln ??? xyy )1( ln ?? xx x例 12 求 的導(dǎo)數(shù)。39。 ?或 若 x與 y的關(guān)系有參數(shù)方程表示為 3 3 1 ,1.l n ( 1 ) , xx t tyyt? ? ? ?????? 求 txtyyx?? ??21133tt???213 ( 1 ) ( 1 )tt???33c o s ,2.s i n ,xt dydxyt? ?????? 求 txtyyx????223 s i n c o s3 c o s ( s i n )tttt??si nc ostt?? tan t?? 二階導(dǎo)數(shù) 一般地，函數(shù) )(xfy ? 在點 x 處的 導(dǎo)數(shù) 仍是 x 的函數(shù)，若 )(xf? )(xf? 在點 x的導(dǎo)數(shù)存在，則稱導(dǎo)函數(shù) )(xf? 在點 x處對 的導(dǎo)數(shù) x 為函數(shù) 在點 ])([ ?? xf )(xf x 處 的二階導(dǎo)數(shù)，記作 ),(xf ?? y?? 或 22dxyd四、高階導(dǎo)數(shù) 導(dǎo)數(shù)與微分 三階導(dǎo)數(shù) 二階導(dǎo)函數(shù) 的導(dǎo)函數(shù)稱為 )(xf ?? )(xf的三階導(dǎo)數(shù)， 記作 ),(xf ??? y??? 或 33dxyd ?? n階導(dǎo)數(shù) n1階導(dǎo)函數(shù) )()1( xf n ?的導(dǎo)函數(shù)稱為 )(xf 的 n階導(dǎo)數(shù) , 記作 nnnndxxfdyxf )(,),( )()(nndxyd或 導(dǎo)數(shù)與微分 說明： 函數(shù) )(xfy ? 在點 0x處的各階導(dǎo)數(shù) 數(shù)值 ,即 : )(,)(),(),( 0)(0)4(00 xfxfxfxf n??????就是其各階 導(dǎo)函數(shù)在點 0x處的函 導(dǎo)數(shù)與微分 的 n階導(dǎo)數(shù)是對 求 )(xfy ?)(xf連續(xù)求 求高階導(dǎo)數(shù)的法則 求導(dǎo)的結(jié)果若有一般表達(dá) n次導(dǎo)數(shù) ,而 式 ,應(yīng)用通項表示出來 . 導(dǎo)數(shù)與微分 求 的二階導(dǎo)數(shù) 例 13 xxy ln?解： ??y xx ln)( ? )( ln ?? xxxx2ln?xx?)1ln21(21???xx???y ])1ln21([ 21 ??? xx)1ln21()( 21 ??? ? xx )1ln21(21 ??? ? xx2321 ??? x)1ln21( ?x 21?? xx21?xx ln41 23???)1ln21(21 ??? ? xxy導(dǎo)數(shù)與微分 導(dǎo)數(shù)與微分 求 的二階導(dǎo)數(shù) 例 14 222 ayx ??解： 兩邊對 求導(dǎo)： xx2 yy ??? 2 0???? yyx????y )( ??yx ? ?2yyx)( ? yx ??2yyxy ????2)(yyxxy ????322yxy ???32ya??2yyxyy ??????yxy ???導(dǎo)數(shù)與微分 求 例 15 ,)( 12 ?? xexf設(shè) )0(f ??解： ,2 12 ?xe?? )(xf 124 ?xe??? )(xf14 ?e??? )0(fe4????y xsin? )22s in ( ??? x????y xco s? )23s in ( ??? x???? )( ny ))(2s in ( Nnnx ?? ?求 的 n階導(dǎo)數(shù) 例 16 xy s in?解： ??y? xcos )2s in ( ??? x導(dǎo)數(shù)與微分