【正文】 2hf h f f f hh?? ? ? ? ??00( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 )l im l im22hhf h f f f hhh??? ? ? ???001 ( 2 ) ( 2 ) 1 ( 2 ) ( 2 )l im l im22hhf h f f h fhh??? ? ? ???001 ( 2 ) ( 2 ) 1 ( 2 ) ( 2 )l im l im22hhf h f f h fhh? ? ?? ? ? ????(2)f ?? 1?，、 1)(2 0 ?? xf? 0)( 0 ?xf)1(lim 0hxhfh????hhxfh 1)1(lim0????hxfhxfh 1)()1(lim00?????)( 0xf ???1??000)()(lim)(0 xxxfxfxfxx ?????1)1(3 ??f?、1)1()(lim21 ???? xfxfx )1)(1()1()(lim1 ????? xxfxfx)1(21 f ??21?0005. l im( 2 ) ( )xxf x x f x? ??xxfxxfx )()2(1lim000 ???? )(210xf ???41?2)( 0 ???? xf導(dǎo)數(shù)與微分 左、右可導(dǎo) 稱 0000( ) ( )l im l imxxf x x f xyxx??? ? ? ?? ? ?? ???0000( ) ( )l im ( )xxf x f x fxxx? ??? ????為函數(shù) 在 點(diǎn)處的左導(dǎo)數(shù)。 ? )(xf 0?x導(dǎo)數(shù)與微分 導(dǎo)數(shù)與微分 區(qū)間可導(dǎo) 區(qū)間 內(nèi)可導(dǎo)： ),( ba 若函數(shù) 在 內(nèi)每一點(diǎn)都可 )(xfy ? ),( ba)(xf ),( ba導(dǎo)，則稱函數(shù) 在區(qū)間 內(nèi)可導(dǎo)。 x)( xfy ? 若函數(shù) 在點(diǎn) 處可導(dǎo)，則函 x)( xfy ?00( ) ( ) f x x f x x?重要結(jié)論： 在點(diǎn) 可導(dǎo) 在點(diǎn) 有定義 ( ) ( ) f x x f x x?在點(diǎn) 有定義 在點(diǎn) 可導(dǎo) 00( ) ( ) f x x f x x?在點(diǎn) 可導(dǎo) 在點(diǎn) 連續(xù) ( ) ( ) f x x f x x?在點(diǎn) 連續(xù) 在點(diǎn) 可導(dǎo) 00( ) ( ) f x x f x x?在點(diǎn) 不連續(xù) 在點(diǎn) 不可導(dǎo) 例 3 求函數(shù) 在點(diǎn) 處的切線方程 xy 1? )1,1(和法線方程 解： ?? )( xf?21x? ??? )1(f 1?所以所求切線方程為： )1)(1(1 ???? xy即 02 ??? yx所以所求法線方程為： )1()1(11 ????? xy即 0?? yx導(dǎo)數(shù)與微分 導(dǎo)數(shù)與微分 二、求導(dǎo)公式 基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式 (1)、常函數(shù) 0)( ??C(2)、冪函數(shù) )()( 1 Rxx ???? ? ?? ??(3)、指數(shù)函數(shù) )10(ln)( ???? aaaaa xx 且xx ee ??)((4)、對數(shù)函數(shù) )10(ln1)( lo g ???? aaaxxa 且xx 1)(ln ??(5)、三角函數(shù) 導(dǎo)數(shù)與微分 xx c o s)( s in ??xx s in)( c o s ???xxx 22c o s1s e c)( t a n ???xxx 22s in1c s c)( c o t ?????xxx s e ct a n)( s e c ???xxx c s cc o t)( c s c ????導(dǎo)數(shù)與微分 (6)、反三角函數(shù) 211)( a r c s inxx???211)( a r c c osxx????211)( a r c t a nxx???211)c o t(xxa r c????導(dǎo)數(shù)與微分 導(dǎo)數(shù)與微分 導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則 vuvu ?????? )(uvvuuv ?????)(vccv ???)(2)(vuvvuvu ?????導(dǎo)數(shù)與微分 ? ? 21 fxfx fx()()() ()??? ?特別地： nn uuuuuu ??????????? ?? 2121 )(nnn uuuuuuuuu ??? 212121 )( ?????nuuu ??? ?? 21說明： 在求導(dǎo)數(shù)運(yùn)算中，一般先用法 則，再用基本公式。 導(dǎo)數(shù)與微分 導(dǎo)數(shù)公式中的自變量可以是 ， x例 5 求 的導(dǎo)數(shù) 53 22xxxy ?解： ??y )(53 22?xxx)(322???xx25x)( 25322?? ??x )( 61?? x 6561 ?? x?,tu也可以是其它字母如： 導(dǎo)數(shù)與微分 235 35421 ????? xxxxy、5lns in4 ?? xxy、3 2313xxy??、練習(xí) 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 112 2???xxy、5ln531410 3224 xxxxy ????? 134353732 xxy ??? ? xxxxy s inlnc o s ??、 導(dǎo)數(shù)與微分 5 1 2 1 0 0 0. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ?f x x x x x f ?? ? ? ? ?1 2 1 0 0( ) ( ) ( ) ( ) f x x x x? ? ? ? ?2 10 0( ) ( ) x x x? ? ?1 100( ) ( ) x x x? ? ? . . . . . . . . . . . .?1 9 9 + ( ) ( )x x x??0 1 0 0( ) ! f ???導(dǎo)數(shù)與微分 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則 若函數(shù) 在點(diǎn) 處可導(dǎo)， )( xu ?? x )(ufy ?在 處可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù) 在 u )]([ xfy ??在點(diǎn) 處也可導(dǎo)，且 x?dxdydxdu?或 ??xy xu??dudyuy?(1)、定理 導(dǎo)數(shù)與微分 (2)、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的方法 運(yùn)用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則的關(guān)鍵： 在于把復(fù)合函數(shù)分解成基本初等函數(shù) 或基本初等函數(shù)的和、差、積、商， 然后運(yùn)用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則和適當(dāng)?shù)? 導(dǎo)數(shù)公式進(jìn)行運(yùn)算。 0x導(dǎo)數(shù)與微分 若 (3)、 當(dāng) 在分段點(diǎn) 處的連續(xù)時， )(xf 0x計算 與 0xxuxlim ( )???0xxvxli m ( ) .???則 在點(diǎn) 處 0x)(xf00l im ( ) l im ( ) ,x x x xu x v x???????可導(dǎo) . 導(dǎo)數(shù)與微分 若在分段點(diǎn) 處， 不可導(dǎo)，則有 )(xf0x?????????00)()()(xxxvxxxuxf若在分段點(diǎn) 處， 可導(dǎo)，則有 )(xf0x?????????00)()()(xxxvxxxuxf對于 多個分段點(diǎn)，方法同上 (4)、 寫出 的表達(dá)式 )(xf?導(dǎo)數(shù)與微分 例 9 ,221)( 2????????xbxxaxxf設(shè)函數(shù) 在 處可導(dǎo)， 2?x求常數(shù) ba,解： )(xf? 在 處可導(dǎo) 2?x)(xf? 在 處連續(xù) 2?x由 )2()(lim)(lim22fxfxfxx?? ????即 122 2 ??? ab導(dǎo)數(shù)與微分 22l im ( ) l im ( )