【正文】 功。 P ? Q ? 他 不是 不聰明， 而是 不用功。 （ 簡(jiǎn)單命題 ） 命題邏輯 18 of 145 合取的性質(zhì) PPP ?? 冪等律 PP ??? 交換律 )()( RQPRQP ????? 結(jié)合律 PTP ?? 同一律 FFP ??FPP ???零 律 否定律 命題邏輯 19 of 145 3. 析取 ? （可兼或） 定義 3 兩個(gè)命題 P 和 Q 的析取是一個(gè)復(fù)合命題，記作 P ? Q. P Q PQ?010 01 10 1真值表 同假則假 0111命題邏輯 20 of 145 例 ? 他可能是 100米 或 400米賽跑的冠軍 . P ? Q ? 今天晚上八點(diǎn)我在家看電視 或 去劇場(chǎng)看戲 . （排斥或） ( P ? ? Q) ? (? P ? Q) ? 他昨天做了二十 或 三十道題 . （ 大約 ） （原子命題） ?析取與漢語(yǔ)中的“ 或 ” 的含義不完全相同 ． ?析取表示可兼或 . ?漢語(yǔ)中的 “ 或 ”既可以表示 “ 可兼或 ” 也可表示 “ 不可兼或 ” . 命題邏輯 21 of 145 析取的性質(zhì) PPP ??)()( RQPRQP ?????PP ???PFP ??TPP ???TTP ??冪等律 交換律 結(jié)合律 同一律 零 律 否定律 命題邏輯 22 of 145 析取的性質(zhì) (續(xù) ) )( RQP ?? )()( RPQP ???? 分配律 PQPP ??? )()()( RPQP ????)( RQP ??PQPP ??? )( 吸收律 QPQP ?????? )(QPQP ?????? )( 德 已知：李明一直在正常使用電腦，請(qǐng)問(wèn)在什么情況下，店方?jīng)]有履行承諾？ 命題邏輯 25 of 145 例 ? 如果天氣好，我就去游玩。 P → Q ? 如果雪是黑的，那么太陽(yáng)從西方升起。 P → Q 命題邏輯 26 of 145 例（續(xù)） ? 我將去旅游， 僅當(dāng) 我有時(shí)間。 P: 你努力 Q: 你失敗 ? P → Q 命題邏輯 27 of 145 例 P: 不下雨 Q: 我騎自行車(chē)上班 ? 只要 不下雨，我 就 騎自行車(chē)上班 P → Q ? 只有 不下雨，我 才 騎自行車(chē)上班。 ? 逆換式： Q → P 如果地濕，則下雨。 ? 逆反式： ? Q → ? P 如果地不濕，則不下雨。 2) 如果 A是合式公式，則 ? A是合式公式。 命題邏輯 38 of 145 命題公式（續(xù)） 4) 當(dāng)且僅當(dāng)能夠有限次地應(yīng)用（ 1）、（ 2）、（ 3）所得到的包含命題變?cè)?，?lián)結(jié)詞和括號(hào)的符號(hào)串是合式公式。 2. 選小王或小李中的一人當(dāng)班長(zhǎng)。 4. 如果我上街，我就去書(shū)店看看，除非我很累。 命題邏輯 41 of 145 例：試以符號(hào)形式寫(xiě)出下列命題 : 選修過(guò)微積分的學(xué)生選修這門(mén)課。 P ? Q : 小王當(dāng)班長(zhǎng)。 ( P ? ? Q) ? (? P ? Q) 3. P: 小王是計(jì)算機(jī)系的學(xué)生。 R: 他是一名好學(xué)生。 Q: 我去書(shū)店看看。 ? R →(P→Q) 5. C: 你是計(jì)算機(jī)系的學(xué)生。 A: 你可以通過(guò)校園網(wǎng)訪(fǎng)問(wèn) Inter。 01110011010 10011P? QP ??QP PQ?0111命題邏輯 44 of 145 例 1111RP Q QP ? RQP ??0000000001111 1000 000 111 01 0 010 011 101 1一般說(shuō)來(lái)， n個(gè)命題變?cè)M成的命題公式有 2n 種真值情況。 QP000011111111)?( QP ??PQ? ) ( 命題邏輯 46 of 145 矛盾式（永假式） ? 給定一命題公式，若無(wú)論對(duì)分量作怎樣的指派，其對(duì)應(yīng)的真值永為假，則稱(chēng)該命題公式為矛盾式或永假公式。 命題邏輯 48 of 145 定理 ? 任何兩個(gè)重言式的合取或析取，仍然是一個(gè)重言式。 由于重言式的真值與分量的指派無(wú)關(guān)， 故對(duì)同一分量以任何合式公式置換后，重言式的真值仍永為 T. 證明 : 命題邏輯 50 of 145 等價(jià) ? 給定兩個(gè)命題公式 A 和 B，設(shè)P1,P2,…,Pn為出現(xiàn)于 A 和 B 中的原子變?cè)艚o P1,P2,…,Pn任一組真值指派， A 和 B 的真值都相同，則稱(chēng) A 和 B 是等價(jià)的或邏輯相等。 設(shè) A、 B為兩個(gè)命題公式 , A ? B 當(dāng)且僅當(dāng) A ? B 為一重言式。 設(shè) X 是合式公式 A 的子公式，若 X ? Y ，如果將 A 中的 X 用 Y 來(lái)置換，所得到的公式 B 與公式 A 等價(jià)，即 A ? B 。 命題邏輯 57 of 145 例 試證 PPPQ ????? ))((( ( ) ( ) )Q P P P Q? ? ? ? ? ?證法 1 ))(( QPPQ ???)()( PPQ ???????))(( QPPQ ?????PQ ???PQ ??( ( ) )Q P P Q? ? ? ? ?命題邏輯 58 of 145 例 (續(xù) ) 試證 PPPQ ????? ))((證法 2 : ( ( ) )A Q P P Q? ? ?設(shè) ( ( ) )P P Q P? ? ?因?yàn)? :B Q P?所以 AB?即 得證。 只需對(duì)條件命題 P → Q的前件 P，指定真值為 T, 并由此推出 Q 的真值亦為 T, 則 P → Q是重言式，即 P ? Q成立。 命題邏輯 63 of 145 例 試證 ?Q? (P → Q) ? ? P 假定 ?Q ? (P → Q) 為 T, 則 ?Q 為 T, 且 (P → Q) 為 T。 證法 1 P Q ?P ?Q P→Q 0 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 命題邏輯 64 of 145 例 (續(xù)） 試證 ?Q? (P → Q) ? ? P 證法 2 假定 ?P 為 F, 則 P 為 T. 1. 若 Q 為 F, 則 P → Q 為 F, 故 ?Q ? (P → Q) 為 F. 2. 若 Q 為 T, 則 ?Q 為 F, 故 ?Q? (P → Q) 為 F. 所以 ?Q? (P → Q) ? ?P成立。 今天正在下雪。 ()P P Q Q? ? ? ,則將去滑雪。 所以今天正在下雪。 ,則將去滑雪。 所以今天沒(méi)有下雪。 所以現(xiàn)在氣溫在零度以下或者正在下雨。 所以現(xiàn)在氣溫在零度以下。 現(xiàn)在氣溫不在零度以下。 4. 現(xiàn)在氣溫在零度以下或者正在下雨。 ()P P Q Q? ? ? ?推理錯(cuò)誤。如果一個(gè)人是不快樂(lè)的 ,它則死得年輕。 ,那么我將不會(huì)數(shù)學(xué)不及格。 我數(shù)學(xué)不及格。 ( ) ( )P Q Q R P R? ? ? ? ?(P ? Q) ? (?R ? P) ? ? Q ? R 命題邏輯 71 of 145 蘊(yùn)含的性質(zhì) ? 若 A ? B 且 A 是重言式，則 B 是重言式。 ? 若 A ? B 且 A ? C , 則 A ? (B ? C)。 命題邏輯 72 of 145 等價(jià)與蘊(yùn)含的關(guān)系 ? 定理 設(shè) P、 Q為任意兩個(gè)命題公式， P ? Q的充要條件是 P ? Q 且 Q ? P. 證明 : 若 P ? Q，則 P ? Q 為一重言式。 反之，若 P ? Q 且 Q ? P， 則 (P → Q) 和 (Q → P) 為重言式 , 則 P ? Q 為重言式 , 即 P ? Q 北京理工大學(xué) 鄭軍 16 其它聯(lián)結(jié)詞