高一數學集合與集合的表示方法-在線瀏覽
2025-01-12 09:17本頁面
【正文】 以了，這里體現了整體代換的思想． ( 3 ) 即證明 a ，11 － a，11 －11 － a互不相等． 解： ( 1 ) 若 2 ∈ A ，則11 － 2＝－ 1 ∈ A . 于是11 － ( － 1 )＝12∈ A ，而11 －12＝ 2. 所以集合 A 中還有－ 1 ，12這兩個元素． ( 2 ) 若 a ∈ A ，則11 － a∈ A ， 所以11 －11 － a∈ A ，即 1 －1a∈ A . ( 3 ) 由 ( 2 ) 知，若 a ∈ A ，則11 － a， 1 －1a∈ A . 若 a ＝11 － a，則 a2－ a ＋ 1 ＝ 0 ，而此方程無實數解，即a ≠11 － a； 若 a ＝ 1 －1a，則 a2－ a ＋ 1 ＝ 0 ，而此方程無實數解，即a ≠1 －1a； 若11 － a＝ 1 －1a，則 a2－ a ＋ 1 ＝ 0 ，而此方程無實數解，即11 － a≠1 －1a.所以集合 A 中至少有三個元素 a ，11 － a， 1 －1a. 評析： 解此題的關鍵在于正確理解條件 “ 若 a ∈ A ，則11 － a∈ A ” 的本質含義，同時要充分運用集合元素的互異性． 變式訓練 5 含有三個實數的集合可表示為 { a ，ba，1} ，也可表示為 { a2， a ＋ b, 0} ，求 a2 0 0 6＋ b2 0 0 8的值． 分析：兩個集合完全一樣，所以元素也應該一樣，不過順序可以不同．根據集合元素的互異性分類討論． 解法一： ①若 a2＝ a，則 a＝ 0或 a＝ 1，把a＝ 0或 a＝ 1代入檢驗都不滿足題意， ∴ a≠a2. ② 若 a＝ a＋ b，則 b＝ 0，把 b＝ 0代入集合化為 {a,0,1}， {a2， a,0}，對比可得 a2＝ 1，∴ a＝ 1或 a＝－ 1，而 a＝ 1不滿足題意， ∴ a＝－ 1. ③ 若 a＝ 0，代入檢驗不滿足題意． 綜上： a＝－ 1， b＝ 0， ∴ a2020＋ b2020＝ 1. 解法二： 由集合元素的互異性知： a ≠1 ， a ≠0 ， ∴ba＝ 0 得 b ＝ 0 ，于是 { a, 0 , 1 } ＝ { a2， a, 0} ． ∴ a2＝ 1 ， ∴ a ＝－ 1( a ＝ 1 舍 ) ， ∴ a2 0 0 6＋ b2 0 0 8＝ 1. 評析：解決本題的關鍵是利用集合中元素的互異性構造方程，再利用集合中元素的互異性檢驗方程的解．注意含參問題要分類討論，分類討論時一定要注意到所有的情形． 整體探究解讀 題型一 用不同方法表示集合 【 例 1】 (一題多解 )用適當的方法表示下列集合： 大于－ ． 解法一： 列舉法． A＝ {－ 3，－ 2，－ 1,0,1,2,3,4}． 解法二： 特征性質描述法． A＝ {x∈ Z|－ x}． 解法三： 用韋恩圖法． 評析： 表示集合時，根據具體題目適當選取不同的表示方法；若集合中元素個數較少時，可選用列舉法，若集合中元素較多或無限集時常選用特征性質描述法，有時用韋恩圖法更直觀． 題型二 利用集合觀點解方程 【 例 2】 (難題巧解 )已知集合 A＝ {x|ax2－ 3x＋ 2＝ 0}，其中 a為常數，且 a∈ R. (1)若 A是空集，求 a的范圍； (2)若 A中只有一個元素，求 a的值； (3)若 A中至多只有一個元素，求 a的范圍． 分析： 本題實質上是從集合的角度考查方程的根的問題． 解： ( 1 ) ∵ A 是空 集， ∴ 方程 ax2－ 3
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