第37講空間夾角和距離-在線瀏覽
2024-08-09 17:31本頁面
【正文】 定理可得線段ＰＢ即為點(diǎn)Ｐ到直線的距離。點(diǎn)到平面的距離：點(diǎn)Ｐ到平面的距離為點(diǎn)Ｐ到平面的垂線段的長．常用求法①作出點(diǎn)Ｐ到平面的垂線后求出垂線段的長；②轉(zhuǎn)移法，如果平面的斜線上兩點(diǎn)Ａ，Ｂ到斜足Ｃ的距離ＡＢ，ＡＣ的比為，則點(diǎn)Ａ，Ｂ到平面的距離之比也為．特別地，ＡＢ＝ＡＣ時(shí)，點(diǎn)Ａ，Ｂ到平面的距離相等；③體積法（2）異面直線間的距離：異面直線間的距離為間的公垂線段的長．常有求法①先證線段ＡＢ為異面直線的公垂線段，然后求出ＡＢ的長即可．②找或作出過且與平行的平面，則直線到平面的距離就是異面直線間的距離．③找或作出分別過且與，分別平行的平面，則這兩平面間的距離就是異面直線間的距離．④根據(jù)異面直線間的距離公式求距離。（4）平面與平面間的距離：只存在于兩個(gè)平行平面之間．為一個(gè)平面上任意一點(diǎn)到另一個(gè)平面的距離。所以均可以用求函數(shù)的最小值法求各距離。（4）用法向量求兩平行平面間的距離首先必須確定兩個(gè)平面是否平行，這時(shí)可以在一個(gè)平面上任取一點(diǎn)，將兩平面間的距離問題轉(zhuǎn)化成點(diǎn)到平面的距離問題。（6）法向量求直線與平面所成的角要求直線a與平面α所成的角θ，先求這個(gè)平面α的法向量與直線a的夾角的余弦，易知θ=或者。由余弦定理可求得。（2）二面角的大小為，為異面直線，且，則所成的角為兩條直線所成的角，∴ θ=，選B。A1B1C1D1ABCDExyz例2．已知正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為2，點(diǎn)E為棱AB的中點(diǎn)。不難證明為平面BC1D的法向量，∵ 。點(diǎn)評(píng)：將異面直線間的夾角轉(zhuǎn)化為空間向量的夾角。設(shè)PC=a，則PO=，故，即選C。例2．（03年高考試題）如圖，直三棱柱ABC—A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB＝90176。求A1B與平面ABD所成角的大?。ńY(jié)果用余弦值表示）；GDDA1C1B1CBKxyzAE解析：如圖所示，建立坐標(biāo)系，坐標(biāo)原點(diǎn)為C，設(shè)CA＝2a，則A(2a，0，0)，B(0，2a，0)，D(0，0，1)，A1(2a，0，2)，E(a，a，1)， G() ，∵ ，，∴ a＝1，∵ 為平面ABD的法向量，且。點(diǎn)評(píng)：先處理平面的法向量，再求直線的方向向量與法向量夾角間的夾角轉(zhuǎn)化為線面角。（1）求平面PDE與平面PAB所成二面角的大小（用正切值表示）；（2）求平面PBA與平面PDC所成二面角的大小。易得，故平面PDE與平PAD所成二面角的正切值為；（2）解法1（面積法）如圖∵AD⊥PA、AB, PA∩AB=A，∴DA⊥平面BPA于A, 同時(shí)，BC⊥平面BPA于B，∴△PBA是△PCD在平面PBA上的射影, 設(shè)平面PBA與平面PDC所成二面角大小為θ, cosθ=S△PAB/S△PCD=/2 θ=450?！ 〗夥?（補(bǔ)形化為定義法）如圖：將四棱錐PABCD補(bǔ)形得正方體ABCD－PQMN，則PQ⊥PA、PD，于是∠APD是兩面所成二面角的平面角。即平面BAP與平面PDC所成二面角的大小為45176。求二面角的大小。由題意：平面平面，∴平面，以O(shè)為原點(diǎn)，建立如圖6所示空間直角坐標(biāo)系，則 ， ∴ ， ， ，由題意 平面ABD， ∴ 為平面ABD的法向量。∴ 不妨設(shè) ，由，得。評(píng)析：（1）用法向量的方法處理二面角的問題時(shí)，將傳統(tǒng)求二面角問題時(shí)的三步曲：“找——證——求”直接簡化成了一步曲：“計(jì)算”，這表面似乎談化了學(xué)生的空間想象能力，但實(shí)質(zhì)不然，向量法對(duì)學(xué)生的空間想象能力要求更高，也更加注重對(duì)學(xué)生創(chuàng)新能力的培養(yǎng)，體現(xiàn)了教育改革的精神
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