【正文】 如三元函數(shù)u=f(x, y, z)在點(diǎn)(x, y, z)處對x的偏導(dǎo)數(shù)定義為 , 其中(x, y, z)是函數(shù)u=f(x, y, z)的定義域的內(nèi)點(diǎn). 它們的求法也仍舊是一元函數(shù)的微分法問題. 例1 求z=x2+3xy+y2在點(diǎn)(1, 2)處的偏導(dǎo)數(shù).　　 解 , .　, .　　 例2 求z=x2sin 2y的偏導(dǎo)數(shù).　　 解 , .　　 例3 設(shè), 求證: .　　 證 , . .　　 例4 求的偏導(dǎo)數(shù). 　　 解 。 , 。 　所以.　　 例5 說明的問題: 偏導(dǎo)數(shù)的記號是一個整體記號, 不能看作分子分母之商.　　 二元函數(shù)z=f(x, y)在點(diǎn)(x0, y0)的偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義: fx(x0, y0)=[f(x, y0)]x162。是截線z=f(x0, y)在點(diǎn)M0處切線Ty對y軸的斜率. 偏導(dǎo)數(shù)與連續(xù)性: 對于多元函數(shù)來說, 即使各偏導(dǎo)數(shù)在某點(diǎn)都存在, 也不能保證函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù). 例如 在點(diǎn)(0, 0)有, fx(0, 0)=0, fy(0, 0)=0, 但函數(shù)在點(diǎn)(0, 0)并不連續(xù).　　提示: , 。 當(dāng)點(diǎn)P(x, y)沿直線y=kx趨于點(diǎn)(0, 0)時, 有 . 因此, 不存在, 故函數(shù)f(x, y)在(0, 0)處不連續(xù). 類似地, 可定義函數(shù)z=f(x, y)對y的偏導(dǎo)函數(shù), 記為 , , zy , 或. 偏導(dǎo)函數(shù)的定義式: . 二. 高階偏導(dǎo)數(shù) 設(shè)函數(shù)z=f(x, y)在區(qū)域D內(nèi)具有偏導(dǎo)數(shù), , 那么在D內(nèi)fx(x, y)、fy(x, y)都是x, y 的函數(shù). 如果這兩個函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)也存在, 則稱它們是函數(shù)z=f(x, y)的二偏導(dǎo)數(shù). 按照對變量求導(dǎo)次序的為同有下列四個二階偏導(dǎo)數(shù) 如果函數(shù)z=f(x, y)在區(qū)域D內(nèi)的偏導(dǎo)數(shù)fx(x, y)、fy(x, y)也具有偏導(dǎo)數(shù), 則它們的偏導(dǎo)數(shù)稱為函數(shù)z=f(x, y)的二階偏導(dǎo)數(shù). 按照對變量求導(dǎo)次序的不同有下列四個二階偏導(dǎo)數(shù) , , , .　　其中, 稱為混合偏導(dǎo)數(shù).　, , , .　　　同樣可得三階、四階、以及n 階偏導(dǎo)數(shù).　　二階及二階以上的偏導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階偏導(dǎo)數(shù).　　 例6 設(shè)z=x3y23xy3xy+1, 求、和. 　 解 , 。 , . 由例6觀察到的問題: 定理 如果函數(shù)z=f(x, y)的兩個二階混合偏導(dǎo)數(shù)及在區(qū)域D內(nèi)連續(xù), 那么在該區(qū)域內(nèi)這兩個二階混合偏導(dǎo)數(shù)必相等. 類似地可定義二元以上函數(shù)的高階偏導(dǎo)數(shù).　　 例7 驗(yàn)證函數(shù)滿足方程.　　 證 因?yàn)? 所以 , , , .　　因此 .　　 例8．證明函數(shù)滿足方程, 其中.　 證: , .　　同理 , .　　因此　　 .提示: .　　 167。fx(x, y)Dx, f(x+Dx, y)f(x, y)為函數(shù)對x的偏增量, f x(x, y)Dx為函數(shù)對x的偏微分。fy(x, y)Dy, f(x, y+Dy)f(x, y)為函數(shù))對y的偏增量, f y(x, y)Dy為函數(shù)對y的偏微分. 全增量: Dz= f(x+Dx, y+Dy)f(x, y). 計算全增量比較復(fù)雜, 我們希望用Dx、Dy的線性函數(shù)來近似代替之. 定義 如果函數(shù)z=f(x, y)在點(diǎn)(x, y)的全增量 Dz= f(x+Dx, y+Dy)f(x, y) 可表示為 , 其中A、B不依賴于Dx、Dy 而僅與x、y 有關(guān), 則稱函數(shù)z=f(x, y)在點(diǎn)(x, y)可微分, 而稱ADx+BDy為函數(shù)z=f(x, y)在點(diǎn)(x, y)的全微分, 記作dz, 即 dz=ADx+BDy. 如果函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)各點(diǎn)處都可微分, 那么稱這函數(shù)在D內(nèi)可微分. 可微與連續(xù): 可微必連續(xù), 但偏導(dǎo)數(shù)存在不一定連續(xù). 這是因?yàn)? 如果z=f(x, y)在點(diǎn)(x, y)可微, 則 Dz= f(x+Dx, y+Dy)f(x, y)=ADx+BDy+o(r),于是 , 從而 . 因此函數(shù)z=f(x, y)在點(diǎn)(x, y)處連續(xù). 可微條件: 定理1(必要條件) 如果函數(shù)z=f(x, y)在點(diǎn)(x, y)可微分, 則函數(shù)在該點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)、必定存在, 且函數(shù)z=f(x, y)在點(diǎn)(x, y)的全微分為 . 證 設(shè)函數(shù)z=f(x, y)在點(diǎn)P(x, y)可微分. 于是, 對于點(diǎn)P的某個鄰域內(nèi)的任意一點(diǎn)P 162。0而取極限, 就得 , 從而偏導(dǎo)數(shù)存在, 且. 同理可證偏導(dǎo)數(shù)存在, 且. 所以 . 簡要證明: 設(shè)函數(shù)z=f(x, y)在點(diǎn)(x, y)可微分. 于是有Dz=ADx+BDy+o(r). 特別當(dāng)Dy=0時有 f (x+Dx, y)f(x, y)=ADx+o(|Dx|). 上式兩邊各除以Dx, 再令Dx174。dz= f x (x, y)Dx+f y (x, y)Dy , 即 f (x+Dx, y+Dy) 187。dV=VrDr+VhDh=2prhDr+pr2Dh =2p180。100180。202180。 f(x, y)+f x(x, y)Dx+f y(x, y)Dy =x y+yxy1Dx+x yln x Dy , 所以()2. 02187。121180。ln1180。、T=2177。dx, |Δy |163。從而得到z的絕對誤差約為 。8. 4 多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則 設(shè)z=f(u, v), 而u=j(t), v=y(t), 如何求？ 設(shè)z=f(u, v), 而u=j(x, y), v=y(x, y), 如何求和？ 1. 復(fù)合函數(shù)的中間變量均為一元函數(shù)的情形 定理1 如果函數(shù)u=j(t)及v=y(t)都在點(diǎn)t可導(dǎo), 函數(shù)z=f(u, v)在對應(yīng)點(diǎn)(u, v)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 則復(fù)合函數(shù)z=f[j(t), y(t)]在點(diǎn)t可導(dǎo), 且有 . 簡要證明1: 因?yàn)閦=f(u, v)具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù), 所以它是可微的, 即有 .又因?yàn)閡=j(t)及v=y(t)都可導(dǎo), 因而可微, 即有 , , 代入上式得 , 從而 . 簡要證明2: 當(dāng)t取得增量Dt時, u、v及z相應(yīng)地也取得增量Du、Dv及Dz . 由z=f(u, v)、u=j(t)及v=y(t)的可微性, 有 , , 令Dt174。 同理有,等. , . 注: , . 例5 設(shè)u=f(x, y)的所有二階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù), 把下列表達(dá)式轉(zhuǎn)換成極坐標(biāo)系中的形式: (1)。8. 5 隱函數(shù)的求導(dǎo)法則 一、一個方程的情形 隱函數(shù)存在定理1 設(shè)函數(shù)F(x, y)在點(diǎn)P(x0, y0)的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), F(x0, y0)=0, Fy(x0, y0)185。0, 等式兩邊對x求導(dǎo)得 , 由于F y連續(xù), 且Fy(x0, y0)185。0, 于是得 . 例1 驗(yàn)證方程x2+y21=0在點(diǎn)(0, 1)的某一鄰域內(nèi)能唯一確定一個有連續(xù)導(dǎo)數(shù)、當(dāng)x=0時y=1的隱函數(shù)y=f(x), 并求這函數(shù)的一階與二階導(dǎo)數(shù)在x=0的值. 解 設(shè)F(x, y)=x2+y21, 則Fx=2x, Fy=2y, F(0, 1)=0, Fy(0, 1)=2185。 , . 隱函數(shù)存在定理還可以推廣到多元函數(shù). 一個二元方程F(x, y)=0可以確定一個一元隱函數(shù), 一個三元方程F(x, y, z)=0可以確定一個二元隱函數(shù). 隱函數(shù)存在定理2 設(shè)函數(shù)F(x, y, z)在點(diǎn)P(x0, y0, z0)的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù), 且F(x0, y0, z0)=0, Fz(x0, y0, z0)185。0, 將上式兩端分別對x和y求導(dǎo), 得 , . 因?yàn)镕 z連續(xù)且F z(x0, y0, z0)185。0, 于是得 , . 例2. 設(shè)x2+y2+z24z=0, 求. 解 設(shè)F(x, y, z)= x2+y2+z24z, 則Fx=2x, Fy=2z4, , . 二、方程組的情形 在一定條件下, 由個方程組F(x, y, u, v)=0, G(x, y, u, v)=0可以確定一對二元函數(shù)u=u(x, y), v=v(x, y), 例如方程xuyv=0和yu+xv=1可以確定兩個二元函數(shù), . 事實(shí)上, xuyv=0 222。222。 偏導(dǎo)數(shù), 由方程組確定. 例3 設(shè)xuyv=0, yu+xv=1, 求, , 和. 解 兩個方程兩邊分別對x 求偏導(dǎo), 得關(guān)于和的方程組,當(dāng)x2+y2 185。0時, 解之得, . 另解 將兩個方程的兩邊微分得 , 即. 解之得 , . 于是 , , , . 例4 設(shè)函數(shù)x=x(u, v), y=y(u, v)在點(diǎn)(u, v)的某一領(lǐng)域內(nèi)連續(xù)且有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 又 . (1)證明方程組 在點(diǎn)(x, y, u, v)的某一領(lǐng)域內(nèi)唯一確定一組單值連續(xù)且有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的反函數(shù)u=u(x, y), v=v(x, y). (2)求反函數(shù)u=u(x, y), v=v(x, y)對x, y的偏導(dǎo)數(shù). 解 (1)將方程組改寫成下面的形式 , 則按假設(shè) 由隱函數(shù)存在定理3, 即得所要證的結(jié)論. (2)將方程組(7)所確定的反函數(shù)u=u(x, y),v=v(x, y)代入(7), 即得 , 將上述恒等式兩邊分別對x求偏導(dǎo)數(shù),得 . 由于J185。8. 6多元函數(shù)微分學(xué)的幾何應(yīng)用 一. 空間曲線的切線與法平面 設(shè)空間曲線G的參數(shù)方程為 x=j(t), y=y(t), z=w(t)這里假定j(t), y(t), w(t)都在[a, b]上可導(dǎo). 在曲線G上取對應(yīng)于t=t0的一點(diǎn)M0(x0, y0, z0)及對應(yīng)于t=t0+Dt的鄰近一點(diǎn)M(x0+Dx, y0+Dy, z0+Dz). 作曲線的割線MM0, 其方程為 , 當(dāng)點(diǎn)M沿著G趨于點(diǎn)M0時割線MM0的極限位置就是曲線在點(diǎn)M0處的切線. 考慮 ,當(dāng)M174。0時, 得曲線在點(diǎn)M0處的切線方程為 . 曲線的切向量: 切線的方向向量稱為曲線的切向量. 向量 T=(j162。(t0), w162。(t0)(xx0)+y162。(t0)(zz0)=0. 例1 求曲線x=t, y=t2, z=t3在點(diǎn)(1, 1, 1)處的切線及法平面方程. 解 因?yàn)閤t162。=2t, zt162。(x), y162。(t0), y162。(t0)不全為零. 曲線在點(diǎn)的切向量為 T =(j162。(t0), w162。(t0)+Fy(x0, y0, z0)y162。(t0)=0. 引入向量 n=(Fx(x0, y0, z0), Fy(x0, y0, z0), Fz(x0, y0, z0)), 易見T與n是垂直的. 因?yàn)榍€G是曲面S上通過點(diǎn)M0的任意一條曲線, 它們在點(diǎn)M0的切線都與同一向量n垂直, 所以曲面上通過點(diǎn)M0的一切曲線在點(diǎn)M0的切線都在同一個平面上. 這個平面稱為曲面S在點(diǎn)M0的切平面. 這切平面的方程式是 Fx(x0, y0, z0)(xx0)+Fy(x0, y0, z0)(yy0)+Fz(x0, y0, z0)(zz0)=0. 曲面的法線: 通過點(diǎn)M0(x0, y0, z0)而垂直于切平面的直線稱為曲面在該點(diǎn)的法線. 法線方程為 . 曲面的法向量: 垂直于曲面上切平面的向量稱為曲面的法向量. 向量 n=(Fx(