【正文】 0,1( ??T二、 曲面的切平面與法線 設(shè) 有 光滑曲面 通過其上定點 0tt ?設(shè) 對應點 M, 切線方程為 )()()(000000tzztyytxx??? ????????不全為 0 . 則 ? 在 且 點 M 的 切向量 為 任意 引一條光滑曲線 M?T下面證明 : 此平面稱為 ? 在該點的 切平面 . 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ? 上過點 M 的任何曲線在該點的切線都 在同一平面上 . ))(,)(,)(( 000 tttT ??? ????M?T證 : 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 在 ? 上 , 0))(,)(,)(( ?? tttF ???,0 處求導兩邊在 tt ? ,0 Mtt 對應點注意 ?)( 0t?? 0?),( 000 zyxF x ),( 000 zyxF y?),( 000 zyxF z?)( 0t?? )( 0t??得 ))(,)(,)(( 000 tttT ??? ????)),(,),(,),(( 000000000 zyxFzyxFzyxFn zyx?令 nT ?切向量由于曲線 ? 的任意性 , 表明這些切線都在以 為法向量 的平面上 , 從而切平面存在 . )(),( 0000 xxzyxF x ?曲面 ? 在點 M 的 法向量 法線方程 000 zzyyxx ?????)(),( 0000 yyzyF y ??0))(,( 0000 ??? zzzyxF z切平面方程 ),( 000 zyxF x ),( 000 zyxF y ),( 000 zyxF zM?T)),(,),(,),(( 000000000 zyxFzyxFzyxFn zyx?復習 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 )(),( 000 xxyxf x ?曲面 時 , zyxfzyxF ?? ),(),(則在點 ),( zyx故當函數(shù) ),( 00 yx法線方程 令 有在點 ),( 000 zyx?特別 , 當光滑曲面 ? 的方程為顯式 在點 有連續(xù)偏導數(shù)時 , )(),( 000 yyyxf y ???? 0zz切平面方程 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 法向量 用 將 ),(,),( 0000 yxfyxf yx , yx ff法向量的 方向余弦： 表示法向量的方向角 , 并假定法向量方向 分別記為 則 向上 , )1,),(,),(( 0000 yxfyxfn yx ???復習 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例 3. 求球面 3632 222 ??? zyx 在點 (1 , 2 , 3) 處的切 平面及法線方程 . 解 : 所以球面在點 (1 , 2 , 3) 處有 : 切平面方程 )1(2 ?x即 法線方程 321 ????? zyx)2(8 ?? y 0)3(18 ??? z1 4 9法向量 令 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 )6,4,2( zyxn ?)18,8,2()3,2,1( ?n例 4. 確定正數(shù) ? 使曲面 ??zyx在點 ),( 000 zyxM解 : 二曲面在 M 點的法向量分別為 二曲面在點 M 相切 , 故 000000000zyxyzxxzy ??0x又點 M 在球面上 , 于是有 000 zyx??相切 . 333a?與球面 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ),( 0002 zyxn ?21 // nn , 因此有 20y20z21. 空間曲線的切線與法平面 切線方程 000 zzyyxx ?????法平面方程 ))(( 00 xxt ???1) 參數(shù)式情況 . ?????????)()()(:tztytx???空間光滑曲線 切向量 內(nèi)容小結(jié) )( 0t?? )( 0t?? )( 0t??)()( 00 yyt ??? ? 0))(( 00 ???? zzt?機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ))(,)(,)(( 000 tttT ??? ????切線方程 法平面方程 MMM yxGFzzxzGFyyzyGFxx),(),(),(),(),(),(000???????????空間光滑曲線 ??? ??? 0),( 0),(: zyxG zyxFMzyGF),(),(??切向量 2) 一般式情況 . ,),( ),(MzyGF?? ,),(),(MxzGF??MyxGF),(),(?? ???)( 0xx ? MxzGF),(),(???)( 0yy ?MyxGF),(),(???0)( 0 ?? zz機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ????T空間光滑曲面 曲面 ? 在點 法線方程 ),( 0000zyxFxxx?),( 0000zyxFyyy??),( 0000zyxFzzz??)(),()(),( 00000000 yyzyxFxxzyxF yx ???1) 隱式情況 . 的 法向量 0))(,( 0000 ??? zzzyxF z切平面方程 2. 曲面的切平面與法線 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 )),(,),(,),(( 000000000 zyxFzyxFzyxFn zyx?空間光滑曲面 )(),()(),( 0000000 yyyxfxxyxfzz yx ?????切平面方程 法線方程 1),(),( 0000000?????? zzyxfyyyxfxxyx,1c o s,1c o s 2222yxyyxxffffff???????? ??2) 顯式情況 . 法線的 方向余弦 2211c o syx ff ????法向量 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 )1,( yx ffn ???思考與練習 1. 如果平面 與橢球面 相切 , 提示 : 設(shè)切點為 則 000 226 zyx ??3?2???機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 (二法向量平行 ) (切點在平面上 ) (切點在橢球面上 ) 證明 曲面 上任一點處的 切平面都通過原點 . 提示 : 在曲面上任意取一點 則通過此 ?? 0zz )( 0xxxzM??? )( 0yyyzM????2. 設(shè) f ( u ) 可微 , 第七節(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 證明原點坐標滿足上述方程 . 點的切平面為 1. 證明曲面 0),( ??? ynzymxF與定直線平行 , .),( 可微其中 vuF證 : 曲面上任一點的法向量 ,1F? ,)()( 21 nFmF ??????? )2F?取定直線的方向向量為 ,m ,1 )n則 (定向量 ) 故結(jié)論成立 . 的所有切平面恒 備用題 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 (?n(?l,0??nl2. 求曲線 ??? ???? ???? 04532 03222zyxxzyx 在點 (1,1,1) 的切線 解 : 點 (1,1,1) 處兩曲面的法向量為 )2,2,1(??因此切線的方向向量為 )1,9,16( ??由此得切線 : 111 ????? zyx16 9 1?法平面 : 0)1()1(9)1(16 ?????? zyx024916 ???? zyx即 與法平面 . 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 )1,1,1(1 )2,2,32( zyxn ??)5,3,2(2 ??n21 nnl ?? 第九章 第七節(jié) 一、方向?qū)?shù) 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 二、梯度 三、物理意義 方向?qū)?shù)與梯度 l),( zyxP一、方向?qū)?shù) 定義 : 若函數(shù) ),( zyxf??f?? 0lim則稱 lf??lf???為函數(shù)在點 P 處沿方向 l 的 方向?qū)?shù) . ??),(),(lim0zyxfzzyyxxf ?????????在點 ),( zyxP處 沿方向 l (方向角為 ??? , ) 存在下列極限 : 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 P??記作 ,),(),( 處可微在點若函數(shù) zyxPzyxf),( zyxPl定理 : 則函數(shù)在該點 沿任意方向 l 的方向?qū)?shù)存在 , ??flf ????? 0l i m??? c o sc o sc o s zfyfxflf ???????????證明 : 由函數(shù) ),( zyxf)( ?ozzfyyfxxff ??????????????? ? ??且有 )(?o?在點 P 可微 , 得 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ?P?故 ??? c o sc o sc o s zfyfxf ?????????機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 對于二元函數(shù) ,),( yxf為 ?, ? ) 的方向?qū)?shù)為 方處沿方向在點 (),( lyxP??),(),(lim0yxfyyxxflf ??????????? c o s),(c o s),( yxfyxf yx ??Plxyoxflf?????特別 : ? 當 l 與 x 軸同向 ? ? 有時 ,2,0 ??? ??? 當 l 與 x 軸反向 ? ? 有時 ,2, ???? ?? xflf ??????l向角 例 1. 求函數(shù) 在點 P(1, 1, 1) 沿向量 3) 的方向?qū)?shù) . ???????Plu1422 ?zyx ?????1432 yx機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 解 : 向量 l 的方向余弦為 例 2. 求函數(shù) 在點 P(2, 3)沿曲線 朝 x 增大方向的方向?qū)?shù) . 解 :將已知曲線用參數(shù)方程表示為 2)2,1( ?xx它在點 P 的 切向量為 ,171c o s ?? ?1760?xoy2P??????1 2xyxx)4,1(?174c o s ??