[理學(xué)]第八章函數(shù)微分法及其應(yīng)用-在線瀏覽
2025-03-08 15:10本頁面
【正文】 對(duì) x 的偏導(dǎo)數(shù) . ),( 00 yxf x?記作即 x yxfyxxfyxf xx ? ????? ?? ),(),(lim),( 0000000此時(shí)也稱 f (x, y)在 (x0, y0) 處對(duì) x 的偏導(dǎo)數(shù)存在 . 否則稱 f (x, y)在 (x0, y0) 處對(duì) x的偏導(dǎo)數(shù)不存在 . ,00yy xxxz????xyxfxfyyxx ??????),( 0000或 類似 , 若固 定 x = x0, 而讓 y 變 , z = f (x0, y)成為 y 的一元函數(shù) . .),(),(limlim 000000存在若極限 y yxfyyxfy zyyy ???????????則稱它為 z = f (x, y) 在 (x0, y0) 處對(duì) y 的偏導(dǎo)數(shù) . yyxfyfyzyxf yyyxxyyxxy ??????????),( , ),( 00000000或記作即 y yxfyyxfyxfyy ????????),(),(lim),( 0000000定義：設(shè)函數(shù) z = f ( x , y ) 在點(diǎn) 的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義。如果極限 存在，就稱其為函數(shù) f ( x , y )在點(diǎn) 處對(duì) x 的偏導(dǎo)數(shù)，記作 ),( 00 yx),( 00 yx0yy ?x?),(),( 0000 yxfyxxfzx ?????xyxfyxxfxzxxx ???????????),(),(limlim 000000),(, 00000000yxfzxfxzxyyxxxyyxxyyxx ????????????函數(shù) f ( x , y ) 在點(diǎn) 處對(duì) y 的偏導(dǎo)數(shù)，記作 ),(, 00000000yxfzyfyzyyyxxyyyxxyyxx ????????????yyxfyyxfy ???????),(),(lim 00000),( 00 yx 若 z = f (x, y) 在區(qū)域 D 內(nèi)每一點(diǎn) (x, y) 處時(shí) x的偏導(dǎo)數(shù)都存在 , 即 ?(x, y)?D, xyxfyxxfx ??????),(),(lim0存在 . 此時(shí) , 它是 x, y的二元函數(shù) . 稱為 z 對(duì) x 的偏導(dǎo)函數(shù) . 簡(jiǎn)稱偏導(dǎo)數(shù) .記作 ( , ) , x zf x y x?? ?類似定義 z 對(duì) y 的偏導(dǎo)函數(shù) . xyxfyxxfyxfxx ????????),(),(lim),( 0即 , 所謂 f (x, y) 對(duì) x 的偏導(dǎo)數(shù) , 就是將 y 看作常數(shù) , 將 f (x, y) 看作一元函數(shù)來定義的 . 注 因此 ,在實(shí)際計(jì)算時(shí) , 求 f 39。y (x, y)時(shí) , 只須將 x 看作常數(shù) ,用一元函數(shù)求導(dǎo)公式求即可 . 2. f 39。x (x, y), 在點(diǎn) (x0, y0)的值 . 算 f 39。y (x0, y0) f 39。y (x0, y0) (1) 用定義算 . (2) 先算 f 39。x (x0, y0) f 39。y (x0, y0). 例 1. .)2 ,1(3 22 處的偏導(dǎo)數(shù)在求 yxyxz ???解 : .862 ,3221???????????yxxzyxxz 從而.743 ,2321???????????yxyzyxyz 從而例 2. .2s i n2 的偏導(dǎo)數(shù)求 yxz ?解 : ,2s in2 yxxz ???22c o s2 ???? yxyz yx 2c o s2 2?例 4. . 222 的偏導(dǎo)數(shù)求 zyxu ???解 : 2222 2 zyx xu x ???? ux?22222 zyxyuy ???? uy?22222 zyxzuz ???? uz? 在一元函數(shù)中 , 可導(dǎo)必連續(xù) , 但對(duì)多元函數(shù)不適用 . 即 , 對(duì)多元函數(shù) f (x,y)而言 , 即使它在 (x0， y0 )的對(duì)各個(gè)自變量的偏導(dǎo)數(shù)都存在 , 也 不能保證 f (x,y)在 (x0， y0 ) 連續(xù) . 三 、 偏導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系 兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)都存在的二元函數(shù)未必連續(xù) 偏導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系： 例 . ?? ),( yxfz ,),( ,1 軸上時(shí)軸或不在當(dāng) yxyx,),( ,0 軸上時(shí)軸或在當(dāng) yxyx 易知 , f (x, y)在 (0,0)的兩個(gè)偏導(dǎo)都存在 ,且為 0. 但它在 (0, 0)不
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