【正文】 ，但在這兩種狀態(tài)下的振動(dòng)水平是有差異的。但由于齒輪振動(dòng)信號(hào)比較復(fù)雜，故障對(duì)振動(dòng)信號(hào)的影響也是多方面的，必須借助有效的信號(hào)分析方法才能對(duì)齒輪故障進(jìn)行診斷。信號(hào)調(diào)制可分為兩種：復(fù)制調(diào)制和頻率調(diào)制。這些調(diào)制邊頻帶的特點(diǎn)是包含了很多有用的齒輪故障信息。所以，對(duì)調(diào)制現(xiàn)象及邊頻帶特點(diǎn)進(jìn)行研究是齒輪箱故障診斷中的一個(gè)很重要的研究課題。幅值調(diào)制從數(shù)學(xué)上看，相當(dāng)于兩個(gè)信號(hào)在時(shí)域上相乘；而在頻域上相當(dāng)于兩個(gè)信號(hào)的卷積。在齒輪信號(hào)中，嚙合頻率的主要成分成分通常是載波，齒輪軸旋轉(zhuǎn)頻率的主要成分通常是調(diào)制波。 上述調(diào)制信號(hào)在頻域科表示為 由此可見，調(diào)制后的信號(hào)中，除原來(lái)的嚙合頻率分量外，又增加了一對(duì)分量和，它們是以為中心，以為間距對(duì)稱分布于兩側(cè)，所以稱其為邊頻帶。由振動(dòng)方程可知，一般情況下，可以反映由故障而產(chǎn)生的幅值調(diào)制。由于齒輪是在作周期運(yùn)動(dòng)，所以齒輪每轉(zhuǎn)一圈，就變化一次。因?yàn)樵跁r(shí)域上載波信號(hào)和調(diào)制信號(hào)乘積的效果相當(dāng)于它們?cè)陬l域上調(diào)制的幅值頻譜的卷積。圖 齒輪頻譜上邊頻帶的形成因此可以比較好的表現(xiàn)出齒輪集中缺陷和分布缺陷的邊頻的區(qū)別。(b)為齒輪存在分布缺陷的情形。并且，齒輪上的缺陷分布越均勻，頻譜上的邊頻帶就越高、越集中。對(duì)于齒輪傳動(dòng)，任何導(dǎo)致產(chǎn)生幅值調(diào)制的因素也同時(shí)會(huì)導(dǎo)致頻率調(diào)制。 頻率調(diào)制即使在載波信號(hào)和調(diào)制信號(hào)均為單一頻率成分的情況下，也會(huì)形成很多邊頻成分。 上式可以用貝賽爾函數(shù)展開，得到的調(diào)制信號(hào)特性為：調(diào)頻的振動(dòng)信號(hào)包含有無(wú)限多個(gè)頻率分量，并以嚙合頻率為中心，以調(diào)制頻率為間隔形成無(wú)限多對(duì)的調(diào)制邊帶。因此在齒輪信號(hào)頻率調(diào)制中，載波函數(shù)和調(diào)制函數(shù)均為一般周期函數(shù)，均包含基頻及其各階倍頻成分。 本章小結(jié)本章對(duì)齒輪箱振動(dòng)機(jī)理進(jìn)行了簡(jiǎn)單地介紹，并對(duì)齒輪箱出現(xiàn)故障時(shí)的基本形式和產(chǎn)生調(diào)制現(xiàn)象等情況進(jìn)行了詳細(xì)地分析，由此得到相應(yīng)頻域的邊頻帶分布特點(diǎn)，來(lái)作為故障診斷地基本依據(jù)。 隨著小波理論研究的深入和日趨成熟，其應(yīng)用已逐步滲透到許多領(lǐng)域。小波分析在時(shí)域和頻域同時(shí)具有良好的局部化特性，克服了傳統(tǒng)分析的不足，由于小波分析對(duì)高頻采取逐漸精細(xì)的時(shí)域步長(zhǎng)，從而可以聚焦到被分析信號(hào)的任意細(xì)節(jié)。小波分析與分析的區(qū)別在于：分析只考慮時(shí)域和頻域之間的一對(duì)一的映射，它以單個(gè)變量（時(shí)間或頻率）的函數(shù)表示信號(hào)，時(shí)頻分析在時(shí)頻平面上表示非平穩(wěn)信號(hào)；小波分析則聯(lián)合時(shí)間－尺度函數(shù)分析非平穩(wěn)信號(hào)，小波分析描述非平穩(wěn)信號(hào)雖然也在二維平面上，但不是在時(shí)頻平面上，而是在時(shí)間－尺度平面上，在小波分析中，人們可以在不同尺度上來(lái)觀察信號(hào)，這種對(duì)信號(hào)分析的多尺度觀察是小波分析的基本特征。 傅里葉變換和短時(shí)傅里葉變換自Fourier提出Fourier分析這一全新的觀點(diǎn)后，傅里葉變換在分析領(lǐng)域內(nèi)產(chǎn)生了極為重要的影響，使數(shù)學(xué)和物理等學(xué)科發(fā)生了很大的變化，引起了眾多科學(xué)家的廣泛關(guān)注。傅里葉變換定義為：給定信號(hào)，如果它滿足那么可對(duì)其進(jìn)行傅里葉變換其逆變換為 與是一一對(duì)應(yīng)的變換對(duì)。傅里葉變換有很強(qiáng)的頻域定位和頻域局部化能力，但是沒有時(shí)間定位和時(shí)間局部化能力。受海森堡測(cè)不準(zhǔn)原理的制約，時(shí)間分辨率和頻率分辨率不可能同時(shí)達(dá)到最好，也無(wú)法根據(jù)信號(hào)的特點(diǎn)來(lái)自動(dòng)調(diào)節(jié)時(shí)域及頻域的分辨率。由定義可知屬于某一給定的區(qū)間反映不出在其時(shí)間區(qū)域上的信息。由于傅里葉變換不能將信號(hào)的時(shí)域特征和頻域特征有機(jī)結(jié)合起來(lái)，于1946 年提出了短時(shí)傅里葉變換,也稱為加窗傅里葉變換。的中心和半徑分別定義為：如果窗函數(shù)的傅里葉變換也滿足窗函數(shù)的條件，的頻率中心 和頻窗半徑分別定義為：對(duì)任意固定的和，加窗傅里葉變換給出了信號(hào)在時(shí)頻平面上的一個(gè)時(shí)頻窗選定窗口函數(shù)之后，這個(gè)時(shí)頻窗是時(shí)頻平面上的一個(gè)具有固定面積的矩形。但是當(dāng)窗口函數(shù)選定以后，它不能隨著所要分析的的信號(hào)成份在高頻信息和低頻信息而相應(yīng)變化，對(duì)非平穩(wěn)信號(hào)的分析能力是很有限的，不適合分析頻帶較寬的頻譜。 小波變換理論小波變換（Wavelet Transform，又稱為小波分析），它是一種新的變換分析方法，其主要特點(diǎn)是通過變換能夠突出問題某些方面的特征。小波即小區(qū)域的波。并由此刻知道母小波是一個(gè)振蕩且能量有限的函數(shù)，并且在時(shí)域上是快速衰減的，從允許條件容易推出： 即。尺度參數(shù)改變連續(xù)小波的形狀，平移參數(shù)改變連續(xù)小波的位移。 對(duì)其進(jìn)行可容許小波函數(shù) 的連續(xù)小波變換為：在上述表達(dá)式中，求得信號(hào)的固定小波函數(shù)上的分量，對(duì)參數(shù)和進(jìn)行展開以后，就可以得到任意時(shí)刻，任意精度的頻譜了，由CWT的定義可知，小波變換同傅立葉變換一樣，都是一種積分變換。 由于小波基不同與傅立葉基，因此小波變換與傅立葉變換有許多不同之處，其實(shí)最重要的不同是小波基有尺度參數(shù)和平移參數(shù)兩個(gè)參數(shù)，因此，將函數(shù)在小波基下展開，就意味著將一個(gè)時(shí)間函數(shù)投影到二維時(shí)間尺度平面上。 對(duì)于尺度及位移均離散變化的小波序列，可以選取，其中是整數(shù)，大于1的伸縮步長(zhǎng)（由于可以取正取負(fù)，因此這樣假設(shè)無(wú)關(guān)緊要），于是離散小波基可以定義為： 若取離散柵格,即相當(dāng)于連續(xù)小波只在尺度上進(jìn)行了二進(jìn)制離散，而位移仍取連續(xù)變化，我們稱這類小波為二進(jìn)小波。 小波包變換在信號(hào)消噪中的原理與算法小波的多分辨率分析可以對(duì)信號(hào)進(jìn)行有效的時(shí)頻分解，但由于其尺度函數(shù)是按二進(jìn)制變化的，因此在高頻段其頻率分辨率較差，只能對(duì)信號(hào)的低頻段進(jìn)行指數(shù)等間隔劃分。 小波包算法令正交小波基的濾波器系數(shù)分別為和，并將尺度函數(shù)改記為，小波函數(shù)改記為，于是原來(lái)的關(guān)于和的二尺度方程就變?yōu)椋憾x：由公式 定義的函數(shù)的集合為由所確定的小波包。小波包具有下列性質(zhì)（設(shè)是由標(biāo)準(zhǔn)正交化的尺度函數(shù)生成的）：1　 對(duì)于任意的，有 2　 對(duì)于任意的，有 令（“”為張成的空間）定義算子，為從空間向空間的投影算子（記）可以證明它們有共軛算子和，且顯然，是上的正交投影算子，為單位陣，且若定義空間 即空間是由函數(shù)在尺度下的整數(shù)平移之線形組合所生成的子空間在中的閉包，因此，在尺度下的整數(shù)平移系列為空間的一組正交基。小波包對(duì)的分解相當(dāng)于的第個(gè)頻帶被分割為個(gè)子頻帶。和重構(gòu)的重構(gòu)算法為： 小波包消噪的原理 在小波包中，其信號(hào)消噪的思想與在小波中的基本一樣，惟一不同的是小波包分析提供r一種更為復(fù)雜，同時(shí)也更為靈活的分析手段．因?yàn)樾〔ò治鰧?duì)上一層的低頻部分和高頻部分同時(shí)進(jìn)行細(xì)分，具有更為精確的局部分析能力。對(duì)于方式，有一個(gè)專門的“”按鈕用于計(jì)算最佳樹； （3）小波分解系數(shù)的閾值量化：選擇適當(dāng)?shù)拈撝祵?duì)從的每一高頻系數(shù)進(jìn)行量化處理； (4)小波包重構(gòu)：根據(jù)小波分解的第層的低頻系數(shù)和經(jīng)過量化處理后的從層的高頻系數(shù)進(jìn)行重構(gòu)。從某種程度上說．他直接關(guān)系到信號(hào)消噪的質(zhì)量。該辦法比較簡(jiǎn)單，且重構(gòu)后的信號(hào)也比較平滑，但容易丟失信號(hào)的有用成分。 給定軟(或硬)閾值進(jìn)行消噪處理 該方法利用實(shí)際消噪處理過程中的經(jīng)驗(yàn)公式給出閾值，往往比默認(rèn)閾值更具有可信度。但是由于小波包分解是對(duì)近似系數(shù)和細(xì)節(jié)系數(shù)同時(shí)進(jìn)行分解，使第層的分解系數(shù)為最多的一組，這種單純的把所有的系數(shù)都進(jìn)行分解對(duì)解決問題是沒有幫助的，只會(huì)增加計(jì)算量，而小波包變換的基本思想是為了讓信息能量集中，也就是在細(xì)節(jié)系數(shù)中尋找有序性，把其中的規(guī)律進(jìn)一步的挑出來(lái)，所以必須對(duì)重構(gòu)信號(hào)的分解系數(shù)進(jìn)行優(yōu)化選擇。選用最優(yōu)基的目的是用盡量少的系數(shù)，反映盡量多的信息。小波包分析在確定最佳小波包基時(shí)所用的標(biāo)準(zhǔn)時(shí)，沒有嚴(yán)格的理論作為保證，不同的問題所用標(biāo)準(zhǔn)不一致，我們需要跟據(jù)具體分析的要求，選擇一個(gè)最佳的小波包基，即最佳基( 也叫最優(yōu)樹) 。在小波包函數(shù)庫(kù)建立好之后，對(duì)于一個(gè)給定的正交小波基分解，一個(gè)長(zhǎng)度為N的信號(hào)最多有種不同的分解方法，我們基于最小熵標(biāo)準(zhǔn)來(lái)找到一種最優(yōu)的信號(hào)分解方法。對(duì)一個(gè)給定向量來(lái)說，代價(jià)最小就是最有效的表示，此基便稱為最優(yōu)基。在上述意義下可以定義很多代價(jià)函數(shù)，對(duì)一個(gè)信號(hào)進(jìn)行小波包分解，可以采用多種小波包基，這就要根據(jù)所分析的信號(hào)和噪聲的要求，從中選擇最好的一種小波包基，即對(duì)于一個(gè)給定的熵標(biāo)準(zhǔn)，計(jì)算最優(yōu)小波包基，得到最優(yōu)小波包樹。在小波包分解時(shí)，需要從四種熵標(biāo)準(zhǔn)中選定一種，由上至下分別計(jì)算下一層的熵值，然后與上一層進(jìn)行比較，由最小熵標(biāo)準(zhǔn)，依次判斷小波包最優(yōu)分解的方向，最后確定基于此熵標(biāo)準(zhǔn)的最優(yōu)小波包分解基。（1）同傅里葉變換比較在傳統(tǒng)的傅里葉分析中，信號(hào)完全是在頻域展開的，不包含任何的時(shí)域信息，對(duì)于小波變換來(lái)說，它有很多的優(yōu)點(diǎn)：第一，它具有傅里葉變換不具備的時(shí)頻分析能力，可以展現(xiàn)非平穩(wěn)信號(hào)中的瞬時(shí)特征；第二，它具有多分辨率分析的特點(diǎn)，能適應(yīng)于不同頻率范圍的非平穩(wěn)成分；第三，它相當(dāng)于一組具有不同帶寬和不同中心頻率位置的帶通濾波器對(duì)信號(hào)進(jìn)行濾波，可以得到信號(hào)的分頻帶信號(hào)。對(duì)于這種信號(hào)的消噪，傳統(tǒng)的傅立葉變換分析顯得無(wú)能為力，因?yàn)楦盗⑷~分析是將信號(hào)完全在頻率域中進(jìn)行分析的，它不能給出信號(hào)在某個(gè)時(shí)間點(diǎn)的信號(hào)變化情況，使得信號(hào)在時(shí)間軸上的任何一個(gè)突變，都會(huì)影響信號(hào)的整個(gè)譜圖。，用小波閾值進(jìn)行信號(hào)的消噪可以很好的保存有用信號(hào)中的尖峰和突變部分 。若低通濾波器太窄，則在濾波后，信號(hào)中仍存在大量的噪聲，若低通濾波器太寬，則將一部分有用信號(hào)當(dāng)作噪聲而濾掉了。 本章小結(jié)小波變換是在傅里葉變換基礎(chǔ)上發(fā)展起來(lái)的，作為時(shí)頻分析方法的小波分析方法有很多本質(zhì)性進(jìn)步。小波變換通過對(duì)信號(hào)進(jìn)行空間分解來(lái)提取不同的頻率成分的特征信息是其他方法無(wú)法取代的優(yōu)點(diǎn)，而建立在小波變換基礎(chǔ)上的小波包分析方法則對(duì)信號(hào)作了進(jìn)一步的劃分，即對(duì)小波變換中沒有分解的高頻信息繼續(xù)細(xì)化，從而實(shí)現(xiàn)了高頻段細(xì)微特征信號(hào)的提取，突出了采用小波包變換對(duì)振動(dòng)信號(hào)進(jìn)行去噪分析的優(yōu)越性。若對(duì)信號(hào)進(jìn)行層小波包空間完全分解，則信號(hào)頻率將被等分成段，有利于特征頻率的提取。所以，當(dāng)信號(hào)長(zhǎng)度太短時(shí)，不宜進(jìn)行多級(jí)小波包分解。 (3)采用不同小波函數(shù)對(duì)信號(hào)分析的結(jié)果相差不大，但各有相對(duì)的優(yōu)勢(shì)。主要是因?yàn)槠鋾r(shí)域分辨率和頻域相對(duì)都很好，有很好的時(shí)頻局部化特性。雖然越大時(shí)，性能越好，但實(shí)際比較了的取值后，發(fā)現(xiàn)當(dāng)時(shí)，性能較好，當(dāng)再增大時(shí)，性能提高不明顯； (4)對(duì)信號(hào)進(jìn)行閾值去噪分析時(shí)，小波包變換比小波變換更有效。但根據(jù)信號(hào)頻率信息的經(jīng)驗(yàn)知識(shí)，采用小波包的節(jié)點(diǎn)閾值去噪時(shí)，由于小波包變換能夠?qū)π〔臻g進(jìn)一步分解，隨著小波包分解層數(shù)的增加，可以對(duì)信號(hào)不同頻段的頻率信息進(jìn)行提取，因此將不再受頻率分布特點(diǎn)的約束，去噪靈活性較好。 第4章 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)采集及使用進(jìn)行去噪分析在科學(xué)研究及實(shí)際應(yīng)用中，對(duì)信號(hào)進(jìn)行分析處理時(shí)，首先要對(duì)分析的信號(hào)進(jìn)行預(yù)處理，其中最重要的就是要消除信號(hào)的噪聲。這種方法對(duì)于信號(hào)和噪聲的頻帶相互分離時(shí)比較有效，但當(dāng)信號(hào)和噪聲的頻帶相互重疊時(shí)(比如當(dāng)信號(hào)中混有白噪聲時(shí))，效果則較差。作為一種信號(hào)的時(shí)間一尺度(時(shí)間一頻域)分析方法。但在小波分析中每次只對(duì)上次分解的低頻部分進(jìn)行再分解，而對(duì)高頻部分不再分解，所以在高頻段分辨率較差。 常用的去噪方法對(duì)分析信號(hào)進(jìn)行預(yù)處理是提高數(shù)據(jù)的可靠性和數(shù)據(jù)分析精度的關(guān)鍵，而預(yù)處理的核心就在于如何提高信號(hào)的信噪比，精確地去除信號(hào)中的干擾信號(hào)。因?yàn)榘自肼暿菍拵щS機(jī)信號(hào)，其頻帶必然與有用信號(hào)的頻帶相重合，故若采用普通的濾波方法（如低通濾波、高通濾波、帶通濾波等）難以有效的將其分離出來(lái)。對(duì)有用信號(hào)，它的譜峰值在濾波后不隨帶寬的減少而變換，但是白噪聲的能量大致均勻地分布在整個(gè)頻帶范圍內(nèi)，濾波后它的輸出會(huì)隨著帶寬的減小而減小，從而達(dá)到抑制白噪聲的效果。2　 相關(guān)濾波 如果有用信號(hào)是周期性信號(hào)，那么它的自相關(guān)函數(shù)也是周期函數(shù)，而白噪聲的自相關(guān)函數(shù)在時(shí)延足夠大時(shí)將衰減掉。但這種方法要求有用信號(hào)是周期信號(hào)，對(duì)于周期性不強(qiáng)的有用信號(hào)，這種方法就行不通了。這種方法就是對(duì)原始信號(hào)進(jìn)行多段同步平均。但是對(duì)于回轉(zhuǎn)機(jī)械，如傳動(dòng)齒輪，要進(jìn)行同時(shí)平均，需求足夠的段數(shù)才能保證去噪效果，這必然要求更多的采樣點(diǎn)數(shù)，給采樣工作帶來(lái)了麻煩，同時(shí)也影響了信號(hào)的分析速度。 小波閾值的去噪原理 信號(hào)降噪是信號(hào)處理的一個(gè)基本問題，去噪的目的在于與去除信號(hào)中的噪聲或干擾成分。去噪原理為：信號(hào)的指數(shù)是大于的，噪聲的指數(shù)，其中，因此噪聲的指數(shù)小于，隨著尺度的增大，信號(hào)和噪聲所對(duì)應(yīng)的小波變換系數(shù)分別是增大和減小。（2） 對(duì)含噪信號(hào)做小波變換之后，計(jì)算相鄰尺度間各點(diǎn)小波系數(shù)的相關(guān)性的大小區(qū)別小波系數(shù)的類型，進(jìn)而進(jìn)行取舍，然后重構(gòu)信號(hào)。由于小波變換是線性變換，對(duì)作離散小波變換后得到的小波系數(shù)仍由兩部分組成，一部分是信號(hào)對(duì)應(yīng)的小波系數(shù)，另一部分是噪聲對(duì)應(yīng)的小波系數(shù)。一般來(lái)講，經(jīng)過小波分解后，信號(hào)的系數(shù)要大于噪聲的系數(shù)，于是可以找到一個(gè)合適的數(shù)作為閾值，當(dāng)分解系數(shù)小于這個(gè)臨界閾值時(shí)，認(rèn)為這時(shí)的分解系數(shù)主要是由噪聲