模糊拓?fù)鋵W(xué)碩士學(xué)位論文-在線瀏覽
2025-08-13 05:16本頁面
【正文】 像一個閉集,便是這種閉集的一種應(yīng)用.[12] 設(shè) 是空間,.定義算子: →: ,.[12] 設(shè) 是空間, .那么,有(1)；(2)；(3)；(4). 設(shè)是空間,. (1)[12]被稱為中的閉集,.(2)[31]被稱為中的–開集,如果是中的–.(3)[32]被稱為中的閉集,.(4)被稱為中的開集,.[12] 設(shè)是空間,.則(1)和是上的余拓?fù)?(2)和是上的拓?fù)?(3),. 設(shè)是一個空間,.被稱為的,如果使得. 設(shè)是一個空間,.則是強(qiáng)緊集當(dāng)且僅當(dāng)?shù)拿總€ ,使得是的.證 設(shè)是強(qiáng)緊集. ,令是的任意,所以,使得是的.反之,令是的任意,則使得,即,進(jìn)而,因此是的,于是 有 ,即,這已證明是強(qiáng)緊集. 設(shè)是空間, 是中的分子網(wǎng),如果S 經(jīng)常不在中, 則稱為S的聚點(diǎn). 設(shè)是空間,則是強(qiáng)緊集當(dāng)且僅當(dāng),中每個常值網(wǎng)在中有高為的聚點(diǎn).證 充分性 假設(shè)不是強(qiáng)緊集,則和的,使得,有,則S是中的常值網(wǎng),又 使 得 ,此 時 ,當(dāng)(即)時, 有 , 即最終在中,這說明不是的聚點(diǎn),.必要性 設(shè)是強(qiáng)緊集,假設(shè)和中常值網(wǎng)在中沒有高為的聚點(diǎn),則,當(dāng)時,取且,則當(dāng)時,此式對任意的都成立,這說明中沒有的任何遠(yuǎn)域,因此不是的,這與是強(qiáng)緊集相矛盾.下面利用閉（開）集給出強(qiáng)緊性的一些新的特征,由此可以看出,在某些情況下,層次閉（開）集確實(shí)可以充當(dāng)閉（開）集來用. 設(shè), ,（1）稱為的擬,如果使得.（2）稱為的擬覆蓋,如果使得.（3）稱在中有有限交性質(zhì),如果,使得.下述命題是顯然的. 設(shè), .是的擬當(dāng)且僅當(dāng)是的擬覆蓋. 設(shè)是一個空間,則下列條件等價(jià)：（1）是強(qiáng)緊集；（2）,及的任意擬,使得是的擬；（3）,及的任意擬,使得是的擬；（4）,及的任意擬覆蓋,使得是的擬覆蓋；（5）,及的任意擬覆蓋,使得是的擬覆蓋；（6）,及每個在中具有有限交性質(zhì)的,使得；（7）,及每個在中具有有限交性質(zhì)的,使得.證 （1）（2）,設(shè) 是 的 擬 . 則, 使 ,即 ,因?yàn)?, .于是,存在,使,則是的,由是強(qiáng)緊集,即,從而,即,這表明是的擬.（2）（3）由立得.（3）（4）,設(shè)是的擬覆蓋,是的擬,由（3）,存在,構(gòu)成的擬覆蓋.（4）（5）,設(shè) 是 的擬 覆蓋,則 ,使,使,（4）,則.,使,即,故,這表明構(gòu)成的擬覆蓋.（5）（6）假設(shè)存在及某個在中具有有限交性質(zhì)的使得均有,則,使,（5）,使,即,所以,這與在中具有有限交性質(zhì)的不合.（6）（7）,設(shè)在中具有有限交性質(zhì),則,使,.從而,于是,可見,（6）,使.（7）（1）,不是的,則使,. 又,（7）,當(dāng)時,.因此,這證明是強(qiáng)緊集.下面的結(jié)果是李生剛等在文[33]中得到的： 設(shè)是空間,則下列條件等價(jià)：(1)是強(qiáng)緊集；(2),是分明拓?fù)淇臻g中的緊子集,這里；(3) 是強(qiáng)緊集.證 （1）（2） 設(shè) 是 的任一開覆蓋（）,則,使,即,是的有限開覆蓋,所以是中的緊子集.（2）（3）,.,故可設(shè),此時.,即,使,（2）,存在,所以是強(qiáng)緊集.（3）（1）,設(shè)是的.,若,則,自然是的。當(dāng)時,.則由得,并且,由知,這蘊(yùn)含這與式矛盾,所以使是開覆蓋,由是常值緊子集知 存 在 有 限 子 族 構(gòu) 成 的 開 覆 蓋 ,于 是,這說明 . 設(shè)是一族空間的乘積,則是緊空間當(dāng)且僅當(dāng)是—緊空間. 層次不等式緊 [25] 設(shè)是空間,.被稱為緊的,如果對每一個,都有.在本節(jié)中,此定義被稱為S不等式緊.[34] 設(shè)是一空間,（1）稱為中的－開集,若時有,或等價(jià)地時,即.（2）稱為中的－閉集,若時有,或等價(jià)地時有,即.中的所有－開集記為,所有的－閉集記為,顯然和.易證下列命題成立. 設(shè)是 空間, ,則當(dāng)且僅當(dāng).[34]設(shè)是空間, ,則（1）形成上的一個Lfuzzy拓?fù)?；?）當(dāng)且僅當(dāng)； （3）當(dāng)且僅當(dāng). ,稱是緊的,如果對每一個U都有： 設(shè)是空間,則稱是緊的,如果對每一個F都有.[25]設(shè)是空間,被稱為：（1）的shading,若；（2）的強(qiáng)shading,若；（3）的remote 族,若；（4）的強(qiáng)remote 族,若.[26] 設(shè),稱U在中有弱－非空交,若。當(dāng)時,即使得,從而,因此,這說明是的開覆蓋,必存在使得V覆蓋,所以,從而 ,故是－緊的.[25] 設(shè)是空間,則下列蘊(yùn)含式成立：－緊強(qiáng)緊S不等式緊,且不可逆.（2）可得下述定理：,則是緊的當(dāng)且僅當(dāng)是S不等式緊的.由上面兩個定理立即可得： －緊強(qiáng)緊S不等式緊－緊,且只有最后一個箭頭對 可逆,即－緊強(qiáng)緊S不等式緊,－緊. 關(guān)于幾乎良緊性的注記本節(jié)證明了文[35]中定義的幾乎良緊性和近良緊性是等價(jià)的,[36]給出了其合理的定義.[35] 稱空間是幾乎緊的,若它的任一開覆蓋都存在有限子族,使得是的覆蓋,即,這里表示的閉包.[37] 稱空間是近緊的,若它的任一開覆蓋都存在有限子族使得是的覆蓋,即,這里表示的內(nèi)部.[38]設(shè)是空間,.若,使得,則稱為的遠(yuǎn)域族,使為的,則稱為的遠(yuǎn)域族,簡記為.[38]設(shè)是空間,. 則是近良緊集當(dāng)且僅當(dāng)及的任意,使得為的.[35] 設(shè)是空間.,若,使得,則稱為的幾乎遠(yuǎn)域族,使為的幾乎,則稱為的幾乎.[35] 設(shè)是空間,稱是幾乎良緊集, 及的任意, 使得為的幾乎.[4] 設(shè)是模糊集,稱是正則閉集,若滿足. 設(shè)是空間, 則是近良緊集當(dāng)且僅當(dāng)及的任意,使得為的.證 設(shè)是近良緊集.,所以,于是, 使得為的,故為的.反之, ,使為的,即存在構(gòu)成的,故是近良緊集. 設(shè)是空間,. 則是近良緊集當(dāng)且僅當(dāng)是幾乎良緊集. 證 設(shè)是近良緊集.,設(shè)是的任意,則,使得為的,即, ,.反之,設(shè)是幾乎良緊集.,設(shè)是的任意,則,使得為的幾乎,即,存在,包含的最小閉集應(yīng)是,.參考文獻(xiàn)[1] ,Fuzzy ,1965,8:338353.[2]Chang,
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