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正文內(nèi)容

模糊拓撲學碩士學位論文-文庫吧

2025-06-11 05:16 本頁面


【正文】 (1)當且僅當;(2)當且僅當.證 以(1),則,從而,由的定義知有極限點,所以,于是最終在中,設,則由的定義直接得. 設是空間中的網(wǎng),是的子網(wǎng),則(1)若是的極限點,則是的聚點;(2)若且是的聚點,則是的聚點;(3)若且是的極限點,則是的極限點;(4)是的聚(極限)點,則是的聚(極限)點;(5),則;(6)當且僅當有子網(wǎng)以為極限點.證明是簡單的,故省略.[14]設,稱擬重于,若.[14]設是中的網(wǎng),稱擬重于,如果,. 存在網(wǎng)擬重于且.證 必要性 設,是的附著點,從而,取使,則得網(wǎng),顯然且擬重于.充分性 設網(wǎng)擬重于且,若,即不是的附著點,存在使,注意到,即,滿足,. 設是空間,則下列條件等價:(1)是閉集;(2)對任意擬重于的網(wǎng),如果是的聚點,則。(3)對任意擬重于的網(wǎng),如果是的極限點,則.證 (1)(2)設是閉集,是任意擬重于的網(wǎng),是的聚點,則由定理 知,因此.(2)(1)假設存在分子,但,從而,即是閉集.(1)(3)證明類似,故省略. 若是的附著點當且僅當存在網(wǎng)擬重于且以為聚點. 相對子基的連續(xù)序同態(tài) [13]設 是拓撲空間,是序同態(tài),稱連續(xù),如果.定義 設是空間,是序同態(tài),(1)如果,則稱是連續(xù)的;(2)如果,則稱關(guān)于子基連續(xù);(3)如果,則稱關(guān)于子基連續(xù).易知 關(guān)于子基連續(xù)連續(xù)關(guān)于子基連續(xù),反之不成立.定義 設是空間,是序同態(tài),稱在分子處連續(xù),如果. 設是空間,是序同態(tài),則下面條件等價:(1)是連續(xù)的;(2);(3);(4);(5);(6)在處連續(xù);(7)對中的任意網(wǎng),如果是的聚點,則是的聚點;(8)對中的任意網(wǎng),如果是的極限點,則是的極限點.證 (1)(2) 設 是連續(xù)的,則從而,注意到,所以.(2)(1) , ,由(2)及 保逆合,故,即是連續(xù)的.(2)(3),由(2),故,又,所以,而這與等價.(3)(2),由(3), ,故,又顯然有,所以,即.(3)(4),這與等價,得證.(4) (5) , , ,由(4) ,注意到,于是由保逆合得.(5) (4) ,由(5), ,因此.(1)(5), 由 (1), 即,由保序,且,于是,所以.(5)(1) ,又顯然,從而,即,因此是連續(xù)的.(1)(6)顯然成立.(6)(1)假設存在,滿足,則有使,但,從而,但不是的遠域,否則,有閉遠域,于是,又,所以矛盾,所以任意,都有,因此是連續(xù)的.(2)(7)設是中的網(wǎng),且是的聚點,且有,即,由(2)知,從而,于是經(jīng)常在中,這蘊含經(jīng)常在中,即是的聚點.(7)(2),設是任一擬重于且以為聚點的網(wǎng),易證擬重于且是的聚點,是閉集. 連通性連通性是一般拓撲學中最重要的概念之一,它以諸多不同的形式被推廣到空間中,比如文[15]利用重域引入了空間中的局部連通性,文[16]借助于強擬閉集[17]引入了SP1連通性的概念,文[18]利用閉包在空間中給出了連通性,在此基礎上文[19](閉)集引入了連通性的概念,.,若,則稱是關(guān)于子基隔離的,簡稱是隔離的. 若是隔離的,且,則是隔離的. 設是空間,如果不存在異于的隔離集使,稱是連通空間.,則下列條件等價:(1)不是連通空間。(2)存在兩個非的閉集使。(3)存在兩個非的開集使. 設是空間中的連通集,則是連通集.證 設,令,則易證 且 , 同理可證 ,由是連通集得 或 ,不妨設,則,由此得,從而,所以,故是連通集. 若是空間中的連通集,則是連通集.,則是連通集.,則是連通集. 若是連通集,則也是連通集. 若是空間中的連通集,則是連通集. 設是空間,下面條件等價:(1)是連通集;(2)若是隔離的且,則;(3)若是隔離的且,則.證 (1)(2)設,易知,由是隔離的知, ,這與是連通集相矛盾,故.(2)(1)設,則是隔離的且,由此立得,所以是連通集.(2)(3)由易知,再由,得證.(3)(2)不妨設,且是隔離的,則 ,即,所以. 中的每個元都是連通的. 設是空間,如果是連通的,且有使與都不是隔離的,則是連通集.證明同[13]中相應定理的證明,故省略. 若一族連通集的交非空,則它們的并是連通的. 設是空間,是連通集,是連續(xù)的,則是連通集.證 設 且,令 ,則 ,且由是連續(xù)的知,于是,令, 則 且 , 因 為是連通集, ,則 ,從而,由此得,所以是連通集. 分離性目前,關(guān)于空間中分離性公理的研究工作已有很多,其中文[13]中引入的分離性不蘊含分離性,甚至不是的,文[20]和[21]結(jié)合鄰域和遠域引入一種新的分離性公理,并且蘊含,蘊含. 稱空間是的,如果存在子基使且,存在使或有使.,如果存在子基使,當時,存在使.,如果存在子基使,當時,存在與開集滿足且.顯然. 空間是的對中任二不同的分子有. 空間是的任一分子都是閉集.證 必要性 設空間是的,設,則是的附著點,如果,則由性知存在使得,這與矛盾,所以,這說明是閉集.充分性 取即可證得.易知,反之取即可. 設是空間,下列條件等價:(1)是的;(2),當時,存在使;(3),當時,存在開集滿足使;[15]設是弱誘導拓撲空間,且,則是中的開集.[13]設是分子格,則的每個元都有一標準極小集.,則存在子基使是的當且僅當是的.證 充分性 設 是 的, 且 . 若 ,則 ,令 ,則 , 這說明既是 中 的開集又是閉集,則存在使得且,此時且,得證.必要性 設存在子基 , 使 是 的, 且,則,故可取,則且,從而存在,使得,由此知,但,由于,即,由,所以,即且是的開鄰域,又顯然,因此是的. 分離性是弱拓撲不變性. 緊,稱是緊集,如果對的任一 ,稱是緊拓撲空間. 是緊集當且僅當任意,的任一覆蓋U有有限子族使V構(gòu)成的開覆蓋. [13]設是一個空間,是強緊集當且僅當?shù)拿總€,使得是的(). 緊蘊含強緊,并且當
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