對稱思想在幾何中的應(yīng)用研究畢業(yè)論文-在線瀏覽
2025-08-10 17:46本頁面
【正文】 二：求點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)。解：設(shè)對稱點(diǎn)為，∵直線的斜率存在且不為0；∴直線AB 的斜率存在。將①②聯(lián)立解得:∴對稱點(diǎn)為例三：求直線關(guān)于點(diǎn)的對稱直線。解法一：，解得：對稱直線過，在上取點(diǎn)則關(guān)于的對稱點(diǎn)在上，易得用兩點(diǎn)式可算出為： 6解法二：設(shè)為對稱直線上任一點(diǎn)坐標(biāo)為，關(guān)于的對稱點(diǎn)，用、表、可得： 代入即可求得。分析：只要求出圓心關(guān)于的對稱點(diǎn)，即為對稱圓的圓心，半徑不變，方可寫出圓的方程。①又∵中點(diǎn)（垂足）在直線上，則有② 7將①②聯(lián)立，解得即對稱圓的圓心為故所求圓的方程為：以上示例說明，無論是求曲線關(guān)于直線的對稱方程，還是解答涉及對稱性的最值問題，關(guān)健在于掌握點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)的求法。比如橢圓 (如下圖) :(圖1：任意建立坐標(biāo)系，圖2：取兩定點(diǎn)、所在直線為軸，線段的垂直平分線為軸，建立直角坐標(biāo)系)比較之下，我們發(fā)現(xiàn)：圖1讓我們漫無頭緒，圖2中，我們看到圖形的對稱美，萌發(fā)了解題的思路。在三維立體空間中，我們將圖2 中的橢圓繞軸旋轉(zhuǎn)，得到長形旋轉(zhuǎn)橢球面。由此可見，數(shù)學(xué)中的對稱性不僅推動了數(shù)學(xué)的發(fā)展，而且使數(shù)與形結(jié)合得更緊密。 解：設(shè)橢圓上關(guān)于直線對稱的兩點(diǎn)為、其所在直線方程，代入橢圓方程并整理，得： ②另一方面，、 是①的兩跟，由韋達(dá)定理有 9而點(diǎn) 又在直線上，將②代入上式，得的取值范圍是例七：平面上向量滿足，求中點(diǎn)的軌跡方程。由條件，如圖，是長為的線段的中點(diǎn)，軸，且，在軸上取點(diǎn)，則易知,于是題設(shè)對稱地轉(zhuǎn)換為“求到定點(diǎn)的距離之和為定長的動點(diǎn)的軌跡方程”，如圖，不難知道點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，長軸長是的橢圓，其方程為 10 反思：此題中，我們用了一個對稱變換，將原題轉(zhuǎn)化為一個我們很熟悉的問題。立體幾何中有具體的長度、面積和夾角等等。轉(zhuǎn)化思想是立體幾何中最重要的思想方法, 貫穿在立體幾何教學(xué)的始終. 有意識地將問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化, 轉(zhuǎn)化為熟悉的、簡單的、基本的問題, 有助于化難為易, 化繁為簡, 使問題得到解決. 轉(zhuǎn)化的方式,靈活多樣, 如空間問題向平面問題轉(zhuǎn)化, 位置關(guān)系的轉(zhuǎn)化, 位置關(guān)系中的定性與定量的轉(zhuǎn)化, 又如化曲為直, 化折為直, 等等.例八：求函數(shù)的最小值。分析：作關(guān)于平面的對稱點(diǎn)交平面于易證： 圖6四 對稱思想在高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用（一）對稱思想在射影幾何中的應(yīng)用 12初等幾何與解析幾何是射影幾何的基礎(chǔ)和特殊化，而射影兒何是初等幾何與解析幾何的發(fā)展。盡管從射影幾何的結(jié)構(gòu)本身來看已經(jīng)很完美了，也許從中不可能再發(fā)掘一些有重大意義的課題，但是隨著抽象代數(shù)理論的發(fā)展，高維的和實(shí)數(shù)域以外的各種數(shù)域的幾何體系相繼建立了起來也就是有關(guān)代數(shù)幾何方面的內(nèi)容還有待我們進(jìn)一步去研究，而學(xué)習(xí)射影幾何也就為進(jìn)一步學(xué)習(xí)代數(shù)幾何以及拓?fù)鋵W(xué)等打下基礎(chǔ)。對稱也是一種勻稱，是指整體與部分之間的相稱與平衡，有著協(xié)調(diào)的美感。平面射影幾何對偶原理：關(guān)于平面上元素（點(diǎn)與直線）的每個射影命題，都對應(yīng)著另一個對偶命題，第二個命題由第一個命題得來，即將每一個元素?fù)Q為其對偶元素，如果兩個命題之一成立，那么另一命題也成立。射影幾何之所以有對偶原理， 是因?yàn)樯溆捌矫嫔蠜]有平行線，點(diǎn)和直線的結(jié)合關(guān)系有了新的變化，兩直線總相交，即相交和平行得到完美的統(tǒng)一。運(yùn)用對偶原理有事半功倍之效。例十：如果兩個完全四線形的五對對應(yīng)頂點(diǎn)的連線通過同一點(diǎn)，則第六對對應(yīng)頂點(diǎn)的連線也通過此點(diǎn)，且其四對對應(yīng)邊的交點(diǎn)在同一直線上。見圖8 13圖7 圖8在所給原命題中，是用一個小寫字母表示直線，把點(diǎn)看成直線的包絡(luò)， 這是線幾何學(xué)的觀點(diǎn)，而其對偶命題，則是用一個大寫字母表示點(diǎn), 直線看成點(diǎn)的軌跡，這是點(diǎn)幾何學(xué)的觀點(diǎn)，是人們比較習(xí)慣的觀點(diǎn)。例十一：利用對偶原理證明梅涅勞斯定理。證明：過點(diǎn)作∥交的延長線于則三式相乘得：在歐氏平面幾何中，人們常常用梅涅勞斯定理來證明塞瓦定理。但卻稱該法為“丑陋的
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