【正文】 究具有高性能、高精度的多變量多參數(shù)線性系統(tǒng)的最優(yōu)控制問題。大多數(shù)控制系統(tǒng)往往是非線性的，采用近似的線性模型雖然可以更全面、更容易地分析系統(tǒng)的各種性能，卻很難刻畫出系統(tǒng)的非線性本質(zhì)，所設(shè)計(jì)的控制器也很難達(dá)到系統(tǒng)的性能要求。早期的非線性系統(tǒng)分析與設(shè)計(jì)沒有自身的理論體系，對(duì)非線性系統(tǒng)的處理主要是采用將非線性特性分段線性化，然后使用線性控制理論分析與設(shè)計(jì)。 課題研究?jī)?nèi)容本文主要取非線性控制系統(tǒng)的一種，對(duì)非線性 PID 進(jìn)行了研究分析。具體的改進(jìn)措施為：，之后再將其送入控制器中進(jìn)行放大。 PID 控制中，誤差信號(hào)的比例、微分和積分的線性組合形成的控制量未必是最佳選擇，而且這種線性配置有一定的局限性，所以通過恰當(dāng)?shù)檬褂梅蔷€性就能帶來極大的好處。所以改進(jìn)的措施即為采用這三個(gè)信號(hào)的一種非線性組合。 第二章 非線性 PID 控制器 非線性理論非線性控制系統(tǒng)的研究幾乎是與線性系統(tǒng)平行的，并已經(jīng)提出了許多具體的方法。非線性控制系統(tǒng)理論的研究目前還處在發(fā)展階段，還有許多問題等待進(jìn)一步探討。相平面法是由 Poincare 與 1885 年首先提出的一種求解微分方程的圖解方法。來判斷系統(tǒng)所固有的動(dòng)靜態(tài)特性?，F(xiàn)代控制理論中的狀態(tài)空間分析可以看成是相平面分析方法的推廣，從相平面法還產(chǎn)生了現(xiàn)代控制理論中的變結(jié)構(gòu)控制。描述函數(shù)法的研究對(duì)象可以是任何階次的系統(tǒng)，其思想是用諧波分析的方法。當(dāng)系統(tǒng)中的非線性元件用線性化的描述函數(shù)替代以后，非線性系統(tǒng)就等效成一個(gè)線性系統(tǒng)，然后就可借用線性系統(tǒng)理論中的頻率響應(yīng)法來對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行頻域分析。絕對(duì)穩(wěn)定性的概念是由蘇聯(lián)學(xué)者魯里葉與波斯特尼考夫提出的，所研究的對(duì)象是由一個(gè)線性環(huán)節(jié)和一個(gè)非線性環(huán)節(jié)組成的閉環(huán)控制系統(tǒng)，并且非線性部分滿足扇形條件。在此基礎(chǔ)上，許多學(xué)者做了大量工作，提出了不少?zèng)Q定穩(wěn)定性判據(jù)條件，其中最有影響的是波波夫判據(jù)和圓判據(jù)，這兩種判據(jù)方法都屬于頻率法，其特點(diǎn)是用頻率特性曲線與某直線或圓的關(guān)系來判定非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性。4．李亞普諾夫穩(wěn)定性理論李亞普諾夫穩(wěn)定性理論是分析和研究非線性控制系統(tǒng)穩(wěn)定性的經(jīng)典理論，現(xiàn)在仍被大家廣泛采用。李亞普諾夫方法還可用來綜合漸近穩(wěn)定系統(tǒng)。與此同時(shí)，非線性系統(tǒng)理論也得到了蓬勃發(fā)展，有更多的控制理論專家轉(zhuǎn)入非線性系統(tǒng)的研究，更多的工程師力圖用非線性系統(tǒng)理論構(gòu)造控制器，取得了一定的成就。用微分幾何方法研究非線性系統(tǒng)是現(xiàn)代數(shù)學(xué)發(fā)展的結(jié)果，并在進(jìn) 20 年的非線性系統(tǒng)研究中成為主流?；纠碚摬糠钟懻摿朔蔷€性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述與非線性系統(tǒng)其他部分描述部分之間的關(guān)系，證明了這幾種描述在一定條件下是等價(jià)的，并且研究了非線性系統(tǒng)的能能控性、能觀性等基本性質(zhì)。微分代數(shù)控制理論從微分代數(shù)角度研究了非線性系統(tǒng)可逆性和動(dòng)態(tài)反饋設(shè)計(jì)問題，該理論使用的最重要的概念是非線性系統(tǒng)的秩 p 的概念，并得出秩與非線性可逆的關(guān)系；將動(dòng)態(tài)擴(kuò)展算法推廣到非線性情形，解決了仿射非線性系統(tǒng)的狀態(tài)反饋解耦。構(gòu)造變結(jié)構(gòu)器的核心是滑動(dòng)模態(tài)的設(shè)計(jì)，即切換函數(shù)的選擇算法。變結(jié)構(gòu)滑模控制實(shí)現(xiàn)起來比較簡(jiǎn)單，對(duì)外干擾有較強(qiáng)的魯棒性。對(duì)于這個(gè)問題也已提出了一些消弱抖振的方法，但并未完全解決。通過系統(tǒng)能控性概念，線性系統(tǒng)的鎮(zhèn)定問題已經(jīng)得到完全解決。Byrnes 和 Isidori 應(yīng)用中心流形理論，解決了一類最小相位系統(tǒng)的局部光滑鎮(zhèn)定問題。Byrnes 等用狀態(tài)空間分解法，將仿射線非線性系統(tǒng)分解成線性和非線性兩部分，得到了動(dòng)態(tài)狀態(tài)反饋全局鎮(zhèn)定的結(jié)果。對(duì)于鎮(zhèn)定的必要條件，Brockett 等人做了大量的研究工作，從不同角度得到了許多新的條件。由于Minsky 和 Papert 的著作 Perceptron 指出了當(dāng)時(shí)存在的問題，一度使這方面的研究走入低谷。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)之所以對(duì)控制有吸引力，是因?yàn)樗哂幸韵聨讉€(gè)特點(diǎn)：（1） 能逼近任意屬于 L2 空間的非線性函數(shù)。（3） 便于大規(guī)模集成電路實(shí)現(xiàn)。（5） 可實(shí)現(xiàn)在線和離線學(xué)習(xí)，使之滿足某種控制要求，靈活性大。由于混沌運(yùn)動(dòng)是非線性系統(tǒng)一種比較普遍的運(yùn)動(dòng)，所以引起各個(gè)領(lǐng)域科學(xué)家們的廣泛興趣，已經(jīng)成為各個(gè)學(xué)科研究人員普遍關(guān)注的前沿性課題。國(guó)內(nèi)外許多著名學(xué)者早非線性震動(dòng)系統(tǒng)、Hamilton系統(tǒng)及其攝動(dòng)系統(tǒng)的復(fù)雜運(yùn)動(dòng)分析、胞映射方法改進(jìn)及符號(hào)動(dòng)力學(xué)方面，也做了大量的工作。由跟2x??蹤器得到的微分信號(hào)是輸入信號(hào)廣義導(dǎo)數(shù)的一種光滑逼近。所以把跟蹤微分器引入到經(jīng)典 PID 控制器中，即克服了經(jīng)典 PID 控制由于沒有對(duì)給定信號(hào)進(jìn)行預(yù)處理而給系統(tǒng)帶來額不必要的結(jié)構(gòu)上的干擾，有克服了經(jīng)典PID 誤差信號(hào)微分失真。線性或非線性組合?被控對(duì)象T D0e12ee?()vt ()ut()yt圖 利用 TD 的 PID 控制器 跟蹤微分器的數(shù)學(xué)表達(dá)式二階跟蹤微分器的方程為 ()12 221(())x xRsignxvtR?????????? 為了避免在原點(diǎn)附近的顫振，將符號(hào)函數(shù)改為飽和函數(shù)就得到有效的二階跟蹤微分器： （）12 221((),)x xRsatxvtR???????????其中，TD 濾波器的離散化公式如式（）所示： ()?11222 12()()()(),(),(),)xkxkhxkfstxkxkvkrh???其中：x1 用于跟蹤輸入信號(hào) v，x2 用于跟蹤 v 的二階導(dǎo)數(shù)，r 是決定跟蹤快慢的參數(shù)，r 越大，x1 越能更快地跟蹤信號(hào) v；h 是數(shù)值積分步長(zhǎng)。在本設(shè)計(jì)中，采用后者。對(duì)于函數(shù)，其搭建的 simulink 模塊為圖 所示：圖 sat()函數(shù)功能模塊其中 ln1 為輸入，Out1 為輸出，并用了幾個(gè)功能模塊： Abs1 為取絕對(duì)值；Sign 為符號(hào)函數(shù)； Divide1 為乘除函數(shù)；Switch 為選擇函數(shù)（當(dāng)輸入值的絕對(duì)值大于限值時(shí)上路接通；當(dāng)輸入值的絕對(duì)值小于限值是，下路接通） 。(,)sat在此基礎(chǔ)上，就可以實(shí)現(xiàn)公式（）的功能了，如圖 所示：圖 subsystem 子系統(tǒng)模塊 圖中子系統(tǒng) Subsystem1 所封裝的內(nèi)容即圖 所示的內(nèi)容即 函數(shù)。三路信號(hào)的和作為 Subsystem1x2xR的輸入信號(hào)，輸出信號(hào)進(jìn)入乘除器，作為被除數(shù)，除數(shù)為R。再把信號(hào) 引出，2 1x2x經(jīng)一個(gè)乘除器與其絕對(duì)值相乘，再除以 2R，就可得到 。Out1 端的輸出跟蹤輸入信號(hào)，Out2 端的輸出為輸入的近似微分。由跟蹤器得到的微分信號(hào)是輸入信號(hào)廣義導(dǎo)數(shù)的一種光滑逼近。輸入正弦函數(shù)圖形如圖 所示： 圖 輸入正弦圖形 輸出 x1 和 x2 分別如圖 和 所示： 圖 x1 輸出圖形圖 x2 輸出圖形分析以上三圖：比較圖 和圖 可以發(fā)現(xiàn)，兩圖基本完全是一致的，說明輸出 x1 能夠較好地跟蹤輸入信號(hào)，觀察圖 ，剛開始有較大的波動(dòng)，隨后穩(wěn)定了，正是圖 的微分信號(hào)，所以，能較好實(shí)現(xiàn)微分器功能。在原信號(hào)上加入噪聲 (1)的干擾，其波形如圖 所示： 加噪聲的輸入信號(hào)經(jīng)過 TD 跟蹤微分器后，其輸出波形如圖 所示： 濾波后輸出波形 所以，比較以上兩圖可以發(fā)現(xiàn)，經(jīng)過 TD 后，原波形的噪聲明顯減少了很多，并能繼續(xù)跟蹤源信號(hào)，說明 TD 具有很好的濾波功能。非線性組合被控對(duì)象?dt()vte1e1e02()ut()yt()f? 圖 非線性誤差 PID 控制規(guī)律結(jié)構(gòu)圖（2） 0()()()tpi deuKfefeKft????稱為非線性 PID 控制律，其結(jié)構(gòu)如圖 所示，其中虛線部分可稱為非線性組合。(,)fale? 非線性組合的 simulink 搭建及仿真實(shí)現(xiàn)在 simulink 下對(duì)非線性函數(shù) fal()的搭建模型如圖 和 所示：圖 非線性系統(tǒng)圖 是封裝子系統(tǒng)后的整體模型，為了研究方便，輸入為斜坡函數(shù)，其子系統(tǒng)封裝內(nèi)容如圖 所示：圖 子系統(tǒng)內(nèi)部結(jié)構(gòu)分析圖 ：主要有以下幾個(gè)功能模塊：step 為階躍輸入； abs 為取絕對(duì)值；Product 為乘法模塊；Divide 為除法模塊；Sign 為符號(hào)函數(shù)模塊；Math Function 為指數(shù)模塊；Switch 為開關(guān)選擇模塊。對(duì)上路分析：輸入信號(hào)進(jìn)入上路后又分成兩路，一路進(jìn)入 Sign 模塊變?yōu)榉?hào)函數(shù)，另一路取絕對(duì)值后再進(jìn)入 Math Function 模塊，最后兩路信號(hào)相乘。此模塊輸出進(jìn)入 Divide 模塊，作為除數(shù)，被除數(shù)輸入。非線性 PID 包含兩個(gè)跟蹤微分器（TD） ，一個(gè)對(duì)系統(tǒng)的參考輸入 安排理想的過渡()vt過程并提取參考輸入信號(hào)的微分信號(hào)；另一個(gè)跟蹤微分器盡可能地復(fù)原系統(tǒng)輸出及其微分信號(hào)。 、 對(duì)非線性函數(shù) fal 的影響及假設(shè)??非線性函數(shù) 的數(shù)學(xué)表達(dá)式如式 所示， 為誤差大小，即輸入量；(,)fale??e決定 非線性度的參數(shù)，其取值范圍是 0~1； 表征 的線,fl ?(,)fale??性區(qū)間大小的參數(shù)。各非線性環(huán)節(jié)子系統(tǒng)（Subsystem1 ﹑Subsystem2﹑Subsystem3﹑Subsystem4﹑Subsystem5）中 的取值?分別為 0﹑﹑﹑﹑1。其輸出響應(yīng)如圖 所示。并且在可以看出在 1s之前，同一時(shí)刻， 值越大，其輸出值越小，所有曲線在 1s 時(shí)刻相交，1s 之后，值越大，其輸出值越大。子系統(tǒng) Subsystem1~7 的 取值分別為：?、11202120220， = 不變。輸出響應(yīng)如圖 所示。當(dāng)?,)fale?()signe?δ=120 的時(shí)候，可以發(fā)現(xiàn)曲線在 t=40s 的時(shí)候會(huì)出現(xiàn)轉(zhuǎn)折，此現(xiàn)象不難分析：輸入是斜率為 3 的斜坡信號(hào)，當(dāng)時(shí)間達(dá)到 40s 的時(shí)候，輸入變?yōu)?120，而這一點(diǎn)正好是轉(zhuǎn)折點(diǎn)，在這之前 ， = ，在這點(diǎn)之后， ， =e??(,)fale?1??e??(,)fale??所以會(huì)呈現(xiàn)如圖所示曲線。當(dāng) δ=1202200 時(shí)，對(duì)應(yīng)的輸出值更小，當(dāng)