【正文】 .........................................................1167。 小波變換編碼的優(yōu)越性 ..........................................................................................................2167。 連續(xù)小波變換 ..........................................................................................................................4167。 多分辨分析 ............................................................................................................................11167。 圖形顯示算法及其實(shí)現(xiàn) ........................................................................................................16167。 小波基選取原則 ....................................................................................................................20167。 矩陣法構(gòu)造濾波器的一些條件 ............................................................................................25167。 小波編碼中濾波器選取仿真 ................................................................................................29167。 小波編碼的基本框架 ............................................................................................................33167。 誤差的度量 ............................................................................................................................35167。 基于小波樹(shù)結(jié)構(gòu)的矢量量化壓縮算法 ................................................................................43167。小波分析的出現(xiàn)，是不同學(xué)科、不同領(lǐng)域的交流與交叉學(xué)科發(fā)展的結(jié)晶。 引言 [1]上個(gè)世紀(jì)八十年代初，Morlet 和 Arens 等人首次提出了“小波”的概念。作為一種數(shù)學(xué)工具，小波分析已廣泛應(yīng)用于信號(hào)分析、圖像處理、數(shù)值分析等方面，而這些應(yīng)用中產(chǎn)生的問(wèn)題進(jìn)一步激發(fā)了人們研究小波分析的興趣。小波分析主要研究函數(shù)的表示，即將函數(shù)分解為“基本函數(shù)”之和，而“基本函數(shù)”是由一個(gè)小波函數(shù)經(jīng)伸縮和平移而得到的，這個(gè)小波函數(shù)具有很好的局部性和光滑性，使得人們通過(guò)分解系數(shù)刻畫(huà)函數(shù)時(shí)，可以分析函數(shù)的局部性質(zhì)和整體性質(zhì)。Fourier 基具有很好的光滑性，但局部性很差；而 Haar 基的局部性雖很好，但光滑性很差。在信號(hào)分析中，由于小波變換在時(shí)域和頻域都有很好的局部特性，因此在數(shù)據(jù)壓縮與邊緣檢測(cè)方面，小波分析是一種非常有效的方法。167。特別是二十世紀(jì)中葉以后，隨著計(jì)算機(jī)科學(xué)的迅猛發(fā)展，信息科學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)緊密結(jié)合，相互促進(jìn)，其地位與日俱增。一般的，信息需要通過(guò)媒體來(lái)進(jìn)行記錄、傳播和獲取。其中，圖像是最常見(jiàn)的信息存載和表現(xiàn)形式，它不僅十分直觀(guān)，而且內(nèi)涵非常豐富。例如，一副 512512 象素、8bit/pixel的灰度圖像占 256KB，一副 512512 象素、8bit/pixel 的彩色圖像則占3256＝768KB；一副 229121908bit 的氣象衛(wèi)星紅外云圖占 ，而一顆衛(wèi)星每半個(gè)小時(shí)可發(fā)回一次全波段數(shù)據(jù)(5 個(gè)波段)，每天的數(shù)據(jù)量高達(dá) 。視頻大致以每第一章 緒論2秒 30 幀的速率傳輸，將達(dá)到 90Mbps 的數(shù)據(jù)傳輸率 。當(dāng)前，圖像壓縮被認(rèn)為是一種“開(kāi)放技術(shù)” 。簡(jiǎn)而言之，不斷擴(kuò)大的應(yīng)用領(lǐng)域依賴(lài)于對(duì)各種圖像進(jìn)行有效的處理、存儲(chǔ)和傳輸。 小波變換編碼的優(yōu)越性 [1]3長(zhǎng)期以來(lái)，圖像壓縮編碼利用離散余弦變換(DCT)作為主要的變換技術(shù)，并成功的應(yīng)用于各種標(biāo)準(zhǔn)，如 JPEG，MPEG1，MPEG2。[1]小波變換是全局變換，在時(shí)域和頻域都具有良好的局部化性能，而且在應(yīng)用中易于考慮人類(lèi)的視覺(jué)特性，從而成為圖像壓縮編碼的主要技術(shù)之一 。(2) 小波變換采用塔式分解的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，與人眼由粗到精、由全貌到細(xì)節(jié)的觀(guān)察習(xí)慣相一致，這是將 WT(wavelets transform)與 HVS(human visual system)的空間分解特性結(jié)合起來(lái)以改善圖像壓縮性能的有利條件。(3) 小波變換式圖像的時(shí)頻表示，具有時(shí)間頻域定位能力，并可實(shí)現(xiàn)圖像中平穩(wěn)成分與非平穩(wěn)成分的分離，從而可對(duì)其進(jìn)行高效編碼。目前，基于小波變換的圖像壓縮算法 JPEG2022 已經(jīng)成為新一代的圖像壓縮標(biāo)準(zhǔn)。167。討論了小波的基本理論，小波濾波器的構(gòu)造，小波分析在圖像壓縮中的應(yīng)用。研究了圖形顯示算法，推導(dǎo)了二維情形的圖形顯示算法，并實(shí)現(xiàn)了一維情形的圖形顯示算法。對(duì)包括新小波在內(nèi)的各種濾波器進(jìn)行小波編碼的仿真實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)表明新小波的性能很好。第五章對(duì)全文進(jìn)行了總結(jié)并展望。 連續(xù)小波變換 [416]?在小波的許多著作中，連續(xù)小波的定義并不是很統(tǒng)一，本節(jié)討論了幾種連續(xù)小波的定義，分析它們的聯(lián)系和區(qū)別；然后舉了一些常用的連續(xù)小波例子，并通過(guò)定義驗(yàn)證了 Haar 和 Mexican 帽為基小波；給出了一種基于卷積的基小波的構(gòu)造方法，并證明之；證明了尺度函數(shù)和多分辨分析(MRA)產(chǎn)生的小波是基小波；最后簡(jiǎn)要討論了連續(xù)小波重構(gòu)、性質(zhì)及應(yīng)用。關(guān)于一個(gè)基小波 ，在 上的連續(xù)?)(2RL小波變換或積分小波變換定義為，????????????dtabtfabfW?)(,21 )(2f?容許條件是為了確保小波逆變換可以進(jìn)行。另外 是一個(gè)?? ??連續(xù)函數(shù)，則有 ；而 是窗函數(shù)表明 ，這樣可以得到定義(0)?[1] ()R?[4]2。關(guān)于一個(gè)基小波 ，在 上的? ?)(2RL連續(xù)小波變換或積分小波變換定義為，????????????dtabtfabfW?)(,21 )(2f?注：基小波屬于 ，在理論上會(huì)對(duì)判定函數(shù)是否是基小波產(chǎn)生困難。?0?()0xd???? [4]連續(xù)小波的例子例 1 Haar 小波 ().,().tt LR??????????????其 他證明：????12120? titititedxed??????????????12102itit?[]i= [(cos)sini????2 422211?||| |[(cos)sin]|???????= 222[cossin]| |??4216in|??43si?|()||dd???????????故 (t)是一個(gè)基小波。1()()2tft??????39。1?it itfedied?????????????= =()2itif?? 22ti?第二章 小波分析的基本理論6= （ ）2e??241?()()tgtege???????????=224?|()|||dd??????????23|d????故 是一個(gè)基小波。證明：（1）首先證明 是 上的有界函數(shù)：?|()|g?R?|()|()itged?????||()|itedgtd?????????即存在一個(gè)正整數(shù) M，使得| |M。ht例 7 設(shè) 是 Haar 小波，g 是具有緊支的連續(xù)函數(shù)，則 是一個(gè)基小波。()t引理 1 是由尺度函數(shù)和多分辨分析生成的半正交小波，則 （j, k[8]? /2{()}jjx??Z）是 的 Riesz 基。jZ{}jZ??2()lJ定理 2 由尺度函數(shù)生成的半正交小波是基小波。,{(),}jkx?)(2RL即 生成 的一個(gè)框架，而框架一定滿(mǎn)足二進(jìn)小波的穩(wěn)定性,{(),}jkxZ??2RL條件，那么它必定是一個(gè)二進(jìn)小波 ，而一個(gè)二進(jìn)小波必然是一個(gè)基小波。推論 Meyer 小波與 Daubechies 小波以及樣條小波都是基小波。連續(xù)小波的重構(gòu)及性質(zhì)第二章 小波分析的基本理論8連續(xù)小波變換的重構(gòu)公式為： 21()(,)fxbfxWadaC???????具體證明參見(jiàn)文獻(xiàn)[4]。下面介紹連續(xù)小波的重要性質(zhì)：⑴ 線(xiàn)性：一個(gè)多分量信號(hào)的小波變換等于各分量的小波變換之和。(,)fWab??⑶ 伸縮共變性：若 的小波變換為 ，則 的小波變換為f ,ffc ， 1(,)fc0?⑷ 自相似性：對(duì)應(yīng)不同尺度參數(shù) 和不同平移參數(shù) ，連續(xù)小波變換之間是自相似ab的。這種冗余性主要表現(xiàn)在 2 個(gè)方面：① 連續(xù)小波變換恢復(fù)原信號(hào)的重構(gòu)公式不是唯一的。小波變換在不同的 之間的相關(guān)性增加了分析和解釋小波變換結(jié)果的困難，,因此小波變換的冗余度應(yīng)該盡可能的減小。??12b??僅從此例就可以體會(huì)到，在具體應(yīng)用中，不同信號(hào)的連續(xù)小波變換是很復(fù)雜的，文獻(xiàn)[11]給出了門(mén)函數(shù)、單邊指數(shù)函數(shù)、階躍函數(shù)等信號(hào)在給定小波基下的連續(xù)小第二章 小波分析的基本理論9波變換的表達(dá)式，并且做出了相應(yīng)的三維圖形。左邊的信號(hào)除了明顯的奇異點(diǎn)外均比較光滑，而右邊的信號(hào)存在較多的奇異點(diǎn)，小波變換對(duì)奇異點(diǎn)是很敏感的。2loga一般計(jì)算連續(xù)小波變換都采用數(shù)值計(jì)算的方法：設(shè) ，取步長(zhǎng)為 ，令 ， ，則)(2RLf?t???tkft??)(?1,??k??dababfW???????????21, ttfk?????21)(??kbad,。卷積運(yùn)算可以在時(shí)域完成，也可以在頻域里通過(guò)FFT 來(lái)完成。小波變換是一個(gè)時(shí)間和頻率的局域變換，因而能有效地從信號(hào)中提取信息，通過(guò)伸縮和平移等運(yùn)算功能對(duì)函數(shù)和信號(hào)進(jìn)行多尺度細(xì)化分析，解決了傅立葉變換不能解決的許多困難問(wèn)題，被譽(yù)為“數(shù)學(xué)的顯微鏡” 。比如在去[9]噪中，連續(xù)小波變換具有較大的冗余性，對(duì)于去噪和數(shù)據(jù)恢復(fù)是十分有利的 ，而[]冗余對(duì)圖像壓縮是不利的，圖像壓縮中需要的是無(wú)冗余的正交小波；小波對(duì)信號(hào)的奇異點(diǎn)十分敏感，對(duì)突變信號(hào)的分析非常有效，因而在故障檢測(cè)和邊緣檢測(cè)中，連續(xù)小波是很有效的 ，文獻(xiàn)[15]也表明連續(xù)小波變換具有比傳統(tǒng)的二進(jìn)小波更好[13,4]的檢測(cè)能力，非常適合于故障檢測(cè)；而復(fù)小波能夠提取有關(guān)相位信息，因而可以實(shí)第二章 小波分析的基本理論10現(xiàn)包絡(luò)分析處理 ；后面介紹的離散小波變換的各個(gè)尺度的小波分量的系數(shù)就是信[16]號(hào)在各尺度下的連續(xù)小波變換，因此，可以這樣說(shuō)，幾乎所有小波分析的應(yīng)用都與連續(xù)小波變換有關(guān)。 離散小波變換 [1]在實(shí)際應(yīng)用中，需要將連續(xù)小波離散化。在連續(xù)小波中，考慮函數(shù) (,)fWab， 是容許的，在離散化時(shí)，總限制 取,1(),0abxxRa??????且 ?正值，這樣離散小波變換的容許條件就變?yōu)椋?20?()Cd??????當(dāng) 離散化時(shí)，即 ，則得到離散小波為,ab0,jjabk /2,00()()jjxaxkb?,jZ?從而離散小波變換表示為： 2,00(,)())j jjkWfjffaxkbd???????其重構(gòu)公式為： ,()jkjfxC????為一與信號(hào)無(wú)關(guān)的常數(shù)。如果 還有一個(gè)對(duì)偶 ，它們一起滿(mǎn)足雙正交條件??x???x??，,jklmjlk???則系數(shù) ??,jkjkCfWfj是 的連續(xù)小波變換在第 尺度與第 平移處的值。實(shí)際應(yīng)用中，通常用卷積形式的小波變換，對(duì)于函數(shù) ，在尺度 上的2()fLR?s卷積小波變換記為 1(,)*()()()ssRRxtWfsxfftxtdftdss????????這時(shí)容易計(jì)算 的連續(xù)小波變換的傅立葉變換。A????1?sff??167。 從圖 的多分辨分析的樹(shù)結(jié)構(gòu)圖中，可以看出，多分辨分析只是對(duì)低頻空間進(jìn)一步分解，使頻率的分辨率變得越來(lái)越高。定義 3：設(shè) 為空間 中的閉子空間序列，如果滿(mǎn)足下面六個(gè)條件，則稱(chēng)??jZV?2()LR為 的一個(gè)多分辨分析。jV設(shè) 表示圖 中分解的低頻部分 ， 表示圖 中分解的高頻部分 ，則j jAjWjD圖 三層多分辨分析的樹(shù)結(jié)構(gòu)D1SA1D2D3A2A3第二章 小波分析的基本理論12是 在 中的正交補(bǔ)空間，即：jWjV1j?，且 有：1jjjVW???ij??ijW?從而能得到 2()jjZLR??這樣就把 分解為互相正交的子空間。1,kkk?kh（）式的 Fourier 變換為： ()2?()(/)ikhe??????記 ，則（）式表示為 .1ikH ?()(/2)H????對(duì)于 ，它是低通濾波器傳遞函數(shù)，且是一個(gè)以 為周期的函數(shù)，滿(mǎn)足() ? 22()????（）類(lèi)似的，設(shè) ，