圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)-在線瀏覽
2024-08-02 16:01本頁(yè)面
【正文】 圓錐曲線光學(xué)性質(zhì)的證明及應(yīng)用初探一、 圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)1．1 橢圓的光學(xué)性質(zhì)： 從橢圓一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光，經(jīng)過(guò)橢圓反射后，反射光線都匯聚到橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)上； ()橢圓的這種光學(xué)特性，常被用來(lái)設(shè)計(jì)一些照明設(shè)備或聚熱裝置．例如在處放置一個(gè)熱源，那么紅外線也能聚焦于處，對(duì)處的物體加熱。電影放映機(jī)的反光鏡也是這個(gè)原理。F2F1AF1F2DOB 要探究圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)，首先必須將這樣一個(gè)光學(xué)實(shí)際問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，進(jìn)行解釋論證。此時(shí)，我們可以借助圓錐曲線的切線和法線，對(duì)這一問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)化： 圓錐曲線光學(xué)性質(zhì)的證明預(yù)備定理 ，則橢圓過(guò)該點(diǎn)的切線方程為：。當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)的切線斜率一定存在，且，∴對(duì)①式求導(dǎo)：，∴，∴切線方程為……②，∵點(diǎn)在橢圓上，故 ，代入②得……③，而當(dāng)時(shí)， 切線方程為，也滿足③式，故是橢圓過(guò)點(diǎn)的切線方程.預(yù)備定理2. 若點(diǎn)是雙曲線上任一點(diǎn)，則雙曲線過(guò)該點(diǎn)的切線方程為：證明：由……①，1176。一方面，點(diǎn)是切線與橢圓的唯一交點(diǎn)，則，是上的點(diǎn)到兩焦點(diǎn)距離之和的最小值（這是因?yàn)樯系钠渌c(diǎn)均在橢圓外）。由雙曲線的焦半徑公式得：，雙曲線的兩焦點(diǎn)坐標(biāo)為，故故 ，∴切線為之角分線。已知：如圖，拋物線的方程為為，直線是過(guò)拋物線上一點(diǎn)的切線，交軸于，反射線與所成角記為，求證：證明： 如圖 ，拋物線的方程為，點(diǎn)在該拋物線上，則過(guò)點(diǎn)的切線為，切線與軸交于，焦點(diǎn)為，(同位角)，∵，∴，∴通過(guò)以上問(wèn)題轉(zhuǎn)化可知，圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)是可以用我們學(xué)過(guò)的知識(shí)證明的。解：如圖，直線平行于對(duì)稱軸且(5，2)，∴則點(diǎn)的坐標(biāo)為（4，2），∴反射線過(guò)點(diǎn)，設(shè)，則，解得：，∴例2. 已知橢圓方程為+= 1，若有光束自焦點(diǎn)(3，0)射出，經(jīng)二次反射回到點(diǎn)，設(shè)二次反射點(diǎn)為，則△的周長(zhǎng)為 。，又，已知(4，2)， (4，0)，若由射至的光線被雙曲線反射，反射光通過(guò)，則 。這雖然還只是一種停留“經(jīng)驗(yàn)、感覺(jué)”層面上的結(jié)論，但卻為我們研究一類“距離之和” 取值范圍問(wèn)題時(shí)指明了思考的方向，從而解決了一個(gè)從“想不到”到“想得到”的關(guān)鍵問(wèn)題?！蔽易x了他的文章，深受啟發(fā)，并用圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)解決了我們經(jīng)常見(jiàn)到而又覺(jué)得復(fù)雜的一類最值問(wèn)題。
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