循環(huán)矩陣性質(zhì)研究-在線瀏覽
2024-08-02 06:03本頁面
【正文】 該序列構(gòu)成的循環(huán)矩陣記為 （1）矩陣可逆時(shí)，其逆矩陣由序列構(gòu)成，記為 （2） 若等比數(shù)列滿足，若為偶數(shù)時(shí)，則由該數(shù)列構(gòu)成的循環(huán)矩陣（1）的逆矩陣（2）存在，且，.即 （3）證明 只須確定，由，即知，乘的第一列等于的第一列可得滿足的方程組. （4）注意到，對(duì)（4）的增廣矩陣進(jìn)行初等變換.又，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，知，可得 定理及（3）式成立，證畢.由上述定理及（3）式易得 若等比數(shù)列滿足公比，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，則由該數(shù)列構(gòu)成的循環(huán)矩陣及其逆矩陣的行列式分別為：，. 循環(huán)矩陣行列式與特征值相關(guān)性質(zhì) 若為復(fù)數(shù)域上的階循環(huán)矩陣,那么的行列式，這里是全部次單位根， . 證明 作階矩陣，這里是全部次單位根，令，由于次單位根滿足，且對(duì)任意非負(fù)整數(shù)，考察與的乘積.由于矩陣的行列式是一個(gè)范德蒙行列式，且當(dāng)時(shí)，次單位根，所以，從而. 設(shè)是形如的循環(huán)矩陣，且設(shè)，是1的全部次單位根. 這里是虛數(shù)單位（），則的個(gè)特征值是：,注意. 循環(huán)矩陣的奇異性 ，循環(huán)矩陣奇異的充要條件是存在某個(gè)，使.由于對(duì)任意的自然數(shù)，是1的
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