【正文】 其中分別是第個節(jié)點(diǎn)的mRNA和蛋白質(zhì)濃度。人們可以發(fā)現(xiàn)，網(wǎng)絡(luò)中的任何單個節(jié)點(diǎn)或基因中，有到其他節(jié)點(diǎn)輸出或基因和來自其他節(jié)點(diǎn)的多輸入。作為一個單調(diào)遞增或遞減的調(diào)控函數(shù)，是通常的MichaelisMenten或Hill形式。也就是說，每個轉(zhuǎn)錄因子是基因的一個激勵，于是如果轉(zhuǎn)錄因子是基因的一種阻遏，于是其中是Hill系數(shù)，是一個正的常數(shù)，是有界常數(shù)(無量綱的轉(zhuǎn)錄因子到的轉(zhuǎn)錄速率)。線性模型將基因間的相互作用都近似地看成一種線性關(guān)系，這與實(shí)際中基因間的相互作用關(guān)系往往是非線性的不相符，因此模型尚需進(jìn)行改 進(jìn)。其次，在貝葉斯網(wǎng)絡(luò)的學(xué)習(xí)過程中，網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)會非常的復(fù)雜，計(jì)算量非常之大。相比較其他模型，微分方程模型非常強(qiáng)大靈活，利于研究基因網(wǎng)絡(luò)中的復(fù)雜關(guān)系。大量模型不斷涌現(xiàn)，各種數(shù)學(xué)工具不斷引進(jìn)，這為網(wǎng) 絡(luò)調(diào)控模型的構(gòu)建創(chuàng)造了良好的數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ)。隨著后基因組學(xué)的不斷發(fā)展，基因網(wǎng)絡(luò)必然會在生命科學(xué)的研究中發(fā)揮巨大的作用。它們在控制領(lǐng)域里的應(yīng)用起源于Kalmna、Popov、Yakubocich和Willems等先驅(qū)們在超穩(wěn)定性，正實(shí)性等方面開創(chuàng)性的工作?？坍嫼纳⑾到y(tǒng)、無源系統(tǒng)最重要的工具就是KYP引理，它是判斷系統(tǒng)是否耗散、無源的充分必要條件。線性系統(tǒng)的KYP引理也稱正實(shí)引理，它建立了頻域框架下系統(tǒng)的正實(shí)性條件和時域里狀態(tài)空間中相應(yīng)正實(shí)性條件的等價關(guān)系。在一定的可探測條件下，無源系統(tǒng)是穩(wěn)定的。無源系統(tǒng)并不是穩(wěn)定系統(tǒng)的子集，無源系統(tǒng)加上可探測性條件才會是穩(wěn)定的。Myolan將其結(jié)論推廣到仿射非線性系統(tǒng)。通常最優(yōu)控制問題歸結(jié)為求解HJB方程，而這是件非常困難的事，目前仍沒有解決該問題系統(tǒng)可行的方法。在逆最優(yōu)控制過程中，首先要給出鎮(zhèn)定控制律和相應(yīng)的Lypaunov函數(shù)，然后再設(shè)計(jì)性能指標(biāo)使得其最優(yōu)，即根據(jù)控制律反過來設(shè)計(jì)性能指標(biāo)。保證系統(tǒng)穩(wěn)定的控制李雅普諾夫函數(shù)正是HJB方程的解，這樣保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性和性能指標(biāo)的最優(yōu)性。用無源化方法設(shè)計(jì)的非線性觀測器可以減少觀測器的參數(shù)，而且它也可以簡化自適應(yīng)控制，魯棒控制，滑模控制，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和模糊控制等。Ortgea針對機(jī)器人系統(tǒng)討論了基于無源性的控制問題；Sira—Ramirez針對電力系統(tǒng)及化工過程應(yīng)用無源性理論研究系統(tǒng)的鎮(zhèn)定問題。相信這些實(shí)際系統(tǒng)研究的深入和成熟，必將為無源性理論的研究注入新的活力。被定義如下:非線性函數(shù)表示轉(zhuǎn)錄蛋白的反饋調(diào)節(jié)，用HIll形式的單調(diào)函數(shù)，即，是Hill系數(shù)隨時間變化的延遲和假定滿足，并且，；，其中并是受節(jié)點(diǎn)阻礙的節(jié)點(diǎn)的集合。定義， ，可得 (3)其中，,。并認(rèn)為為基因調(diào)控網(wǎng)絡(luò)的輸入，為基因調(diào)控網(wǎng)絡(luò)的輸出。這里和是正的常數(shù)。隨時間變化的不確定矩陣，和定義如下： (7) 其中和是已知的適當(dāng)維數(shù)的常數(shù)實(shí)矩陣。2．4引理,標(biāo)量，向量函數(shù)和有關(guān)的積分的明確界定，得.，和是適當(dāng)尺寸的實(shí)矩陣且滿足。無源性條件3．1變時滯基因網(wǎng)絡(luò)的無源性條件這節(jié)中，我們分析了不確定的基因網(wǎng)絡(luò)的無源性，隨時間變化的延誤(6)通過使用Lyapunov穩(wěn)定性定理和無源性定義(9)。在下面，我們用*表示對稱的一部分。3．2不確定變時滯基因網(wǎng)絡(luò)的無源性條件3．2．1 定理二無源網(wǎng)絡(luò)(6)在任何和時漸近魯棒穩(wěn)定，如果存在正定矩陣，對角矩陣，標(biāo)量，這樣得到下面的線性矩陣不等式： 3．2．2 定理二證明以相同的Lyapunov泛函，證明定理1，分別替換，和為和。因此，不確定變時滯基因網(wǎng)絡(luò)GRNs(6)是漸近穩(wěn)定和無源。三節(jié)點(diǎn)變時滯基因網(wǎng)絡(luò)研究仿真repressilator動態(tài)理論上已經(jīng)預(yù)測，并在大腸桿菌中的實(shí)驗(yàn)調(diào)查[7]。系統(tǒng)的動力學(xué)描述如下： 這里。4．1 三節(jié)點(diǎn)變時滯基因網(wǎng)絡(luò)模型考慮到轉(zhuǎn)錄的時間延遲，我們從一些參數(shù)調(diào)整成矢量改寫上述方程： (27)其中 ,在上述方程中,，其中是Hill系數(shù)，且。4．2 用LMI工具箱檢驗(yàn)魯棒穩(wěn)定性程序4．2．1 function zzjNetwork1Stab%用LMI工具箱檢驗(yàn)變時滯基因調(diào)控網(wǎng)絡(luò)1的魯棒穩(wěn)定性clear allclose all%常數(shù)A=[3 0 0。0 0 3]。0 0。D=[ 0 0。0 0 ]。W=[0 0 。0 0]。tau0=3/8。eta=1/16。0 0。%初始化setlmis([])%定義變量Q1=lmivar(1,[3,1])。Q3=lmivar(1,[3,1])。R1=lmivar(1,[3,1])。R3=lmivar(1,[3,1])。X=lmivar(1,[3,1])。U=lmivar(1,[3,1])。 %2*Q1*Almiterm([1 1 1 Q2],1,1)。 %(1/tau0)*Q3lmiterm([1 1 1 Q1],1,1)。s39。 %AX lmiterm([1 1 3 Q3],1/tau0,1,39。)。 %tau0*Q3lmiterm([1 2 2 Q4],2*delt,1)。 %X lmiterm([1 3 3 Q2],1,1)。 %(1/delt)Q4lmiterm([1 3 3 Q3],1/tau0,1)。s39。 %(1/delt)*Q4 lmiterm([1 4 4 Q4],1/delt,1)。 %D*R1*Dlmiterm([1 4 4 Y],D,D)。 %2*R1*Clmiterm([2 1 1 R2],1,1)。 %(1/sigma0)*R3lmiterm([2 1 1 R1],1,1)。s39。 %C*Y lmiterm([2 1 3 R3],1/sigma0,1,39。)。 %sigma0*R3lmiterm([2 2 2 R4],2*eta,1)。 %Y lmiterm([2 3 3 R2],1,1)。 %(1/sigma0)*R3lmiterm([2 3 3 R4],1/eta,1)。s39。 %(1/eta)*R4 lmiterm([2 4 4 R4],1/eta,1)。s39。 %U lmiterm([2 5 5 Q1],W39。 %W39。,W)。*X*Wlmiterm([2 5 5 U],2,inv(K))。[tmin,xfeas]=feasp(lmisys)%tmin =0，表示可行，用pmat=dec2mat(lmisys,xfeas,P)來得到一個可行的P矩陣Qd1=dec2mat(lmisys,xfeas,Q1)Qd2=dec2mat(lmisys,xfeas,Q2)Qd3=dec2mat(lmisys,xfeas,Q3)Qd4=dec2mat(lmisys,xfeas,Q4)Rd1=dec2mat(lmisys,xfeas,R1)Rd2=dec2mat(lmisys,xfeas,R2)Rd3=dec2mat(lmisys,xfeas,R3)Rd4=dec2mat(lmisys,xfeas,R4)Xd=dec2mat(lmisys,xfeas,X)Yd=dec2mat(lmisys,xfeas,Y)Ud=dec2mat(lmisys,xfeas,U)4．2．2 結(jié)果根據(jù)定理1，通過Matlab LMI工具箱求解線性矩陣不等式(13)得到和的值%Network1穩(wěn)定檢驗(yàn)可行性和可行的矩陣tmin =0 %可行Qd1 =[,0,0；0,0；0,0,]。Qd3 =[,0,0；0,0；0,0,]。Rd1 =[,0,0；0,0；0,0,]。Rd3 =[,0,0；0,0；0,0,]。Xd =[,0,0；0,0；0,0,]。Ud =[,0,0；0,0；0,0,]。0 3 0。C=[ 0 0。0 0 ]。0 0。B=[,]39。 0 0。%定義變量syms t y1 y2 y3 y4 y5 y6。M=[y1,y2,y3]39。Mdelt=[yy1,yy2,yy3]39。A*M+W*fP+BC*P+D*M結(jié)果：其中conj（）是共軛復(fù)數(shù)函數(shù)%Network1微分方程dy(1)=5/2 (5*conj(yy6)^2)/(2*(conj(yy6)^2 + 1)) 3*conj(y1)dy(2)=5/2 (5*conj(y4)*conj(yy4))/(2*(conj(y4)*conj(yy4) + 1)) 3*conj(y2)dy(3)=5/2 (5*conj(yy5)^2)/(2*(conj(yy5)^2 + 1)) 3*conj(y3)dy(4)=(4*conj(y1))/5 (5*conj(y4))/2dy(5)=(4*conj(y2))/5 (5*conj(y5))/2dy(6)=(4*conj(y3))/5 (5*conj(y6))/24．3．2 function zzjNetwork1%用ddesd算法仿真變時滯影響下的基因調(diào)控網(wǎng)絡(luò)1過程 t0 = 0。 %設(shè)置時間終值tspan = [t0, tfinal]。RelTol39。 %精度設(shè)置%sol = ddesd(zzj1Eq,zzj1delay,zzj1hist,tspan,options)。plot(,(1,:),39。,(2,:),39。,(3,:),39。)。time t39。ylabel(39。)。mRNA濃度39。hold all。plot(,(4,:),39。,(5,:),39。,(6,:),39。)。time t39。ylabel(39。)。蛋白質(zhì)濃度39。hold all。 %作圖2figure(1)。g39。b39。r39。figure(2)。g39。b39。r39。hold off %函數(shù)集function v = zzj1hist(t)v=[0 0 ]39。 %給出參數(shù)y初始值 function d = zzj1delay(t,y)%延時函數(shù)矩陣d = [t(abs(sin(t))+1)/4。t(abs(sin(t))+1)/4。t(abs(cos(t))+1)/8。 function dy=zzj1Eq(t,y,z)dy=zeros(6,1)。yy2=z(:,2)。yy4=z(:,4)。yy6=z(:,6)。dy(4)=*y(4)+*yy1(1)。dy(5)=*y(5)+*yy2(2)。dy(6)=*y(6)+*yy3(3)。因此，伴隨有時變延遲的GRN（27）是漸近穩(wěn)定的。五節(jié)點(diǎn)變時滯基因網(wǎng)絡(luò)研究仿真5．1 三節(jié)點(diǎn)變時滯基因網(wǎng)絡(luò)模型考慮下面范數(shù)有界變時滯基因調(diào)控網(wǎng)絡(luò)的不確定性： (28)其中And 且5．2 用LMI工具箱檢驗(yàn)魯棒穩(wěn)定性程序5．2．1 function zzjNetwork2Stab%用LMI工具箱檢驗(yàn)變時滯基因調(diào)控網(wǎng)絡(luò)2的魯棒穩(wěn)定性clear allclose all%常數(shù)a=[3,4,5,4,4]。c=[5,4,5,4]。d=[,]。W=[0 1 1 0 0。 0 1 0 0 1。 0 0 1 1 0]。 。 。E0=[0 0 0。 0 0 0 。 0 0 0]。