【正文】 =0,則 n=4. 考點 2 二次函數(shù)與一元二次方程之間的聯(lián)系 3.(2022宿遷 ,8,3分 )若二次函數(shù) y=ax22ax+c的圖象經(jīng)過點 (1,0),則方程 ax22ax+c=0的解為 ? ( ) =3,x2=1 =1,x2=3 =1,x2=3 =3,x2=1 答案 C 由題意得對稱軸為直線 x=1,所以拋物線與 x軸的另一個交點為 (3,0),所以關(guān)于 x的方 程 ax22ax+c=0的解為 x1=1,x2= C. 4.(2022蘇州 ,8,3分 )若二次函數(shù) y=ax2+1的圖象經(jīng)過點 (2,0),則關(guān)于 x的方程 a(x2)2+1=0的實數(shù) 根為 ? ( ) =0,x2=4 =2,x2=6 =? ,x2=? =4,x2=0 32 52答案 A 把 (2,0)代入二次函數(shù)解析式 y=ax2+1中 ,解得 a=? ,把 a=? 代入 a(x2)2+1=0,解得 x1= 0,x2=4. 14 14思路分析 根據(jù)函數(shù)圖象上的點滿足函數(shù)解析式求出二次項系數(shù) ,然后解方程即可 . 一題多解 本題還可以利用二次函數(shù)圖象的對稱性來解決 .因為二次函數(shù) y=ax2+1的圖象關(guān)于 y軸對稱 ,且過點 (2,0),所以過點 (2,0),因為 y=a(x2)2+1的圖象是由二次函數(shù) y=ax2+1的圖象向右 平移兩個單位得到的 ,故函數(shù) y=a(x2)2+1的圖象過點 (0,0)、 (4,0),所以方程 a(x2)2+1=0的解是 x1 =0,x2=4. 5.(2022蘇州 ,8,3分 )若二次函數(shù) y=x2+bx的圖象的對稱軸是經(jīng)過點 (2,0)且平行于 y軸的直線 ,則關(guān) 于 x的方程 x2+bx=5的解為 ? ( ) =0,x2=4 =1,x2=5 =1,x2=5 =1,x2=5 答案 D 設(shè)二次函數(shù) y=x2+bx的圖象與 x軸交點的橫坐標為 x x2,則 x1+x2=b,由題意知函數(shù)圖 象的對稱軸為直線 x=2,則 ? =2,所以 x1+x2=4,得 b= x24x5=0,解得 x1=1,x2=5,故 選 D. 122xx?6.(2022徐州 ,27,8分 )已知二次函數(shù)的圖象以 A(1,4)為頂點 ,且過點 B(2,5). (1)求該函數(shù)的關(guān)系式 。 (3)將該函數(shù)圖象向右平移 ,當(dāng)圖象經(jīng)過原點時 ,A、 B兩點隨圖象移至 A39。,求△ OA39。的面積 . 解析 (1)根據(jù)題意可設(shè)二次函數(shù)的關(guān)系式為 y=a(x+1)2+4, 將 B(2,5)代入得 a=1, ∴ 該函數(shù)的解析式為 y=(x+1)2+4=x22x+3. (2)令 x=0,得 y=3,因此拋物線與 y軸的交點為 (0,3), 令 y=0,得 x22x+3=0,解得 x1=3,x2=1, 故二次函數(shù)圖象與 x軸的交點為 (3,0),(1,0). (3)設(shè)原二次函數(shù)圖象與 x軸的交點為 M、 N(M在 N的左側(cè) ), 由 (2)知 :M(3,0),N(1,0), 當(dāng)函數(shù)圖象向右平移經(jīng)過原點時 ,M與 O重合 , 因此拋物線向右平移了 3個單位 , 故 A39。(5,5), ∴ S△ OA39。=? (2+5)9? 24? 55=15. 12 12 12思路分析 (1)已知拋物線的頂點坐標 ,可用頂點式設(shè)該二次函數(shù)的解析式 ,然后將 B點坐標代 入 ,即可求出二次函數(shù)的解析式 . (2)令 x=0,可求得拋物線與 y軸的交點坐標 。、 B39。B39。 (3)當(dāng) 2≤ m≤ 3時 ,求該函數(shù)的圖象的頂點縱坐標的取值范圍 . 解析 (1)D. ∵ Δ=(m1)2+4m=(m+1)2≥ 0, ∴ 該函數(shù)的圖象與 x軸公共點的個數(shù)是 1或 2. (2)證明 :y=x2+(m1)x+m=? +? , 所以該函數(shù)的圖象的頂點坐標為 ? . 把 x=? 代入 y=(x+1)2,得 y=? =? . 因此 ,無論 m為何值 ,該函數(shù)的圖象的頂點都在函數(shù) y=(x+1)2的圖象上 . (3)由 (2)知 ,該函數(shù)的圖象的頂點縱坐標為 ? ,設(shè) z=? ,由二次函數(shù)的性質(zhì)可知 , 當(dāng) m=1時 ,z有最小值 0。 當(dāng) m1時 ,z隨 m的增大而增大 . 又當(dāng) m=2時 ,z=? =? 。(2)先求頂點坐標 , 將該點橫坐標代入 y=(x+1)2得到縱坐標 ,從而得到結(jié)論 。當(dāng) a+1≤ 1,即 a≤ 0時 ,函數(shù) y=x22x+1在 a≤ x≤ a+1內(nèi) ,y隨 x的增大而減小 ,其最小值為 (a+1)22(a+1)+1=a2,則 a2=1,解得 a=1或 a=1(舍去 ).當(dāng) 0a 1時 ,函數(shù) y=x22x+1在 x=1處取得最小值 ,最小值為 0,不合題意 .綜上 ,a的值為 1或 2,故選 D. 2.(2022天津 ,12,3分 )已知拋物線 y=ax2+bx+c(a,b,c為常數(shù) ,a≠ 0)經(jīng)過點 (1,0),(0,3),其對稱軸在 y 軸右側(cè) .有下列結(jié)論 : ① 拋物線經(jīng)過點 (1,0)。 ③ 3a+b3. 其中 ,正確結(jié)論的個數(shù)為 ? ( ) 答案 C ∵ 拋物線 y=ax2+bx+c(a,b,c為常數(shù) ,a≠ 0)經(jīng)過點 (1,0),其對稱軸在 y軸右側(cè) ,∴ 拋物線 不能經(jīng)過點 (1,0),∴ ① 錯誤 .∵ 拋物線 y=ax2+bx+c(a,b,c為常數(shù) ,a≠ 0)經(jīng)過點 (1,0),(0,3),其對稱軸 在 y軸右側(cè) ,∴ 拋物線開口向下 ,與直線 y=2有兩個交點 ,∴ 方程 ax2+bx+c=2有兩個不相等的實數(shù) 根 ,故②正確 .∵ 拋物線的對稱軸在 y軸右側(cè) ,∴ ? 0.∵ a0,∴ b (1,0),(0,3)分別代入 y= ax2+bx+c得 ab=3,∴ b=a+3,a=b3.∴ 3a0,0b3.∴ 3a+b③正確 .故選 C. 2ba思路分析 拋物線經(jīng)過點 (1,0),其對稱軸在 y軸右側(cè) ,由對稱性可以判斷①錯誤 。根據(jù)拋物線所經(jīng)過的點及對 稱軸的位置 ,可判斷③正確 ,從而得結(jié)論 . 解后反思 本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標特征 ,二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系 ,二次函數(shù) 與一元二次方程的關(guān)系 ,不等式的性質(zhì)等知識 ,a的符號決定拋物線的開口方向 ,? 的符號決 定拋物線對稱軸的位置 ,c的值決定了拋物線與 y軸的交點坐標 . 2ba3.(2022甘肅蘭州 ,15,4分 )如圖 1,在矩形 ABCD中 ,動點 E從 A點出發(fā) ,沿 AB→ BC的方向運動 ,當(dāng)點 E到達點 C時停止運動 ,過點 E作 FE⊥ AE,交 CD于 F點 .設(shè)點 E運動的路程為 x,FC=y,圖 2表示的是 y與 x的函數(shù)關(guān)系的大致圖象 。,∠ CEF+∠ BEA=90176。, ∴ △ CFE∽ △ BEA. ∴ ? =? .(*) 易知當(dāng)點 E運動到 BC的中點時 ,CF取最大值 ,此時 CF=? ,CE=BE=x? . 5252CFBE CEBA25 52∴ 由 (*)知 ? =? . 解得 x1=? (舍 ),x2=? . ∴ CE=BE=1.∴ BC=2. 由 AB=? ,BC=2可得矩形 ABCD的面積為 5. 2552x ?5252x ?32 72524.(2022安徽 ,9,4分 )已知拋物線 y=ax2+bx+c與反比例函數(shù) y=? 的圖象在第一象限有一個公共點 , 其橫坐標為 y=bx+ac的圖象可能是 ? ( ) ? bx思路分析 由拋物線與反比例函數(shù)的圖象在第一象限有一個公共點可判斷 b0,a≠ 0,由公共 點的橫坐標為 1可得公共點坐標為 (1,b),代入拋物線方程可得 a,c的關(guān)系 ,從而判斷一次函數(shù)的 圖象 . 答案 B 因為拋物線與反比例函數(shù)的圖象在第一象限有一個公共點 ,所以 b0,a≠ 0,且公共 點的坐標為 (1,b),代入拋物線方程可得 b=a+b+c,所以 c=a,所以一次函數(shù)為 y=bxa2,其圖象過第 一、三、四象限 ,故選 B. 解題關(guān)鍵 通過公共點坐標 (1,b)得出 c=a是解題的關(guān)鍵 . 5.(2022甘肅蘭州 ,3,4分 )在下列二次函數(shù)中 ,其圖象的對稱軸為 x=2的是 ? ( ) =(x+2)2 =2x22 =2x22 =2(x2)2 答案 A 根據(jù)二次函數(shù) y=a(xh)2+k(a≠ 0)的圖象的對稱軸為直線 x=h,知只有 A選項符合題意 . 6.(2022遼寧沈陽 ,8,3分 )在平面直角坐標系中 ,二次函數(shù) y=a(xh)2(a≠ 0)的圖象可能是 ? ( ) ? 答案 D 二次函數(shù) y=a(xh)2(a≠ 0)的圖象的頂點坐標為 (h,0),由于該點的縱坐標為 0,所以該 點在 x軸上 ,符合這一條件的圖象只有 D. 7.(2022福建福州 ,10,3分 )已知一個函數(shù)圖象經(jīng)過 (1,4),(2,2)兩點 ,在自變量 x的某個取值范圍 內(nèi) ,都有函數(shù)值 y隨 x的增大而減小 ,則符合上述條件的函數(shù)可能是 ? ( ) 答案 D 易知經(jīng)過點 (1,4),(2,2)的直線不經(jīng)過原點 ,所以所求函數(shù)不是正比例函數(shù) ,A不符 合 。只有 D正確 ,故選 D. 8.(2022甘肅蘭州 ,1,4分 )下列函數(shù)解析式中 ,一定為二次函數(shù)的是 ? ( ) =3x1 =ax2+bx+c =2t22t+1 =x2+? 1x答案 C 根據(jù)二次函數(shù)的定義 :形如 y=ax2+bx+c(a、 b、 c為常數(shù) ,且 a≠ 0)的函數(shù)叫做二次函 數(shù) ,結(jié)合各選項知 ,選 C. 9.(2022甘肅蘭州 ,13,4分 )二次函數(shù) y=ax2+bx+c的圖象如圖 ,點 C在 y軸的正半軸上 ,且 OA=OC,則 ? ( ) ? +1=b +1=c +1=a 答案 A 由題意得點 C的坐標為 (0,c), ∵ OA=OC, ∴ 點 A的坐標為 (c,0). 將 (c,0)代入二次函數(shù)解析式 ,得 ac2bc+c=0, ∵ c≠ 0,∴ acb+1=0, 即 ac+1= A. 10.(2022甘肅蘭州 ,11,4分 )把拋物線 y=2x2先向右平移 1個單位長度 ,再向上平移 2個單位長度 后 ,所得函數(shù)的表達式為 ( ) =2(x+1)2+2 =2(x+1)22 =2(x1)2+2 =2(x1)22 答案 C 把拋物線 y=2x2先向右平移 1個單位長度 ,得到函數(shù) y=2(x1)2的圖象 ,再向上平移 2個 單位長度后 ,所得函數(shù)的表達式為 y=2(x1)2+2,故選 C. 11.(2022山東青島 ,8,3分 )函數(shù) y=? 與 y=kx2+k(k≠ 0)在同一直角坐標系中的圖象可能是 ? ( ) ? kx答案 B 當(dāng) k0時 ,反比例函數(shù) y=? 的圖象在第一、三象限內(nèi) ,二次函數(shù) y=kx2+k的圖象開口 向下 ,與 y軸的交點在 x軸上方 ,選項 B符合 。② a +cb。④ abc (填寫序號 ). ? 答案 ①④ 解析 ①因為拋物線的對稱軸是直線 x=1,所以 ? =1,b=2a,2a+b=0,故①正確 。③ 拋物線與 x軸的兩交點關(guān)于對稱軸對稱 ,所以兩 交點到對稱軸 x=1的距離都是 1(2)=3,所以另一交點的橫坐標為 1+3=4,即另一交點為 (4,0),故 ③不正確 。拋物線的對稱軸在 y軸左側(cè) ,a、 b同號 ,拋物線的 對稱軸在 y軸右側(cè) ,a、 b異號 。 (2)求拋物線的對稱軸 。 (2)若點 P在 x軸下方 ,當(dāng) ∠ AOP=45176。 (3)無論 m取何值 ,該拋物線都經(jīng)過定點 ∠ AHP=45176。,知點 P在第四象限 . 過點 P作 PQ⊥ x軸于點 Q,則 ∠ POQ=∠ OPQ=45176。. ∵∠ DAH=90176。, ∴∠ ADH=45176。, ∴∠ DAE=∠ AHG. ∴ △ ADE≌ △ HAG. ∴ DE=AG=1,AE=HG=4. 可得點 D的坐標為 (3,1)或 (5,1). ① 當(dāng)點 D的坐標為 (3,1)時 , 可得直線 DH的解析式為 y=? x+? . 35 145∵ 點 P? 在直線 y=? x+? 上 , ∴ ? =? ? +? . 解得 m1=4,m2=? . 當(dāng) m=4時 ,點 P與點 H重合 ,不符合題意 , ∴ m=? . ② 當(dāng)點 D的坐標為 (5,1)時 , 可得直線 DH的解析式為 y=? x+? . ∵ 點 P? 在直線 y=? x+? 上 , ∴ ? =? ? +? . 解得 m1=4(舍 ),m2=? . ∴ m=? . 2 8,24m m m?????????35 1452 84mm? 35 2m???????14514514553 2232 8,24m m m?????????53 2232 84mm? 53 2m???????22322