【正文】 點的四邊形為平行四邊形 ,則點 P的坐標(biāo)為 . ? 3x答案 (4,3),(2,3) 解析 解方程組 ? 得 ?? ∴ A(1,3). 如圖 ,當(dāng)點 P在 y軸左側(cè)時 ,以 A,O,B,P為頂點的四邊形有兩種情況 ,其中線段 OP1可視為線段 AB 平移得到 , ∵ 點 A(1,3)平移到點 O(0,0),其“橫坐標(biāo)加 1縱坐標(biāo)加 3” , ∴ 點 B(3,0)的橫坐標(biāo)加 1,縱坐標(biāo)加 3得到點 P1(2,3), 同理可得 ,點 P2(4,3),∴ 符合條件的點 P的坐標(biāo)為 (4,3),(2,3). ? 3 ,2,y xyx? ??????? 11 3,1,xy ??? ?? 221,3,xy ???? ???考點二 反比例函數(shù)與一次函數(shù)的結(jié)合 1.(2022濱州 ,12,3分 )在平面直角坐標(biāo)系內(nèi) ,直線 AB垂直于 x軸于點 C(點 C在原點的右側(cè) ),并分別 與直線 y=x和雙曲線 y=? 相交于點 A、 B,且 AC+BC=4,則△ OAB的面積為 ? ( ) ? +3或 2? 3 B.? +1或 ? 1 ? 3 D.? 1 1x332232答案 A 設(shè)點 C的坐標(biāo)為 (m,0),則 A(m,m),B? ,所以 AC=m,BC=? .根據(jù) AC+BC=4,可列方 程 m+? =4,解得 m=2177。? )=2? 177。MD⊥ y軸于點 D,交 y=? 的圖象于點 點 M在 y=? 的圖象上運動時 ,以下結(jié)論 : ① S△ ODB=S△ OCA。 ③當(dāng)點 A是 MC的中點時 ,則點 B是 MD的中點 . 其中正確結(jié)論的個數(shù)是 ? ( ) ? ax 2xax 2x 2xax答案 D ① S△ ODB=S△ OCA=1,該結(jié)論正確 . ②四邊形 OAMB的面積 =a11=a2,該結(jié)論正確 . ③連接 OM,點 A是 MC的中點 , 則△ OAM和△ OAC的面積相等 , ∵ △ ODM的面積 =△ OCM的面積 =? ,△ ODB與△ OCA的面積相等 , ∴ △ OBM與△ OAM的面積相等 . ∴ △ OBD和△ OBM的面積相等 . ∴ 點 B是 MD的中點 .該結(jié)論正確 . 2a思路分析 ①由反比例函數(shù)比例系數(shù)的幾何意義可得答案 。③連接 OM,由點 A是 MC的中 點可得△ OAM和△ OAC的面積相等 ,根據(jù)△ ODM的面積 =△ OCM的面積、△ ODB與△ OCA的 面積相等即可判斷 . 4.(2022煙臺 ,17,3分 )如圖 ,直線 y=x+2與反比例函數(shù) y=? 的圖象在第一象限交于點 P,若 OP=? , 則 k的值為 . ? kx 10答案 3 解析 設(shè)點 P的坐標(biāo)為 (a,a+2),則 a為方程 ? =x+2的根 . ∴ a2+2a=k. ∵ OP=? ,∴ a2+(a+2)2= a2+2a=3.∴ k=3. kx105.(2022濱州 ,24,13分 )如圖 ,在平面直角坐標(biāo)系中 ,點 O為坐標(biāo)原點 ,菱形 OABC的頂點 A在 x軸的 正半軸上 ,頂點 C的坐標(biāo)為 (1,? ). ? (1)求圖象過點 B的反比例函數(shù)的解析式 。 (3)在第一象限內(nèi) ,當(dāng)以上所求一次函數(shù)的圖象在所求反比例函數(shù)的圖象下方時 ,請直接寫出 自變量 x的取值范圍 . 3解析 (1)如圖 ,過 C作 CH⊥ OA于 H,則 OH=1,CH=? ,由勾股定理可得 OC=2, 又因為四邊形 OABC是菱形 ,所以 B(3,? ),又點 B在反比例函數(shù)的圖象上 ,所以反比例函數(shù)的解 析式為 y=? . ? (2)由 (1)可知 OA=2,故 A(2,0),又 B(3,? ),用待定系數(shù)法求出一次函數(shù)解析式為 y=? x2? . (3)由圖可知 ,2x3. 3333x3 33思路分析 (1)根據(jù)勾股定理結(jié)合菱形的性質(zhì)求出點 B的坐標(biāo) ,再確定反比例函數(shù)的解析式 。 (3)觀察函數(shù)圖象 ,得出第一象限內(nèi) ,一次函數(shù)的圖象在反比例函數(shù)的圖象下方時的自變量 x的 取值范圍 . 6.(2022濰坊 ,19,7分 )如圖 ,直線 y=3x5與反比例函數(shù) y=? 的圖象相交于 A(2,m),B(n,6)兩點 ,連 接 OA,OB. (1)求 k和 n的值 。 (2)如圖 ,過點 B、 C分別作 x軸、 y軸的垂線 ,兩垂線相交于點 D,點 P在 x軸上 ,若三角形 PBD的面 積是 8,請寫出點 P的坐標(biāo) (不需要寫解答過程 ). ? 解析 (1)設(shè)反比例函數(shù)的解析式為 y=? (k≠ 0),將 A(4,3)代入得 k=12,∴ y=? ,∴ y1=? ,y2=? , ∴ y1y2=? ? =4,解得 m=1. 經(jīng)檢驗 ,m=1是原分式方程的解 ,∴ m=1. (2)點 P的坐標(biāo)為 (2m,0)或 (6m,0). 提示 :設(shè) BD與 x軸交于點 E. ∵ 點 B? ,C? , ∴ D? ,∴ BD=? ? =? . ∵ 三角形 PBD的面積是 8, ∴ ? BD? (2)求出點 D的坐標(biāo) ,用含 m的式子表示出 BD的長 ,再用含 m的式子表示出 BD邊上的高 ,即可得點 P的坐標(biāo) . 8.(2022菏澤 ,20,7分 )如圖 ,一次函數(shù) y=kx+b與反比例函數(shù) y=? 的圖象在第一象限交于 A、 B兩 點 ,B點的坐標(biāo)為 (3,2),連接 OA、 OB,過 B作 BD⊥ y軸 ,垂足為 D,交 OA于 C,若 OC=CA. (1)求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的表達(dá)式 。OE=? ? 4=? . 3 ,42??????3 2 ,3 4,2kbkb????? ????4 ,36,kb? ???????4312343494 12 129492一題多解 (2)設(shè)直線 AB與 y軸的交點為 F,則 F(0,6), ∴ S△ AOB=S△ BOFS△ AOF=? 63? 6? =? . ? 121232929.(2022聊城 ,23,8分 )如圖 ,在直角坐標(biāo)系中 ,直線 y=? x與反比例函數(shù) y=? 的圖象交于關(guān)于原點 對稱的 A,B兩點 .已知 A點的縱坐標(biāo)是 3. (1)求反比例函數(shù)的表達(dá)式 。| xA|+? OD用待定系數(shù)法 ,可求得線段 OA的函數(shù) 解析式為 y=2x(0≤ x5),線段 AB的函數(shù)解析式為 y=? x+11(5≤ x15),曲線 BC的函數(shù)解析式為 y =? (x≥ 15),把 y=8代入 y=2x,解得 x=4,154=11,室內(nèi)空氣中的含藥量不低于 8 mg/m3的持續(xù)時 間達(dá)到了 11 min,選項 B正確 。把 y=2代入 y=2x,解得 x=1,把 y=2代入 y=? , 解得 x=60,601=59,需經(jīng)過 59 min后 ,學(xué)生才能進入室內(nèi) ,選項 D正確 ,故選 C. ? 15120220x120x2.(2022臨沂 ,10,3分 )已知甲、乙兩地相距 20千米 ,汽車從甲地勻速行駛到乙地 ,則汽車行駛時 間 t(單位 :小時 )關(guān)于行駛速度 v(單位 :千米 /小時 )的函數(shù)關(guān)系式是 ? ( ) =20v =? =? =? vv10v答案 B 根據(jù)“時間 =路程 247。 (2)若商場計劃每天的銷售利潤為 3 000元 ,則其單價應(yīng)定為多少元 ? 解析 (1)由題表中數(shù)據(jù)可得 xy=6 000, ∴ y是 x的反比例函數(shù) .? (2分 ) ∴ 所求函數(shù)解析式為 y=? .? (5分 ) (2)由題意 ,得 (x120)y=3 000, 將 y=? 代入 ,可得 (x120)(2)“總利潤 = 單件利潤 數(shù)量” 。tan∠ AOB=? a. ∴ 點 C(a,? a).由相似三角形的性質(zhì) ,得 BF=? ,DF=? a. ∵ OB=6,∴ OF=OBBF=6? . ∴ 點 D? . ∵ 點 C,D在同一雙曲線上 ,∴ a? a. 解得 a=? ,∴ k=aAD=? . ? 1x 1212,2??????1x ,22??????12, 2??1 ,2222112222? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ?322 ? ?522152解題思路 本題主要結(jié)合雙曲線和矩形的對稱性求出 B,C,D的坐標(biāo) ,再用兩點之間的距離公式 求出矩形的長和寬 ,即可求矩形的面積 . 7.(2022河南 ,18,9分 )如圖 ,反比例函數(shù) y=? (x0)的圖象過格點 (網(wǎng)格線的交點 )P. (1)求反比例函數(shù)的解析式 。 ②矩形的面積等于 k的值 . ? kx解析 (1)∵ 點 P(2,2)在反比例函數(shù) y=? (x0)的圖象上 , ∴ ? =2,即 k=4. ∴ 反比例函數(shù)的解析式為 y=? . (2)(答案不唯一 ,正確畫出兩個矩形即可 ) 舉例 :如圖 ,矩形 OAPB,矩形 OPCD. ? kxk 4x8.(2022湖北武漢 ,22,10分 )已知點 A(a,m)在雙曲線 y=? 上且 m0,過點 A作 x軸的垂線 ,垂足為 B. (1)如圖 1,當(dāng) a=2時 ,P(t,0)是 x軸上的動點 ,將點 B繞點 P順時針旋轉(zhuǎn) 90176。 ②若雙曲線 y=? 經(jīng)過點 C,求 t的值 。②由題意可知點 C的坐標(biāo)為 (t,t+2), 把點 C的坐標(biāo)代入 y=? 即可得解 . (2)由題意可得 a=? 和 d=? .由 OA=OD可得 ? +m2=? +n2,最后可知 mn=8或 m+n=0. 8x8m8n28??????28n?9.(2022內(nèi)蒙古呼和浩特 ,23,7分 )已知反比例函數(shù) y=? (k為常數(shù) ). (1)若點 P1? 和點 P2? 是該反比例函數(shù)圖象上的兩點 ,試?yán)梅幢壤瘮?shù)的性質(zhì) 比較 y1和 y2的大小 。1. ①當(dāng) k=1時 ,不等式 kx+? 0的解集為 x? 或 0x? 。k2≠ 0)的圖象如圖所示 ,若 y1 y2,則 x的取值范圍是 ? ( ) ? x0或 x1 x1 2或 x1 2或 0x1 2kx答案 D 觀察題中的函數(shù)圖象可知 ,當(dāng) x2或 0x1時 ,直線 y1=k1x+b在雙曲線 y2=? 的上方 ,即 若 y1y2,則 x的取值范圍是 x2或 0x1. 2kx2.(2022甘肅蘭州 ,11,4分 )如圖 ,反比例函數(shù) y=? (x0)與一次函數(shù) y=x+4的圖象交于 A,B兩點 ,A,B 兩點的橫坐標(biāo)分別為 3,1,則關(guān)于 x的不等式 ? x+4(x0)的解集為 ? ( ) ? 3 x1 x0 3或 1x0 kxk答案 B 由題意知 A,B兩點既在一次函數(shù) y=x+4的圖象上 ,又在反比例函數(shù) y=? (x0)的圖象 上 ,當(dāng) x3時 ,反比例函數(shù) y=? (x0)的圖象在一次函數(shù) y=x+4圖象的上方 。當(dāng) 1x0時 ,反比例函數(shù) y=? (x0)的圖象在 一次函數(shù) y=x+4圖象的上方 ,故選 B. kxkxkx kx思路分析 分析圖象解題 ,根據(jù)“函數(shù)值大的圖象在上方”寫出 x的取值范圍 . 3.(2022安徽 ,13,5分 )如圖 ,正比例函數(shù) y=kx與反比例函數(shù) y=? 的圖象有一個交點 A(2,m),AB⊥ x 軸于點 y=kx,使其經(jīng)過點 B,得到直線 l,則直線 l對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式是 . ? 6x答案 y=? x3 32解析 將點 A的坐標(biāo)代入 y=? ,可得 m=3,將 A(2,3)代入 y=kx,可得 k=? ,因為 AB⊥ x軸 ,所以點 B(2, 0),由平移可得直線 l對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為 y=? (x2)=? x3. 6x 323 32思路分析 先把點 A的坐標(biāo)代入 y=? 得 m的值 ,然后求 k的值 ,由 AB⊥ x軸得點 B的坐標(biāo) ,從而由平 移及直線 l過點 B得直線 l對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式 . 6x4.(2022四川成都 ,19,10分 )如圖 ,在平面直角坐標(biāo)系 xOy中 ,一次函數(shù) y=x+b的圖象經(jīng)過點 A(2,0), 與反比例函數(shù) y=? (x0)的圖象交于 B(a,4). (1)求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的表達(dá)式 。 (2)P是第一象限內(nèi)反比例函數(shù)圖象上一點 ,過點 P作 y軸的平行線 ,交直線 AB于點 C,連接 PO,若 △ POC的面積為 3,求點 P的坐標(biāo) . ? 12kx解析 (1)∵ A(a,2)在 y=? x的圖象上 , ∴ ? a=2?a=4,∴ A(4,2), ∵ A(4,2)在 y=? 的圖象上 ,∴ k=4(2)=8, ∴ 反比例函數(shù)的表達(dá)式為 y=? , 聯(lián)立 ? ?x2=16?x=177。? =3,∴ m2=28或 4,∴ m=2? 或 2, ∴ P? 或 P(2,4). 8 2mm ?128 2?7472 7 , 7????