【正文】 ○ 2 體積 V是長(zhǎng)數(shù) ，半徑 r為變量 ，表面積 S是 r的函數(shù)。 Global optimal solution found. Objective value: Extended solver steps: 2 Total solver iterations: 8 Variable Value Reduced Cost Z Y1 X1 X2 X3 Y2 Y3 A1 A2 A3 Row Slack or Surplus Dual Price 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 模型 Ⅱ : 體積一定的條件下，想進(jìn)一步節(jié)省材料和提高利潤(rùn)，必須使得它的 表面積最小。（ ）～（ ）再加上 20202021 ??? xxx () 由于每種不同的加工模式需要付出 100 元生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)，于是我們分以下幾種情況對(duì)問(wèn)題進(jìn)行論： 1 01?x , 02?x , 03?x ； 11?a ， 12?a ， 13?a 2 01?x , 02?x , 03?x ； 01?a ， 12?a ， 13?a 3 01?x ， 02?x ， 03?x ； 11?a ， 02?a ， 13?a 4 01?x , 02?x , 03?x ； 11?a ， 12?a ， 03?a 5 01?x ， 02?x ， 03?x ； 11?a ， 02?a ， 03?a 6 01?x ， 02?x ， 03?x ； 01?a ， 12?a ， 03?a 求解 :1）分別在上述六個(gè)條件下對(duì)模型（ ）～ （ ） ,()直接輸入 lingo求解對(duì)比得，公司要盈利至少要達(dá)到的規(guī)模為：只用模式 2使用 158次，模式 2和模式 3不使用。 Global optimal solution found. Objective value: Extended solver steps: 0 Total solver iterations: 0 Variable Value Reduced Cost Y1 X1 X2 X3 Row Slack or Surplus Dual Price 1 2 3 4 問(wèn)題（ 2） 考慮余料損失則總的余料損失包括兩部分：幾種下料模式下的余料和不配套的罐身和 底，蓋造成的原料損失。已知罐身高為 13cm,可得其面積為 2cm 。 （ 2）只考慮材料的節(jié)省，不考慮實(shí)際生活 中可能遇到的其他因素。所謂節(jié)省材料提高利潤(rùn)就是在易拉罐容積一定的約束下，使得所用材料最省。其次，應(yīng)當(dāng)確定哪些下料模式是合理的，通常假設(shè)一個(gè)合理的下料模式的余料不能再做出我們所需要的罐身和底，蓋。產(chǎn)量至少達(dá)到怎樣的規(guī)模公司才可以盈利？怎樣安排生產(chǎn)，可以使總利潤(rùn)達(dá)到最大？ （ 3）如果允許改變易拉罐的形狀，怎樣可以進(jìn)一步節(jié)省材料和提高利潤(rùn)？對(duì)于變形后的易拉罐回答 （ 1）（ 2）中的問(wèn)題。每張鍍錫板加工費(fèi) ，而加工余料可以 1元 /平方米的價(jià)格出售。加工原料為 50cm 60cm的鍍錫板。 關(guān)鍵詞： 最大生產(chǎn)量 盈利 形狀與尺寸 一、 問(wèn)題重述 易拉罐生產(chǎn)企業(yè)采用一套柔性制造系統(tǒng)生產(chǎn)一種容量為 255 毫升的易拉罐，這種易拉罐是用鍍錫板沖壓制成的。對(duì)于問(wèn)題（ 3）我們 用求極值的方法確定易拉罐高 h與底面半徑 r之間關(guān)系，進(jìn)而根據(jù)體積求出 h和 r的值，再用類似于上述的方法求解。 在建立模型時(shí)，考慮到實(shí)際題目的要求，我們對(duì)易拉罐的生產(chǎn)模式進(jìn)行了合理的設(shè)計(jì)并約定特定的公式符號(hào)以及對(duì)問(wèn)題進(jìn)行進(jìn)一步分析 。其中， 線性規(guī)劃方法是數(shù)學(xué)建模方 法中的一種，它是在第二次世界大戰(zhàn)中發(fā)展起來(lái)的一種重要的數(shù)量方法，是 運(yùn)籌學(xué) 的一個(gè)最重要的分支，理論上最完善，實(shí)際應(yīng)用得最廣泛。論文名稱 易 拉 罐 下 料 問(wèn) 題 題號(hào) 易拉罐下料問(wèn)題 成員 成員 1 成員 2 成員 3 姓名 劉蒙蒙 黃玲玲 常志恩 學(xué)號(hào) 091030118 091030119 091030120 指導(dǎo)老師 梁聰剛 2020 年 12月 15 日 平頂山學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè) 數(shù)學(xué)建模 論文 易拉罐下料 問(wèn)題 摘 要 數(shù)學(xué)建模是一種數(shù)學(xué)的思考方法，是運(yùn)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言和方法，通過(guò)抽象、簡(jiǎn)化建立能近似刻畫(huà)并“解決”實(shí)際問(wèn)題的一種強(qiáng)有力的數(shù)學(xué)手段。 數(shù)學(xué)建模就是用數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述實(shí)際現(xiàn)象的過(guò)程。主要用于研究有限資源的最佳分配問(wèn)題，即如何對(duì)有限的資源作出最佳方式地調(diào)配和最有利地使用，以便最充分地發(fā)揮資源的效能去獲取最佳的經(jīng)濟(jì)效益。對(duì)幾種易拉罐的生產(chǎn)模式進(jìn)行定量描述，采用線性規(guī)劃方法建立線性規(guī)劃模型，并通過(guò) LINGO 軟件對(duì)模型進(jìn)行求解，以確定最佳的生產(chǎn)方式。 最后，本文對(duì)模型進(jìn)行評(píng)價(jià)，指出了模型的科學(xué)性跟合理性。易拉罐為圓柱， 罐高 13cm，上蓋和下底直徑為5cm。 （ 1） 200張鍍錫板最多可以生產(chǎn)多少只易拉罐？怎樣安排生產(chǎn)？ （ 2）現(xiàn)在可以每一張 1元的市場(chǎng)價(jià)購(gòu)買(mǎi)最多 2萬(wàn)張鍍錫板，每種不同的加工模式需要付出 100元生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)。每只易拉罐加工費(fèi) 元，收益為 元。 二、問(wèn)題分析 首先，需設(shè)計(jì)可行的下料模式，所謂下料模式是指按照需要在原料上安排下料的一種組合。 通過(guò)建模研究易拉罐形狀和尺寸的最優(yōu)設(shè)計(jì)問(wèn)題，實(shí)際問(wèn)題中，易拉罐的形狀是相對(duì)固定的，要研究的是最優(yōu)尺寸。 三、模型假設(shè) （ 1）生產(chǎn)模式設(shè)計(jì)時(shí)只考慮簡(jiǎn)便合理，不考慮是否最充分利用問(wèn)題。 四、符號(hào)定義 ix :第 i種模式用的鍍錫板張數(shù) 1y ：易拉罐個(gè)數(shù) 2y ：不配套的罐身個(gè)數(shù) 3y ：不配套的底，蓋個(gè)數(shù) h ：罐身的高 r ：底面圓半徑 v : 易拉罐的體積 s ：易拉罐的表面積 z ：總利潤(rùn) ia ： 0— 1變量， 0?ix 時(shí) 0?ia ； 0?ix 時(shí) 1?ia 五、 模型的建立與求解 模型 Ⅰ : 已知底，蓋的直徑為 5cm，可得其面積為 2cm ，周長(zhǎng)為 。通過(guò)計(jì)算設(shè)計(jì)出如下三種下料模式： 表 1 三種下料模式的特征 罐身個(gè)數(shù) 底蓋個(gè)數(shù) 余料損失 /cm2 模式 1 12 10 模式 2 9 40 模式 3 0 120 785 問(wèn)題（ 1） 決策目標(biāo)：最多可生產(chǎn)的易拉罐個(gè)數(shù) 1max yy? （ ） 約束條件： 202021 ???? xxx （ ） )}1204010(21,912m i n{ 321211 xxxxxy ????可以等價(jià)以下兩個(gè)線性不等式 211 912 xxy ??? （ ） 3211 60205 xxxy ???? （ ） 求解 :模型（ ）～（ ）直接輸入 lingo求解得到：模式 1使用 122次，模式 2使用 78次，模式 3不使用，可生產(chǎn)易拉罐 2166個(gè)。因此總的余料損失為 32321 yyxxxm ????? 其中 1212 912 yxxy ??? () 13213 21 2 04010 yxxxy ???? () 則利潤(rùn) )(100)( 3213211 aaaxxxmyz ???????? 決策目標(biāo)： 1）在 0z? 條件下， xmin () 用的鍍錫板總張數(shù) 321 xxxx ??? 2) zmax () 約束條件 。 Global optimal solution found. Objective value: Extended solver steps: 0 Total solver iterations: 3 Variable Value Reduced Cost X X1 X2