【正文】 弦為 數(shù)值孔徑(Numerical Aperture, NA)。 () n0=1，由式（ ）經(jīng)簡單計算得到 式中 Δ=(n1n2)/n1為 纖芯 與 包層 相對折射率差 。 ? 對于無損耗光纖，在 θc內(nèi)的入射光都能在光纖中傳輸。 但 NA越大，經(jīng)光纖傳輸后產(chǎn)生的信號畸變越大，因而 限制了信息傳輸容量 。 21 時間延遲 根據(jù)圖 ， 入射角為 θ的光線在長度為 L(ox)的光纖中傳輸 ， 所經(jīng)歷的路程為 l(oy)， 在 θ不大的條件下 ， 其傳播時間即 時間延遲 為 式中 c為真空中的光速 。 ? 由此可見， 突變型多模光纖 的信號畸變是由于不同入射角的光線經(jīng)光纖傳輸后，其 時間延遲 不同而產(chǎn)生的。 漸變型 ])(1[])(21[ 1211 gg arnarn ?????n1［ 1Δ］ =n2 r≥a 0≤r≤a n(r)= () 24 ? g→∞ ， (r/a)→0 的極限條件下，式 ()表示 突變型多模光纖 的折射率分布 ? g=2， n(r)按平方律 (拋物線 )變化，表示常規(guī) 漸變型多模光纖 的折射率分布。 選用圓柱坐標(biāo) (r, φ， z)， 把 漸變型多模光纖 的子午面 (r z)示于圖 。 由于折射率分布具有 圓對稱性 和 沿軸線的均勻性 ，n與 φ和 z無關(guān) 。 ? 由光線方程可以直接求出光線軌跡表達式 。對于漸變波導(dǎo) ,n是 r的函數(shù) ,則 dr/dS為一變量 , 這表明光線將發(fā)生彎曲。 )()( rndzrdndzd ?? ??)()( rndSrdndSd ?? ??29 圖 漸變型多模光纖的光線傳播原理 ?o?id zrirmp纖芯 n (r)r? ?*zr0d r30 解這個二階微分方程 ， 得到 光線的軌跡 為 r(z)=C1sin(Az)+C2 cos(Az) () 式中 ， A= ， C1和 C2是待定常數(shù) ， 由邊界條件確定 。 由方程 ()及其微分得到 a/2?C2= r (z=0)=ri C1= )0(1 ?zdzdrA () 31 由出射光線得到 dr/dz=tanθ≈θ≈θ*/n(r)， 由這個近似關(guān)系和對式 ()微分得到 θ*=An(r)risin(Az)+θ0 cos(Az) () 取 n(r)≈n(0)， 由式 ()得到 光線軌跡 的普遍公式為 )(01 rAnC?? irC ?2把 C1和 C2代入式 ()得到 r(z)=ricos(Az)+ )s in ()(0 AzrAn?() 32 r θ* = cos(Az) An(0) sin(Az) cos(Az) )si n ()0(1 AZAn r1 0? 這個公式是 自聚焦透鏡 的理論依據(jù) 。 ? 當(dāng)光纖中的射線傳輸相同的軸線長度時，則靠近軸線處的射線需要的時間長，但路程短；而遠離軸線處的射線需要的時間短，但路程長。這種可使光纖中產(chǎn)生自聚焦時的折射率分布，稱為最佳折射指數(shù)分布。 ? 而由于平方律型折射指數(shù)分布光纖的折射率分布接近于雙曲正割型光纖的折射率分布，因此可認為平方律型折射指數(shù)分布光纖具有較小的模式色散的特點。 麥克斯韋方程與亥姆霍茲方程 00//?????????????BDtBEtDH??????????邊界條件： 在兩種介質(zhì)交界面上電磁場矢量的 E(x,y)和 H(x,y)切向分量要連續(xù)： E1t＝ E2t。 B1n＝ B2n。 ? 電場和磁場之間就這樣互相激發(fā)，互相支持。 41 分離變量： 電矢量與磁矢量分離 ? 得到只與電場強度 E(x,y,z,t)有關(guān)的方程式及只與磁場強度 H(x,y,z,t)有關(guān)的方程式： 波動方程 22//2222tHHtEE????????????e?e?42 分離變量 : 時空坐標(biāo)分離 令場分量為： 得到關(guān)于 E(x,y,z)和 H(x,y,z)的方程式，即 亥姆霍茲方程 ： 前提：光纖傳播單色光波，時間函數(shù)為簡諧函數(shù) 43 亥姆霍茲方程 ? 亥姆霍茲方程式，光在光波導(dǎo)（如光導(dǎo)纖維）中傳播就應(yīng)滿足這個方程。它是一個典型的本征方程 ,其本征值為 ?或 β。通常將本征解定義為“模式” . 46 模式及其基本性質(zhì) 每一個模式對應(yīng)于沿光波導(dǎo)軸向傳播的一種電磁波 。 模式具有確定的相速群速和橫場分布 . 模式是波導(dǎo)結(jié)構(gòu)的固有電磁共振屬性的表征。 47 ? 橫模 ? 光波在傳輸過程中，在光束橫截面上將形成具有各種不同形式的穩(wěn)定分布，這種具有穩(wěn)定光強分布的電磁波，稱為橫模。 50 模式的場分量 ? 模式場分布由六個場分量唯一決定： Ex Ey Ez Hx Hy Hz Er E? Ez Hr H? Hz ? Ez 和 Hz 總是獨立滿足波導(dǎo)場方程 ? 場的橫向分量可由縱向分量來表示 0z2z2t ????????????????zz HEHE51 模式命名 ? 根據(jù)場的縱向分量 Ez和 Hz的存在與否 ,可將模式命名為 : (1)橫電磁模 (TEM): Ez＝ Hz＝ 0。 (3)橫磁模 (TM): Ez≠0,Hz＝ 0。 ? 光纖中存在的模式多數(shù)為 HE(EH)模 ,有時也出現(xiàn) TE(TM)模。光纖的結(jié)構(gòu)參數(shù)可由其歸一化頻率 V表征 : V值越大 , 允許存在的導(dǎo)模數(shù)就越多。使某一導(dǎo)模截止 的 Vc值稱為導(dǎo)模的 截止條件 。同樣 ,每一個 導(dǎo)模都對應(yīng)于一合適的 V值使其遠離截止 ,稱之為導(dǎo)模的“遠 離截止條件 。 ? 矢量解法是一種嚴格的傳統(tǒng)解法，求滿足邊界條件的波動方程的解。 57 階躍型光纖的標(biāo)量近似解法 1．標(biāo)量近似解法 2．標(biāo)量解的場方程的推導(dǎo)思路 3．標(biāo)量解的特征方程 4．階躍型光纖標(biāo)量模特性的分析 5．階躍光纖中的功率分布 6．階躍光纖中導(dǎo)模數(shù)量的估算 58 1．標(biāo)量近似解法 ? 由于 E（或 H）近似在橫截面上，而且空間指向基本不變，這樣就可把一個大小和方向都沿傳輸方向變化的空間矢量 E變?yōu)檠貍鬏敺较蚱浞较虿蛔儯▋H大小變化）的標(biāo)量 E。 ? 這種方法稱為標(biāo)量近似解法。 在芯區(qū)為振蕩形式 ,而在包層則為衰減形式 。 – 貝塞爾函數(shù)形式 : Jl呈振蕩形式 , Kl則為衰減形式。其中 U與 W通過其定義式與 β相聯(lián)系 ,因此它實際是關(guān)于 β的一個超越方程。由于貝塞爾函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)具有周期振蕩性質(zhì) , 所以本征值方程可以有多個不同的解βlm(l=0,1,2,3... m=1,2,3...),每一個 βlm都對應(yīng)于一個導(dǎo)模。2239。39。 ? 兩種情形可很容易地確定本征值 : – 導(dǎo)模處于 臨近截止 – 導(dǎo)模處于 遠離截止 70 4．階躍型光纖標(biāo)量模特性的分析 （ 1）標(biāo)量模的定義 ? “極化”就是指隨著時間的變化，電場或磁場的空間方位是如何變化的。 ? 如果波的電場矢量空間取向不變，即其端點的軌跡為一直線時，就把這種極化稱為直線極化，簡稱為線極化。 ? LP模（ Linearly Polarized mode），即線性偏振模的意思。 71 4．階躍型光纖標(biāo)量模特性的分析 （ 2）截止時標(biāo)量模的特性 ① 截止的概念 ? 當(dāng)光纖中出現(xiàn)了輻射模時，即認為導(dǎo)波截止 ? 導(dǎo)波截止的臨界狀態(tài) ② 截止時的特征方程 0)(1 ?? UJ m72 4．階躍型光纖標(biāo)量模特性的分析 （ 2）截止時標(biāo)量模的特性 ③ 截止情況下 LPmn模的歸一化截止頻率 Vc ? 表 21 截止情況下 LPmn模的 Uc值 n m 0 1 2 1 0 2 3 73 4．階躍型光纖標(biāo)量模特性的分析 （ 2）截止時標(biāo)量模的特性 ③ 截止情況下 LPmn模的歸一化截止頻率 Vc ? 階躍型光纖的單模傳輸條件 0V 74 4．階躍型光纖標(biāo)量模特性的分析 （ 3）遠離截止時標(biāo)量模的特性 ① 遠離截止 ? 當(dāng) V→∞ 時，即為遠離截止。 ? 因此，要傳輸?shù)膶?dǎo)波能量大部分是在纖芯中傳輸，而有一部分則在包層中傳輸。 77 5．階躍光纖中的功率分布 ? 當(dāng) V→∞ 時，它的能量將聚集在纖芯中； ? 當(dāng) V→ Vc時，能量的大部分是在包層里，這時的導(dǎo)波將成為輻射模。 ? 傳輸模數(shù)量的多少，用 M表示。這時 ,纖芯中的場分布為 : (Ey)ιm＝ A[Jι(Uιmr/a)/Jι(Ulm)] ? 如果 E出現(xiàn)零值，則對應(yīng)于光場分布的暗線（環(huán)） 80 LP01模場分布圖 ? 場解 : (Ey)01＝ A[J0(U01r/a)/J0(U01)] 0＜ U01＜ 。 由于 ι＝ 0,導(dǎo)模場沿角向也無零點。 2 . 4 0 5 3 . 8 3 2 5 . 1 3 6 5 . 5 2 6 . 3 8 7 . 0 1 6 7 . 5 8 8 8 . 4 1 78 . 6 5 48 . 7 1 19 . 7 6 1J0J1J2J3J4LP01LP02LP03LP11 LP 12 LP 13LP21LP3181 LP02模場分布圖 ? 場解 : (Ey)02＝ A[J0(U02r/a)/J0(U02)] ＜ U02＜ 。故導(dǎo)模場沿徑向有一個零點 (振幅變號 )。光強分布為一亮園環(huán)和纖芯中心的亮斑。cosφ ＜ U11＜ 。沿角向場分布為 cosφ,當(dāng) φ＝ π/2和 3π/2時出現(xiàn)零點 ,故場沿角向有一條零線。 2 . 4 0 5 3 . 8 3 2 5 . 1 3 6 5 . 5 2 6 . 3 8 7 . 0 1 6 7 . 5 8 8 8 . 4 1 78 . 6 5 48 . 7 1 19 . 7 6 1J0J1J2J3J4LP01LP02LP03LP11 LP 12 LP 13LP21LP3183 LP21模場分布圖 ? 場解 : (Ey)21＝ A[J2(U21r/a)/J2(U21)]0＜ U21r/a＜ ? J2(U21r／ a)與 J2(U21)均大于零 ,即場沿徑向無零點 ,沿角向場分布為 cos2φ,當(dāng) φ＝ p/4, 3p/4, 5p/4 以及 7p/4 時出現(xiàn)零點 , 即場沿角向有兩條暗線 ,將光場分為四個亮斑。 當(dāng) V值減小時 ， 不斷發(fā)生 模式截止 ， 模式數(shù)目 逐漸減少 。 HE11稱為 基模 ， 由兩個偏振態(tài)簡并而成 。 由此得到 2221 ??? nnaV ? p90 單模傳輸?shù)臈l件 ? 階躍單模光纖的單模傳輸條件 0V 91 2．單模光纖的場方程和特征方程 ? 對單模光纖的討論，是在多模光纖標(biāo)量近似解的基礎(chǔ)上進行的。 ? 衰減量的大