【正文】 就是，整個(gè)物體由同一材料組成，各部分具有相同的彈性。由于鋼材作成的構(gòu)件，雖然包含有各向異性的晶體，但晶體很微小，且隨機(jī)排列，所以起彈性大致是相同的。 彈性力學(xué)中的基本假定 南京航空航天大學(xué) 能源與動(dòng)力學(xué)院機(jī)械振動(dòng)沖擊仿真研究室 (PC:210016) Tel:(025)48922022504 Fax:(025)4895966 彈性力學(xué)中的基本假定 （ 5）假定位移和形變是微小的 即假定物體受力后，整個(gè)物體所有各點(diǎn)的位移都遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于物體原來的尺寸，而且應(yīng)變和轉(zhuǎn)角都遠(yuǎn)小于 1。 體力：是分布在物體體積內(nèi)的力。如流體壓力和接觸力 F 在 x， y， z軸上的投影 X， Y， Z稱為該物體在 P點(diǎn)的體力分量，以沿坐標(biāo)軸正向?yàn)檎?，沿坐?biāo)軸負(fù)向?yàn)樨?fù)。 （ 2）應(yīng)力：研究物體在某一點(diǎn) P的內(nèi)力。對(duì)于應(yīng)力，處了推導(dǎo)公式外，通常不用它在坐標(biāo)軸方向的分量 ,，因?yàn)檫@些分量與物體的形變或材料強(qiáng)度都沒有直接的關(guān)系。因次 （ N/m**2 ） 顯然可見，在物體內(nèi)的一點(diǎn) P，不同街面上的應(yīng)力是不同的，為了分析這一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)，即各街面上的應(yīng)力的大小和方向。例如，以 ab為矩軸，可得： 同理： ?zx= ?xz ?xy = ?yx 可以證明：在物體的任意一點(diǎn)，如果已知 ?x 、 ?y 、 ?z、 ?yz、 ?zx 、 ?xy就可求得經(jīng)過該點(diǎn)的任意截面上的正應(yīng)力和剪應(yīng)力。 （ 3）形變：就是形狀的改變，可以歸結(jié)為長度和角度的改變。物體變形后，三個(gè)線段的長度及它們之間的角度都將改變。 正應(yīng)變以伸長時(shí)為正，縮短是為正。 可以證明，物體任意一點(diǎn)，如果已知了六個(gè)應(yīng)變分量 ?x , ?y , ?z , ?yz, ?zx , ?xy 就可以求得經(jīng)過該點(diǎn)的任意線段的正應(yīng)變，也可以求得經(jīng)過該點(diǎn)的任意兩個(gè)線段之間角度的改變。 彈性力學(xué)中的基本概念 南京航空航天大學(xué) 能源與動(dòng)力學(xué)院機(jī)械振動(dòng)沖擊仿真研究室 (PC:210016) Tel:(025)48922022504 Fax:(025)4895966 （ 4）位移：就是位置的移動(dòng)，物體內(nèi)任意一點(diǎn)的位移，用它在 x，y， z三軸上的投影 u， v， w來表示，它們沿坐標(biāo)軸的正向?yàn)檎?fù)向?yàn)樨?fù)。 一般而言，彈性體內(nèi)任意一點(diǎn)的體力分量，面力分量，應(yīng)力分量，形變分量和位移分量，都是隨著該點(diǎn)的位置而變的，因而都是位置坐標(biāo)的函數(shù)。 彈性力學(xué)中的基本概念 南京航空航天大學(xué) 能源與動(dòng)力學(xué)院機(jī)械振動(dòng)沖擊仿真研究室 (PC:210016) Tel:(025)48922022504 Fax:(025)4895966 彈性力學(xué)中的基本概念 為了由彈性力學(xué)中的已知量求出未知量，必須建立這些已知量與未知量之間的關(guān)系，以及個(gè)未知量之間的關(guān)系，從而倒出一套求解的方程。但如果所考察的彈性體具有某種特殊的形狀，并承受特殊的外力，就可以向空間問題簡化成近似的平面問題，這樣處理分析和計(jì)算工作量將大為減少，而所的成果卻仍然可以滿足工程上的精確度的要求。如，平板壩的平板支墩 平面應(yīng)力問題與平面應(yīng)變問題 南京航空航天大學(xué) 能源與動(dòng)力學(xué)院機(jī)械振動(dòng)沖擊仿真研究室 (PC:210016) Tel:(025)48922022504 Fax:(025)4895966 平面應(yīng)力問題與平面應(yīng)變問題 設(shè)板的厚度為 t，以薄板的中面為 xy面，因?yàn)榘迕嫔?(z=?t/2)不受力，所以有 (?z)z=?t/2=0 , (?zx)z=?t/2=0 , (?zy)z=?t/2=0 ? ?y=0, ?zx=0, ?zy =0 六個(gè)獨(dú)立 ? ?x ， ?y ， ?xy = ?yx 3個(gè)且只是 x， y的函數(shù)，不隨 z而變化 南京航空航天大學(xué) 能源與動(dòng)力學(xué)院機(jī)械振動(dòng)沖擊仿真研究室 (PC:210016) Tel:(025)48922022504 Fax:(025)4895966 （ 2）平面應(yīng)變問題 與上相反，設(shè)有很長的柱形體，受有平行于橫截面而且不沿長度變化的面力。 00 ?? zyzx ??平面應(yīng)力問題與平面應(yīng)變問題 南京航空航天大學(xué) 能源與動(dòng)力學(xué)院機(jī)械振動(dòng)沖擊仿真研究室 (PC:210016) Tel:(025)48922022504 Fax:(025)4895966 由對(duì)稱性 ?zx=0 , ?zy =0 剪應(yīng)力互等 ?xz=0 , ?yz =0 但由于 z 方向伸縮被阻止， ?z 一般不等于零。 南京航空航天大學(xué) 能源與動(dòng)力學(xué)院機(jī)械振動(dòng)沖擊仿真研究室 (PC:210016) Tel:(025)48922022504 Fax:(025)4895966 平面問題中的點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài) 取平面ＡＢ，當(dāng) ?ＡＢ ??平面 ＡＢ 上的應(yīng)力就成為Ｐ點(diǎn)斜面的 應(yīng)力Ｎ代表斜面ＡＢ的外法線方向，其方向余弦為： cos(N,x)= l , cos(N,y)= m (1)設(shè)斜面長度為 ds， lds， mds 189。 設(shè)經(jīng)過 P 點(diǎn)的某一斜面上的剪應(yīng)力等于零，則該斜面上的正應(yīng)力稱為 P 點(diǎn)上的一個(gè)主應(yīng)力，而該斜面稱為 P 點(diǎn)的一應(yīng)力主面，該斜面的法線方向（即主應(yīng)力的方向）稱為 P 點(diǎn)的一個(gè)應(yīng)力主向。 最大最小的剪應(yīng)力 發(fā)生在 x軸與 y軸成 45度的斜面上。 PA=dx PB=dy P, A, B?Ｐ’ , A ’, B ’ 南京航空航天大學(xué) 能源與動(dòng)力學(xué)院機(jī)械振動(dòng)沖擊仿真研究室 (PC:210016) Tel:(025)48922022504 Fax:(025)4895966 幾何方程與剛體位移 PA的正應(yīng)變 不考慮 y向位移 v引起的 PA 伸縮。其原因是存在與形變無關(guān)的位移，因此必然是剛體位移。在平面問題中，存在兩個(gè)剛體位移，一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)位移。 幾何方程與剛體位移 南京航空航天大學(xué) 能源與動(dòng)力學(xué)院機(jī)械振動(dòng)沖擊仿真研究室 (PC:210016) Tel:(025)48922022504 Fax:(025)4895966 物理方程 物理學(xué)方面，介紹形變分量與應(yīng)力分量之間的關(guān)系式，即物理方程。 2 個(gè)平衡微分方程 3 個(gè)幾何方程 3 個(gè)物理方程 集中包含 8 個(gè)未知數(shù)： 應(yīng)力： 3 個(gè) 形變： 3 個(gè) 位移： 2 個(gè) 因此在適當(dāng)?shù)倪吔鐥l件下，從基本方程中求解未知函數(shù)是可能的。 （ 2）在實(shí)際問題中，在物體的一小部分邊界上，僅知道面力的合力，而面力分部方式不明確，無從考慮邊界條件。 南京航空航天大學(xué) 能源與動(dòng)力學(xué)院機(jī)械振動(dòng)沖擊仿真研究室 (PC:210016) Tel:(025)48922022504 Fax:(025)4895966 邊界條件與圣維南原理 南京航空航天大學(xué) 能源與動(dòng)力學(xué)院機(jī)械振動(dòng)沖擊仿真研究室 (PC:210016) Tel:(025)48922022504 Fax:(025)4895966 圣維南原理也可陳述成：如果物體一小部分邊界上的面力是一個(gè)平衡力系（主矢及主矩都等于零），那麼，這個(gè)面力就只會(huì)使得近處產(chǎn)生顯著的應(yīng)力，而遠(yuǎn)處的應(yīng)力可以不計(jì)。 ３ .平面問題的有限元分析是今后進(jìn)一步分析軸對(duì)稱問題，三維問題 及板殼問題的基礎(chǔ)。 南京航空航天大學(xué) 能源與動(dòng)力學(xué)院機(jī)械振動(dòng)沖擊仿真研究室 (PC:210016) Tel:(025)48922022504 Fax:(025)4895966 引 言 二 選用的單元類型及特點(diǎn) 進(jìn)行平面問題研究時(shí)，選用三角形單元較簡單。 由于在平面問題分析中，結(jié)構(gòu)發(fā)生的是平面變形，三角形的三 個(gè)節(jié)點(diǎn)可以看作是平面鉸，每個(gè)節(jié)點(diǎn)具有兩個(gè)自由度，這樣共有３ 個(gè)節(jié)點(diǎn)６個(gè)自由度，如果節(jié)點(diǎn)位移或其中某一個(gè)分量為零時(shí)，可在 該節(jié)點(diǎn)處設(shè)置一個(gè)平面鉸支座或連桿支座，以限制其位移。 南京航空航天大學(xué) 能源與動(dòng)力學(xué)院機(jī)械振動(dòng)沖擊仿真研究室 (PC:210016) Tel:(025)48922022504 Fax:(025)4895966 引 言 三 三角形單元的網(wǎng)格剖分原則 １ .各節(jié)點(diǎn)必須相連。 南京航空航天大學(xué) 能源與動(dòng)力學(xué)院機(jī)械振動(dòng)沖擊仿真研究室 (PC:210016) Tel:(025)48922022504 Fax:(025)4895966 引 言 ２ .三角形單元不能奇異，也就是三角形單元中的三個(gè)邊長不能相差 太大，或者有過大的鈍角或過小的銳角，如圖示 南京航空航天大學(xué) 能源與動(dòng)力學(xué)院機(jī)械振動(dòng)沖擊仿真研究室 (PC:210016) Tel:(025)48922022504 Fax:(025)4895966 引 言 ３ .單元的大小，數(shù)目取決于計(jì)算精度的要求和計(jì)算容量的限制 分網(wǎng)時(shí)首先要滿足計(jì)算精度的要求，同時(shí)可利用結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性， 循環(huán)對(duì)稱性的特點(diǎn)，從厚結(jié)構(gòu)中取出一部分進(jìn)行分析，或者對(duì)有應(yīng) 力集中的構(gòu)件，采用疏密不同的網(wǎng)格剖分。 南京航空航天大學(xué) 能源與動(dòng)力學(xué)院機(jī)械振動(dòng)沖擊仿真研究室 (PC:210016) Tel:(025)48922022504 Fax:(025)4895966 引 言 ４ .同一單元內(nèi)的結(jié)構(gòu)，幾何特性與材料特性相同，也就是不要把厚 度不同或材料不同的區(qū)域劃分在同一個(gè)單元里。而對(duì)于任一單元 ? 中，２，５，３為局部 節(jié)點(diǎn)編號(hào)，在公式推導(dǎo)中用 i， j， m編號(hào)我們約定其為逆時(shí)針順序。如圖 最大差值為 5 最大差值為 4 南京航空航天大學(xué) 能源與動(dòng)力學(xué)院機(jī)械振動(dòng)沖擊仿真研究室 (PC:210016) Tel:(025)48922022504 Fax:(025)4895966 引 言 五 三角形單元?jiǎng)澐值氖纠? 南京航空航天大學(xué) 能源與動(dòng)力學(xué)院機(jī)械振動(dòng)沖擊仿真研究室 (PC:210016) Tel:(025)48922022504 Fax:(025)4895966 位移函數(shù) 結(jié)構(gòu)離散化后，要對(duì)單元進(jìn)行力學(xué)特性分析，也就是確定單元 節(jié)點(diǎn)力與節(jié)點(diǎn)位移之間的關(guān)系，這時(shí)就需要把單元內(nèi)的任一點(diǎn)的位 移分量表示成坐標(biāo)的某種函數(shù)。 南京航空航天大學(xué) 能源與動(dòng)力學(xué)院機(jī)械振動(dòng)沖擊仿真研究室 (PC:210016) Tel:(025)48922022504 Fax:(025)4895966 位移函數(shù) 位移函數(shù)的一般介紹 １ .定義：把單元中任一點(diǎn)的位移分量與坐標(biāo)的函數(shù)關(guān)系叫位移函數(shù) 或叫位移模式。（意義） （２）反映了單元的位移形態(tài)。（基礎(chǔ)） 南京航空航天大學(xué) 能源與動(dòng)力學(xué)院機(jī)械振動(dòng)沖擊仿真研究室 (PC:210016) Tel:(025)48922022504 Fax:(025)4895966 位移函數(shù) ３ .位移函數(shù)必須具備的條件 （１）在節(jié)點(diǎn)上的值應(yīng)等于節(jié)點(diǎn)的位移 （２）所采用的函數(shù)必須保證有限元的解收斂于真實(shí)解 南京航空航天大學(xué) 能源與動(dòng)力學(xué)院機(jī)械振動(dòng)沖擊仿真研究室 (PC:210016) Tel:(025)48922022504 Fax:(025)4895966 位移函數(shù)的一般形式 位移函數(shù)一般為多項(xiàng)式形式，這樣處理是從兩方面出發(fā)的（１） 進(jìn)行數(shù)學(xué)運(yùn)算（如微分，積分）較簡單（２）任意階次的多項(xiàng)式可 以近似地表示精確解，其一般形式為： u=u(x,y)=?1+ ? 2x+ ?3y + ? 4x2+ ?5xy + ? 6y2 + … + ? myn v= v(x,y)=?m+1+ ? m+2x+ … + ?2myn （２ １） 式中 : ,其中 ?1 … ?２ m為待定系數(shù)。 （一維形式多項(xiàng)式 u(x)=?1+ ? 2x+ ? ３ x2+ … + ? n＋１ xn） ???? 11ni im南京航空航天大學(xué) 能源與動(dòng)力學(xué)院機(jī)械振動(dòng)沖擊仿真研究室 (PC:210016) Tel:(025)48922022504 Fax:(025)4895966 位移函數(shù)的一般形式 （２ １）式也可以參照帕斯卡三角形來確定 南京航空航天大學(xué) 能源與動(dòng)力學(xué)院機(jī)械振動(dòng)沖擊仿真研究室 (PC:210016) Tel:(025)48922022504 Fax:(025)4895966 三節(jié)點(diǎn)三角形單元的位移函數(shù) １ .位移函數(shù)形式 就是最簡單的情況而言，可以選取位移為坐標(biāo)的