【正文】 測該社區(qū)家庭的平均月消費支出水平。 表 2 . 1 . 1 某社區(qū)家庭每月收入與消費支出統(tǒng)計表 每月家庭可支配收入 X （ 元 ） 800 1 1 0 0 1400 1700 2022 2300 2600 2900 3200 3500 561 638 869 1023 1254 1408 1650 1969 2090 2299 594 748 913 1 1 0 0 1309 1452 1738 1991 2134 2321 627 814 924 1 1 4 4 1364 1551 1749 2046 2178 2530 638 847 979 1 1 5 5 1397 1595 1804 2068 2266 2629 935 1012 1210 1408 1650 1848 2101 2354 28 60 968 1045 1243 1474 1672 1881 2189 2486 2871 1078 1254 1496 1683 1925 2233 2552 1 1 2 2 1298 1496 1716 1969 2244 2585 1 1 5 5 1331 1562 1749 2022 2299 2640 1 1 8 8 1364 1573 1771 2035 2310 1210 1408 1606 1804 2101 1430 1650 187 0 2 1 1 2 1485 1716 1947 2200 每 月 家 庭 消 費 支 出 Y （元） 2022 共計 2420 4950 1 1 4 9 5 1 6 4 4 5 1 9 3 0 5 2 3 8 7 0 2 5 0 2 5 2 1 4 5 0 2 1 2 8 5 1 5 5 1 0 （ 1）由于不確定因素的影響，對同一收入水平 X，不同家庭的消費支出不完全相同； （ 2）但由于調(diào)查的完備性，給定收入水平 X的消費支出 Y的分布是確定的，即以 X的給定值為條件的Y的 條件分布 （ Conditional distribution）是已知的，如： P(Y=561|X=800） =1/4。這條直線稱為 總體回歸線 。 )()|( ii XfXYE ?稱為（雙變量） 總體回歸函數(shù) （ population regression function, PRF） 。 函數(shù)形式： 總體回歸函數(shù)表明被解釋變量 Y的平均狀態(tài) (總體條件期望 )隨解釋變量 X變化的規(guī)律。由于實踐中總體往往無法全部考察到，因此總體回歸函數(shù)形式的選擇就是一個經(jīng)驗方面的問題，這時經(jīng)濟學(xué)等相關(guān)學(xué)科的理論就顯得很重要。 例 ， 將居民消費支出看成是其可支配收入的線性函數(shù)時 : ii XXYE 10)|( ?? ??為一 線性函數(shù)。 。 但對某一個別的家庭，其消費支出可能與該平均水平有偏差。 記 例 ，個別家庭的消費支出為： （ *）式稱為 總體回歸函數(shù) （方程） PRF的隨機設(shè)定形式。 （ 1）該收入水平下所有家庭的平均消費支出 E(Y|Xi)，稱為系統(tǒng)性（ systematic） 或 確定性 （ deterministic)部分 。 即，給定收入水平 Xi ,個別家庭的支出可表示為兩部分之和 : (*) 由于方程中引入了隨機項，成為計量經(jīng)濟學(xué)模型，因此也稱為 總體回歸模型 。 有一些影響因素己經(jīng)被認識，而且其數(shù)據(jù)也可以收集到，但它們對被解釋變量的影響卻是細小的。 ? (2)變量的內(nèi)在隨機性。這種影響只能被歸入到隨機干擾項中。 由于對所考察總體認識上的非完備性，許多未知的影響因素還無法引入模型，因此，只能用隨機干擾項代表這些未知的影響因素。 即便所有的影響變量都能被包括在模型中，也會有某些變量的數(shù)據(jù)無法取得。這時，模型中不得不省略這一變量，而將其歸入隨機干擾項。 由于某些主客觀的原因，在取得觀測數(shù)據(jù)時，往往存在測量誤差，這些觀測誤差也被歸入隨機干擾項。 由于經(jīng)濟現(xiàn)象的復(fù)雜性，模型的真實函數(shù)形式往往是未知的，因此，實際設(shè)定的模型可能與真實的模型有偏差。 ? 總之，隨機干擾項具有非常豐富的內(nèi)容，在計量經(jīng)濟學(xué)模型的建立中起著重要的作用。當(dāng)隨機干擾項包含上述（ 3） ,（ 4） ,(5), （ 6）時，稱之為 衍生 的隨機誤差，是在模型設(shè)定過程中產(chǎn)生的 。 四、樣本回歸函數(shù)（ SRF） 問題： 能從一次抽樣中獲得總體的近似的信息嗎？如果可以，如何從抽樣中獲得總體的近似信息？ 問：能否從該樣本估計總體回歸函數(shù) PRF？ 例 ： 在例 ， 表 2 . 1 . 3 家庭消費支出與可支配收入的一個隨機樣本 Y 8 00 1 1 0 0 1400 1700 2022 2300 2600 2900 3200 3500 X 594 638 1 1 2 2 1 1 5 5 1408 1595 1969 2078 2585 2530 總體的信息往往無法掌握，現(xiàn)實的情況只能是在一次觀測中得到總體的一個樣本 ,再通過樣本的信息來估計總體回歸函數(shù)。該線稱為 樣本回歸線 （ sample regression lines）。 這里將 樣本回歸線 看成 總體回歸線 的近似替代 則 注意： 樣本回歸函數(shù)的隨機形式 /樣本回歸模型 ： 同樣地，樣本回歸函數(shù)也有如下的隨機形式： iiiii eXYY ????? 10 ???? ???式中， ie 稱為 （樣本）殘差 （或 剩余 ） 項 （ r e s i du a l ），代表了其他影響 iY 的隨機因素的集合，可看成是 i? 的估計量 i?? 。 i? ▼ 回歸分析的主要目的 ：根據(jù)樣本回歸函數(shù) SRF， 估計總體回歸函數(shù) PRF。 即，根據(jù) iiiii eXeYY ????? 10 ??? ??估計 iiiii XXYEY ???? ????? 10)|(167。 估計方法 有多種，其種最廣泛使用的是 普通最小二乘法 （ ordinary least squares, OLS）。 注： 實際這些假設(shè)與所采用的估計方法緊密相關(guān)。 含兩方面有內(nèi)容： （ 1） 模型選擇了正確的變量； （ 2） 模型選擇了正確的函數(shù)形式 假設(shè) 1滿足時 ， 稱為模型沒有設(shè)定偏誤 （ Specification error),否則就會出現(xiàn)模型的設(shè)定偏誤 ， 后面章節(jié)我們將會詳細討論模型的設(shè)定偏誤問題 。 假設(shè) 解釋變量 X在所抽取的樣本中具有變異性，但隨著樣本容量的無限增加，解釋變量 X的樣本方差趨于一個非零的有限常數(shù)，即 該假設(shè)旨在排除時間序列數(shù)據(jù)出現(xiàn)持續(xù)上升或下降的變量作為解釋變量，因為這類數(shù)據(jù)不僅使大樣本統(tǒng)計推斷變得無效，往往會產(chǎn)生偽回歸問題（ Spurious regression problem) 。 ? ? 21/,niiX X n Q n?? ? ? ?? 假設(shè) 隨機誤差項 ?具有零均值、同方差和不序列相關(guān)性： ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ?? ?? ? ? ?22012, , 0 , 312 , 。表 明 的 方 差 不 依 賴 于 的 變 化 且 總 為 常 數(shù)表 明 隨 機 擾 動 項 互 不 影 響 或 者 說 對 于 所 有 的 和 與的 取 值 互 不 影 響 . 需要說明的是：當(dāng)（ 1）成立時，根據(jù)期望迭代法則（ law of iterated expectation)一定有如下非條件零均值性質(zhì)： ? ?? ?? ?? ? ? ? ? ?20 1 0 1202)(( ) , 1 , 2iiiii i i i iiuEV a rYuV a r Y V a r X V a r X V a rV a r i n???? ? ? ? ? ?????? ? ? ? ? ?? ? ?同 樣 , 如 成 立 , 根 據(jù) 期 望 迭 代 法 則一 定 有 如 下 非 條 件 同 方 差 性 質(zhì) :我 們 還 可 推 出 :與 有 相 同 的 方 差 , 即假設(shè) 隨機誤差項 ?與解釋變量 X之間不相關(guān)： 假設(shè) ?服從零均值、同方差的正態(tài)分布 ? ?? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?,01,0iii i i i i i i iCo v XCo v X E X E X E E X?? ? ? ??? ? ? ?當(dāng) 成 立 時 , 從 而 有 :? ?20,ii XN??該 假 設(shè) 是 為 通 過 樣 本 回 歸 函 數(shù) 推 斷 總 體 回 歸 函 數(shù)的 需 要 而 提 出 的 , 尤 其 是 在 小 樣 本 下 , 該 假 設(shè) 顯 得十 分 重 要 . 以上假設(shè)也稱為線性回歸模型的 經(jīng)典假設(shè)（ calssical assumption） , 滿足該假設(shè)的線性回歸模型，也稱為 經(jīng)典線性回歸模型 （ Classical Linear Regression Model, CLRM）。 ? ?01201 ,Y X YY X N X? ? ?? ? ?? ? ??最 后 需 要 指 出 ， 在 上 述 經(jīng) 典 假 設(shè) 下 ， 線 性 回 歸 模 型中 被 解 釋 變 量 具 有 如 下 條 件 分 布 特 征 : 在實際建立模型的過程中，除了隨機誤差項的正態(tài)性假設(shè)外，對模型是否滿足其他假設(shè)都要進行檢驗。對于隨機誤差項的正態(tài)性假設(shè)，根據(jù)中心極限定理，如果僅包括源生性的隨機干擾，當(dāng)樣本容量趨于無窮大時，都是滿足的。但是在初、中級教材中，一般將它忽略。 普通最小二乘法 （ Ordinary least squares, OLS）給出的判斷標(biāo)準(zhǔn)是：二者之差的平方和 ?? ????? n iiin i XYYYQ121021))??(()?( ??最小。 010101? ?,? ?0 。在計量經(jīng)濟學(xué)中往往以小寫字母表示對均值的離差。 順便指出 ，記 YYyii ?? ??則有 ?????????iniiieXXeXXy111010)(?)??()??(??????可得 ii xy 1?? ??（ **） 式也稱為 樣本回歸函數(shù) 的 離差形式 。 基本原理 ： 對于 最大似然法 ，當(dāng)從模型總體隨機抽取 n組樣本觀測值后，最合理的參數(shù)估計量應(yīng)該使得從模型中抽取該 n組樣本觀測值的概率最大。 那么 Yi服從如下的正態(tài)分布： ),??(~ 210 ??? ii XNY ?于是， Y的概率函數(shù)為 2102 )??(2121)(ii XYi eYP?????????（ i=1,2,…n ） 假如模型的參數(shù)估計量已經(jīng)求得，為 因為 Yi是相互獨立的，所以的所有樣本觀測值的聯(lián)合概率，也即 或然函數(shù) (likelihood function)為： ),(),?,?( 21210 nYYYPL ???????? ?2012121 ? ?()211( 2 )niiinn YXi niP Y e??????? ? ?????? 將該或然函數(shù)極大化 ， 即可求得到模型參數(shù)的極大或然估計量 。 例 ： 在上述家庭 可支配收入 消費支出 例中，對于所抽出的一組樣本數(shù)，參數(shù)估計的計算可通過下面的表 。正規(guī)方程組可以通過矩估計（ Method of Moment,MM）的思想來導(dǎo)出。 ? ? ? ? ? ?? ?? ?01010 。這種估計量只是利用一組樣本觀測值并令 最小的情況下給出的。為了對估計量進行顯著性檢驗，需考察參數(shù)估計量的統(tǒng)計性質(zhì)。 （ 4）漸近無偏性 ，即樣本容量趨于無窮大時，是否它的均值序列趨于總體真值； （ 5）一致性 ，即樣本容量趨于無窮大時，它是否依概率收斂于總體的真值； （ 6）漸近有效性 ，即樣本容量趨于無窮大時，是否它在所有的一致估計量中具有最小的漸近方差。 擁有這類性質(zhì)的估計量稱為最佳線性無偏估計量 （ best liner unbiase