【正文】 簡記成RX(t1,t2)。 CXX(t1,t2)也常簡記為 CX(t1,t2)。 現(xiàn)把 () ～ ()式定義的諸數(shù)字特征之間的關(guān)系簡述如下： 由 ()和 ()式知 ( 2 . 6 ) ).,()(2 ttRt XX ??由 ()式展開，得 ( 2 .7 ) ).()(),(),( 212121 ttttRttC XXxX ????特別地，當(dāng) t1=t2=t時，由 ()式，得 ( 2 . 8 ) ).(),(),()( 22 tttRttCt XXXX ?? ??? 由 () ～ ()式可知，以上諸數(shù)字特征中最主要的是均值函數(shù)和自相關(guān)函數(shù)。據(jù)此 ,在隨機(jī)過程的專著中都著重研究了所謂二階矩過程。 二階矩過程的相關(guān)函數(shù)總存在。 在實(shí)際中，常遇到一種特殊的二階矩過程 —正態(tài)過程。 由第四章 167。 4知，正態(tài)過程的全部統(tǒng)計(jì)特征完全由它的均值函數(shù)和自協(xié)方差函數(shù) (或自相關(guān)函數(shù) )所確定。如果 A, B相互獨(dú)立，且 A～ N(0,1), B～ U(0,2)，問 X(t) 的均值函數(shù)和自相關(guān)函數(shù)又是怎樣的？ 解 X(t)的均值函數(shù)和自相關(guān)函數(shù)分別為 .,],[][)(][)])([()]()([),(21221221212121TttBEABEttAEttBAtBAtEtXtXEttR X????????? 當(dāng) A～ N(0,1)時， E[A]=0， E[A2]=1；當(dāng) B～ U(0,2)時， E[B]=1， E[B2]=4/3；又因 A、 B獨(dú)立時，有 E[AB]=E[A]E[B]=0。 2中隨機(jī)相位正弦波的均值函數(shù)、方差函數(shù)和自相關(guān)函數(shù)。 例 3 設(shè) X(t) = Acos ω t + Bsin ω t, t∈ T= =(∞, +∞)，其中 A, B相互獨(dú)立，且均是服從正態(tài)分布 N(0, σ2) 的隨機(jī)變量， ω 是實(shí)常數(shù)。 解 由題設(shè)， A, B是相互獨(dú)立的正態(tài)變量，所以 (A, B)是二維正態(tài)變量。于是，根據(jù)第四章 167。 , (X(t1), X(t2), ? ,X(tn))是 n維 正態(tài)變量 。 另由題設(shè)，有 E(A)=E(B)=E(AB)=0, E(A2)=E(B2)=σ2. 由此，可算得 X(t)的均值函數(shù)和自協(xié)方差函數(shù) (或自相關(guān)函數(shù) )分別為： μX(t) = E{Acosωt+Bsinωt}=0, CX(t1,t2) = RX(t1,t2) = E[(Acosωt1+Bsinωt1) (Acosωt2+Bsinωt2)] = (cos ωt1 cos ωt2)E(A2)+(sin ωt1 sin ωt2)E(B2) + (cos ωt1 sin ωt2+ sin ωt1 cos ωt2)E(AB) = σ2(cosωt1cosωt2+sinωt1sinωt2) = σ2cosω(t2t1). 二維隨機(jī)過程的分布函數(shù)和數(shù)字特征 實(shí)際問題中，我們有時必須同時研究兩個或兩個以上隨機(jī)過程及它們之間的統(tǒng)計(jì)聯(lián)系。又如：輸入到一個系統(tǒng)的信號和噪聲可都是隨機(jī)過程，這時，輸出也是隨機(jī)過程。對于這類問題，我們除了對各個隨機(jī)過程的統(tǒng)計(jì)特征加以研究外，還必須將幾個隨機(jī)過程作為整體研究其統(tǒng)計(jì)特征。 設(shè) {(X(t),Y(t)), t∈ T }是二維隨機(jī)過程，如果對任意正整數(shù) n, m，任意數(shù)組 t1, t2,? , tn ∈ T， t’1, t’2, ? , t’m ∈ T，稱 n+m 維隨機(jī)變量 (X(t1), X(t2),? , X(tn), Y(t’1), Y(t’2),? ,Y(t’m)) 的分布函數(shù) F(x1, x2,? , xn。t’1, t2’, ? , t’m) 為隨機(jī)過程 X(t)與 Y(t)的 n+m維聯(lián)合分布函數(shù)。 t’1, t’2, ? , t’m ∈ T， n維隨機(jī)變量 (X(t1), X(t2),? , X(tn)) 與 m維隨機(jī)變量 (Y(t’1), Y(t’2),? ,Y(t’m))相互獨(dú)立，則稱隨機(jī)過程 X(t)和 Y(t)是 相互獨(dú)立的 。 類似地，還有如下定義的 X(t)和 Y(t)的 互協(xié)方差函數(shù) 如果對任意的 t1, t2∈ T，恒有 則稱隨機(jī)過程 X(t)和 Y(t)是 不相關(guān)的 。 3可推知，兩個隨機(jī)過程如果是相互獨(dú)立的 , 且它們的二階矩存在 , 則它們必然不相關(guān)。 當(dāng)同時考慮 n(n2)個隨機(jī)過程或 n維隨機(jī)過程時 , 我們可類似地引入它們的多維分布，以及均值函數(shù)和兩兩之間的互相關(guān)函數(shù) (或互協(xié)方差函數(shù) )?，F(xiàn)考慮三個隨機(jī)過程 X(t), Y(t)和 Z(t)之和的情形，令 W(t)=X(t)+Y(t)+Z(t). 顯然，均值函數(shù) 而 W(t)的自相關(guān)函數(shù)可以根據(jù)均值運(yùn)算規(guī)則和相關(guān)函數(shù)的定義得到， ).()()()( tttt ZYXW ???? ???).,(),(),(),(),(),(),(),(),()]()([),(2121212121212121212121ttRttRttRttRttRttRttRttRttRtWtWEttRXZXYWWZZZYZXYZYYYXXX ?????????? 此式表明：幾個隨機(jī)過程之和的自相關(guān)函數(shù)可以表示為各個隨機(jī)過程的自相關(guān)函數(shù)以及各對隨機(jī)過程的互相關(guān)函數(shù)之和。 泊松過程及維納過程 泊松 (Poission) 過程及維納 (Wiener) 過程是兩個典型的隨機(jī)過程，在隨機(jī)過程理論和應(yīng)用中都占重要地位，都屬于 獨(dú)立增量過程 。 給定二階矩過程 {X(t), t ≥0}, 稱 X(t)X(s), 0≤st為隨機(jī)過程在區(qū)間 (s, t]上的增量。 直觀地說： 就是在互不重疊的區(qū)間上，狀態(tài)的增量相互獨(dú)立。 特別地，若對任意的實(shí)數(shù) h 和 0 ≤ s+ h t+ h, X(t + h)X(s + h) 與 X(t)X(s) 具有相同的分布，則稱增量具有平穩(wěn)性。 當(dāng)增量具有平穩(wěn)性時，稱相應(yīng)的獨(dú)立增量過程是 齊次的 或 時齊的 。 記 Y(t)= X(t)μX(t)。 其次 注意到 : Y(0)=0, E[Y(t)]=0，且方差函數(shù) DY(t)= E[Y2(t)]= DX(t)。 ( 3 . 1 ) ) ) .,( m i n (),( tsDtsC XX ? 泊松過程 考慮下列隨時間推移遲早會重復(fù)出現(xiàn)的事件： (1). 自電子管陰極發(fā)射的電子到達(dá)陽極； (2). 意外事故或意外差錯的發(fā)生； (3). 要求服務(wù)的顧客到達(dá)服務(wù)站。如 : “顧客”可以是電話的呼叫， “服務(wù)站”是 120急救臺； “顧客”可以是聯(lián)網(wǎng)的個人電腦， “服務(wù)站”是某網(wǎng)站的主頁 。 為建立一般模型，我們把電子、顧客等看作時間軸上的質(zhì)點(diǎn)，電子到達(dá)陽極、顧客到達(dá)服務(wù)站等事件的發(fā)生相當(dāng)于質(zhì)點(diǎn)出現(xiàn)。 以 N(t), t ≥0表示在時間間隔 (0, t]內(nèi)出現(xiàn)的質(zhì)點(diǎn)數(shù)。 計(jì)數(shù)過程 的樣本函數(shù)如圖 105所示，圖中 t1, t2, ?是質(zhì)點(diǎn)依次出現(xiàn)的時刻?！霸?(t0, t]內(nèi)出現(xiàn) k 個質(zhì)點(diǎn)”，即 {N(t0, t) = k}是一事件，其概率記為 Pk(t0, t)=P{N(t0, t)=k}, k=0, 1, 2, ? . （ ) 現(xiàn)假設(shè) N(t) 滿足如下條件： (1). 在不相重疊的區(qū)間上的增量具有獨(dú)立性； (2). 對于充分小的 △ t, 其中常數(shù) λ 0 稱為過程 N(t) 的強(qiáng)度，而 當(dāng) 時是關(guān)于 △ t的高階無窮小； (3). 對于充分小的 △ t, (4). N(0)=0。相應(yīng)的質(zhì)點(diǎn)流，即質(zhì)點(diǎn)出現(xiàn)的隨機(jī)時刻 t1, t2,? 稱作 強(qiáng)度為 λ 的泊松流 。對于泊松過程，注意到 =1，結(jié)合條件 (2)和 (3)，有 ( 3 . 5 ) ).(1),(),(1),(210 tttttPtttPtttPkk?????????????? ???????? 00 ),(kk ttP 下面就泊松過程來計(jì)算概率 ()。為此，對 △ t 0，考慮 ，}0),(0),({}