高中導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用教案-在線瀏覽
2025-06-04 13:03本頁(yè)面
【正文】 y′=－,∵kAB=－,∴－∴x=4,代入y2=4x(y0)得y=－4. ∴P(4,－4)4.(廣東省深圳市2008年高三年級(jí)第一次調(diào)研考試)已知，（），直線與函數(shù)、的圖像都相切，且與函數(shù)的圖像的切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1．求直線的方程及的值；解：依題意知：直線是函數(shù)在點(diǎn)處的切線，故其斜率，所以直線的方程為． 又因?yàn)橹本€與的圖像相切，所以由，得（不合題意，舍去）；5.(湛江市實(shí)驗(yàn)中學(xué)2009屆高三第四次月考)已知函數(shù)的圖象都相切，且l與函數(shù)圖象的切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1,求直線l的方程及a的值；解由，故直線l的斜率為1，切點(diǎn)為即（1，0） ∴ ① 又∵∴ 即 ②比較①和②的系數(shù)得 綜合拔高訓(xùn)練6. 對(duì)于三次函數(shù)，定義：設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，若有實(shí)數(shù)解，則稱點(diǎn)為函數(shù)的“拐點(diǎn)”。（2）求證的圖象關(guān)于“拐點(diǎn)”A 對(duì)稱。設(shè)兩曲線有公共點(diǎn)，且在公共點(diǎn)處的切線相同。解：（1）設(shè)與在公共點(diǎn)處的切線相同 由題意知 ，∴由得，或（舍去） 即有 （2）設(shè)與在公共點(diǎn)處的切線相同由題意知 ，∴由得，或（舍去） 即有 令，則，于是當(dāng)，即時(shí)，；當(dāng)，即時(shí)， 故在的最大值為，故的最大值為 8. 設(shè)三次函數(shù)在處取得極值，其圖象在處的切線的斜率為。由①代入②得，∴，得∴或 ③將代入中，得 ④由③、④得；方法二、同上可得：將（1）變?yōu)椋捍耄?）可得：，所以，則方法三：同上可得：將（1）變?yōu)椋捍耄?）可得：，顯然，所以因?yàn)閳D象的開(kāi)口向下，且有一根為x1=1由韋達(dá)定理得,所以，即，則，由得：所以：第2講 導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用★ 知 識(shí) 梳理 ★1. 函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系一般地，函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系：在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間內(nèi) ；如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間內(nèi) .解析：?jiǎn)握{(diào)遞增；單調(diào)遞減2. 判別f(x0)是極大、極小值的方法若滿足，且在的兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)異號(hào)，則是的極值點(diǎn)，是極值，并且如果在兩側(cè)滿足“左正右負(fù)”，則是的 ，是極大值；如果在兩側(cè)滿足“左負(fù)右正”，則是的極小值點(diǎn)，是 解析：極大值點(diǎn)；極小值.3．解題規(guī)律技巧妙法總結(jié): 求函數(shù)的極值的步驟:(1)確定函數(shù)的定義區(qū)間，求導(dǎo)數(shù)f′(x) .(2)求方程f′(x)=0的根.(3)用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)，順次將函數(shù)的定義區(qū)間分成若干小開(kāi)區(qū)間，f′(x)在方程根左右的值的符號(hào)，如果左正右負(fù)，那么f(x)在這個(gè)根處取得極大值；如果左負(fù)右正，那么f(x)在這個(gè)根處取得極小值；如果左右不改變符號(hào)，那么f(x)在這個(gè)根處無(wú)極值.4．求函數(shù)最值的步驟：（1）求出在上的極值.（2）求出端點(diǎn)函數(shù)值.（3）比較極值和端點(diǎn)值，確定最大值或最小值.★ 重 難 點(diǎn) 突 破 ★：熟悉利用導(dǎo)數(shù)處理單調(diào)性、極值與最值的一般思路，熟練掌握求常見(jiàn)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值與最值的方法：與參數(shù)相關(guān)單調(diào)性和極值最值問(wèn)題：借助導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)與不等式的綜合問(wèn)題（1）在求可導(dǎo)函數(shù)的極值時(shí)，應(yīng)注意可導(dǎo)函數(shù)的駐點(diǎn)可能是它的極值點(diǎn)，也可能不是極值點(diǎn)?！久麕熤敢拷忸}規(guī)律技巧妙法總結(jié): 求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的一般步驟.（1） 求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（2）令解不等式，得的范圍就是單調(diào)增區(qū)間。 由，∴在上單調(diào)遞減。（II），恒成立當(dāng)時(shí)，取得最大值。深圳南中）設(shè)函數(shù)（），其中，求函數(shù)的極大值和極小值．【解題思路】先求駐點(diǎn)，再列表判斷極值求出極值。例3. (廣東省深圳外國(guó)語(yǔ)學(xué)校2009屆高三上學(xué)期第二次統(tǒng)測(cè))已知函數(shù).（Ⅰ）求的最小值；（Ⅱ）若對(duì)所有都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【解題思路】先求極值再求端點(diǎn)值,比較求出最大(小)(小)值時(shí),該值就是最大(小)值解析：的定義域?yàn)椋?…………1分 的導(dǎo)數(shù). ………………3分令，解得；令，解得.從而在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增. ………………5分所以，當(dāng)時(shí)，取得最小值. ………………………… 6分（Ⅱ）解法一：令，則， ……………………8分① 若，當(dāng)時(shí)，故在上為增函數(shù)，所以，時(shí)，即.…………………… 10分② 若，方程的根為 ，此時(shí)，若，則，故在該區(qū)間為減函數(shù).所以時(shí)，即，與題設(shè)相矛盾. ……………………13分綜上，滿足條件的的取值范圍是. ……………………………………14分解法二：依題意，得在上恒成立，即不等式對(duì)于恒成立 . ……………………8分令， 則. ……………………10分當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋? 故是上的增函數(shù)， 所以 的最小值是， ……………… 13分所以的取值范圍是. …………………………………………14分【名師指引】求函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值（或最小值）的步驟：①求在內(nèi)的極大（?。┲?，②將極大（小）值與端點(diǎn)處的函數(shù)值進(jìn)行比較，其中較大者的一個(gè)是最大者，較小的一個(gè)是最小者．(小)值，求參數(shù)的值或取值范圍。4分（1）函數(shù)在時(shí)有極值，所以，5分解得，7分所以．8分（2）因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間上的值恒大于或等于零，10分則得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為14分【名師指引】已知在處有極值，等價(jià)于。解：（x）=3ax2+6x－1. 要使f（x）在[0，4]遞減，則當(dāng)x∈（0，4）時(shí)，（x）0。1處取得極值. （Ⅰ）求函數(shù)f(x)的解析式； （Ⅱ）求證：對(duì)于區(qū)間[－1，1]上任意兩個(gè)自變量的值x1，x2，都有|f(x1)－f(x2)|≤4； （Ⅲ）若過(guò)點(diǎn)A（1，m）（m≠－2）可作曲線y=f(x)的三條切線，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.解：（I）f′(x)=3ax2+2bx－3，依題意，f′(1)=f′(－1)=0， 即…………………………………………2分 解得a=1，b=0. ∴f(x)=x3－3x.……………………………………………………4分 （II）∵f(x)=x3－3x,∴f′(x)=3x2－3=3(x+1)(x－1)，當(dāng)－1x1時(shí)，f′(x)0，故f(x)在區(qū)間[－1，1]上為減函數(shù)，fmax(x)=f(－1)=2，fmin(x)=f(1)=－2……………………………………6分∵對(duì)于區(qū)間[－1，1]上任意兩個(gè)自變量的值x1，x2，都有|f(x1)－f(x2)|≤|fmax(x) －fmin(x)||f(x1)－f(x2)|≤|fmax(x)－fmin(x)|=2－(－2)=4………………………………8分 （III）f′(x)=3x2－3=3(x+1)(x－1)， ∵曲線方程為y=x3－3x，∴點(diǎn)A（1，m）不在曲線上.設(shè)切點(diǎn)為M（x0，y0），則點(diǎn)M的坐標(biāo)滿足因，故切線的斜率為，整理得.∵過(guò)點(diǎn)A（1，m）可作曲線的三條切線，∴關(guān)于x0方程=0有三個(gè)實(shí)根.……………………10分設(shè)g(x 0)= ，則g′(x0)=6，由g′(x0)=0，得x0=0或x0 =1.∴g(x0)在（－∞，0），（1，+∞）上單調(diào)遞增，在（0，1）上單調(diào)遞減.∴函數(shù)g(x0)= 的極值點(diǎn)為x0=0，x0=1………………12分∴關(guān)于x0方程=0有三個(gè)實(shí)根的充要條件是，解得－3m－2.故所求的實(shí)數(shù)a的取值范圍是－3m－2.……………………14分7．（廣東省北江中學(xué)2009屆高三上學(xué)期12月月考 ）已知，其中是自然常數(shù)，（Ⅰ
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