高考數(shù)學綜合能力題30講第28講結(jié)論開放的探索性問題-在線瀏覽
2025-06-04 13:03本頁面
【正文】 ．規(guī)定，其中，是正整數(shù)，且，這是組合數(shù)（n，m是正整數(shù)，且）的一種推廣． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）組合數(shù)的兩個性質(zhì)：①；②是否都能推廣到（，是正整數(shù)）的情形？若能推廣，則寫出推廣的形式并給出證明；若不能，則說明理由； （Ⅲ）我們知道，組合數(shù)是正整數(shù)．那么，對于，是正整數(shù)，是否也有同樣的結(jié)論？你能舉出一些成立的例子嗎？ 講解：（Ⅰ）． （Ⅱ）一個性質(zhì)是否能推廣的新的數(shù)域上，首先需要研究它是否滿足新的定義．從這個角度很快可以看出：性質(zhì)①不能推廣．例如當時，有定義，但無意義．性質(zhì)②如果能夠推廣，那么,它的推廣形式應(yīng)該是：，其中，是正整數(shù)．類比于性質(zhì)①的思考方法，但從定義上是看不出矛盾的，那么，我們不妨仿造組合數(shù)性質(zhì)的證明過程來證明這個結(jié)論．事實上，當時，．當時，由此，可以知道，性質(zhì)②能夠推廣．（Ⅲ）從的定義不難知道，當且時，不成立，下面，我們將著眼點放在的情形．先從熟悉的問題入手．當時，就是組合數(shù)，故．當且時，推廣和探索的一般思路是：能否把未知的情形（，且）與已知的結(jié)論相聯(lián)系？一方面再一次考察定義：；另一方面，可以從具體的問題入手．由（Ⅰ）的計算過程不難知道：．另外，我們可以通過其他例子發(fā)現(xiàn)類似的結(jié)論．因此，將轉(zhuǎn)化為可能是問題解決的途徑．事實上，當時，．①若，即，則為組合數(shù)，故．②若，即時，無法通過上述方法得出結(jié)論，此時，由具體的計算不難發(fā)現(xiàn)：＝0……，可以猜想，此時．這個結(jié)論不難驗證．事實上，當時，在這m個連續(xù)的整數(shù)中，必存在某個數(shù)為0．所以，．綜上，對于且為正整數(shù)，均有． 點評
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