高三數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)講義24數(shù)列綜合3-在線瀏覽
2025-06-04 13:02本頁(yè)面
【正文】 ，請(qǐng)類比求解以下問(wèn)題：設(shè)，若對(duì)任意，都有，則 ；答案：；分析：若，則根據(jù)圖像，在部分無(wú)法使得恒成立，故，所以在二次函數(shù)與一次函數(shù)共同過(guò)與的交點(diǎn)，把代入得：；例已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正整數(shù)，對(duì)于，有，其中為使為奇數(shù)的正整數(shù)；若存在，當(dāng)且為奇數(shù)時(shí)，恒為常數(shù)，則的值為 ；答案：或分析：令 ，則，所以，因?yàn)槭瞧鏀?shù)，所以或，則或，符合題意，于是或。例已知數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)是首項(xiàng)為1的等差數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)是首項(xiàng)為2的等比數(shù)列. 設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為且滿足（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （2）若求正整數(shù)的值；（3）是否存在正整數(shù)，使得恰好為數(shù)列的一項(xiàng)？若存在，求出所有滿足條件的正整數(shù)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． 解析：（1）設(shè)的奇數(shù)項(xiàng)構(gòu)成的等差數(shù)列的公差為偶數(shù)項(xiàng)構(gòu)成的等比數(shù)列的公比為則由已知，得 故數(shù)列的通項(xiàng)公式為： （2）當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，由得 由于 當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，由得 綜上，得 （3）由(1)可求得 若為數(shù)列中的一項(xiàng)，則（i）若，則 當(dāng)時(shí)，結(jié)論成立； 當(dāng)時(shí)，由由于為正奇數(shù)，故此時(shí)滿足條件的正整數(shù)k不存在. （ii）若顯然，則 由得因此，從而①②即結(jié)論成立. 由①，②知：，公差為，為其前 項(xiàng)和，且滿足，．?dāng)?shù)列滿足，為數(shù)列的前n項(xiàng)和．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式和數(shù)列的前n項(xiàng)和；（2）若對(duì)任意的，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）是否存在正整數(shù)，使得成等比數(shù)列？若存在，求出所有的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．答案：（1），． （2）．（3）分析：依題意得， 若成等比數(shù)列，則，即． 此時(shí)，2個(gè)字母當(dāng)做函數(shù)2個(gè)變量一樣對(duì)待即可，于是用來(lái)表示可得：（這其實(shí)就是函數(shù)的模式），于是可變化為：因?yàn)椋呵?，故，解得：，在這個(gè)范圍內(nèi)，滿足條件的只有；另：此題也可以轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)配方來(lái)控制變量的取值范圍，道理都一樣！，已知，前項(xiàng)和為，且.（其中）（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求；（3）設(shè)，問(wèn)是否存在正整數(shù)、（其中），使得，成等比數(shù)列？若存在，求出所有滿足條件的數(shù)組；否則，說(shuō)明理由.答案：（1）；（2）；（3）分析：假設(shè)存在正整數(shù)、使得，、成等比數(shù)列，則，、成等差數(shù)列，故，①由于右邊大于，則，即．考查數(shù)列的單調(diào)性，因?yàn)?，所以?shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列．當(dāng)時(shí)，代入①式得，解得；當(dāng)時(shí)，（舍）．綜上得：滿足條件的正整數(shù)組為．總結(jié)：這題很巧妙的運(yùn)用了單調(diào)數(shù)列來(lái)說(shuō)了，是不是顯得很高大上的感覺(jué)，呵呵！ 綜合（i），（ii）得：存在兩個(gè)正整數(shù),1或2，
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