初高中數(shù)學(xué)銜接知識點配套練習(xí)試題-在線瀏覽
2025-05-22 03:52本頁面
【正文】 成兩組和．一般地，把一個多項式因式分解，可以按照下列步驟進(jìn)行：(1) 如果多項式各項有公因式，那么先提取公因式；(2) 如果各項沒有公因式，那么可以嘗試運用公式來分解；(3) 如果用上述方法不能分解，那么可以嘗試用分組或其它方法(如十字相乘法)來分解；(4) 分解因式，必須進(jìn)行到每一個多項式因式都不能再分解為止．第三講 一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系現(xiàn)行初中數(shù)學(xué)教材主要要求學(xué)生掌握一元二次方程的概念、解法及應(yīng)用，而一元二次方程的根的判別式及根與系數(shù)的關(guān)系，在高中教材中的二次函數(shù)、不等式及解析幾何等章節(jié)有著許多應(yīng)用．本節(jié)將對一元二次方程根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行闡述．一、一元二次方程的根的判別式一元二次方程，用配方法將其變形為：(1) 當(dāng)時，右端是正數(shù)．因此，方程有兩個不相等的實數(shù)根：(2) 當(dāng)時，右端是零．因此，方程有兩個相等的實數(shù)根：(3) 當(dāng)時，右端是負(fù)數(shù)．因此，方程沒有實數(shù)根．由于可以用的取值情況來判定一元二次方程的根的情況．因此，把叫做一元二次方程的根的判別式，表示為：【例1】不解方程，判斷下列方程的實數(shù)根的個數(shù)： (1) (2) (3) 解：(1) ，∴ 原方程有兩個不相等的實數(shù)根． (2) 原方程可化為： ，∴ 原方程有兩個相等的實數(shù)根． (3) 原方程可化為： ，∴ 原方程沒有實數(shù)根．說明：在求判別式時，務(wù)必先把方程變形為一元二次方程的一般形式．【例2】已知關(guān)于的一元二次方程，根據(jù)下列條件，分別求出的范圍： (1) 方程有兩個不相等的實數(shù)根； (2) 方程有兩個相等的實數(shù)根 (3)方程有實數(shù)根； (4) 方程無實數(shù)根．解： (1) ； (2) ； (3) ； (4) ． 【例3】已知實數(shù)、滿足，試求、的值．解：可以把所給方程看作為關(guān)于的方程，整理得：由于是實數(shù)，所以上述方程有實數(shù)根，因此：，代入原方程得：．綜上知：二、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系 一元二次方程的兩個根為： 所以：， 定理：如果一元二次方程的兩個根為，那么： 說明：一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系由十六世紀(jì)的法國數(shù)學(xué)家韋達(dá)發(fā)現(xiàn)，所以通常把此定理稱為”韋達(dá)定理”．上述定理成立的前提是．【例4】若是方程的兩個根，試求下列各式的值： (1) ； (2) ； (3) ； (4) ．分析：本題若直接用求根公式求出方程的兩根，再代入求值，將會出現(xiàn)復(fù)雜的計算．這里，可以利用韋達(dá)定理來解答．解：由題意，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得：(1) (2) (3) (4) 說明：利用根與系數(shù)的關(guān)系求值，要熟練掌握以下等式變形：，等等．韋達(dá)定理體現(xiàn)了整體思想．【例5】已知關(guān)于的方程，根據(jù)下列條件，分別求出的值．(1) 方程兩實根的積為5； (2) 方程的兩實根滿足．分析：(1) 由韋達(dá)定理即可求之；(2) 有兩種可能，一是，二是，所以要分類討論．解：(1) ∵方程兩實根的積為5 ∴ 所以，當(dāng)時，方程兩實根的積為5． (2) 由得知： ①當(dāng)時，所以方程有兩相等實數(shù)根，故； ②當(dāng)時，由于 ，故不合題意，舍去． 綜上可得，時，方程的兩實根滿足．說明：根據(jù)一元二次方程兩實根滿足的條件，求待定字母的值，務(wù)必要注意方程有兩實根的條件，即所求的字母應(yīng)滿足．【例6】已知是一元二次方程的兩個實數(shù)根． (1) 是否存在實數(shù)，使成立？若存在，求出的值；若不存在，請您說明理由． (2) 求使的值
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