【正文】 有時(shí)候覺(jué)得自己像個(gè)神經(jīng)病。你必須努力，當(dāng)有一天驀然回首時(shí)，你的回憶里才會(huì)多一些色彩斑斕，少一些蒼白無(wú)力。.. . . .. 第一講 數(shù)與式的運(yùn)算 在初中，我們已學(xué)習(xí)了實(shí)數(shù)，知道字母可以表示數(shù)用代數(shù)式也可以表示數(shù)，我們把實(shí)數(shù)和代數(shù)式簡(jiǎn)稱為數(shù)與式．代數(shù)式中有整式（多項(xiàng)式、單項(xiàng)式）、分式、根式．它們具有實(shí)數(shù)的屬性，可以進(jìn)行運(yùn)算．在多項(xiàng)式的乘法運(yùn)算中，我們學(xué)習(xí)了乘法公式（平方差公式與完全平方公式），并且知道乘法公式可以使多項(xiàng)式的運(yùn)算簡(jiǎn)便．由于在高中學(xué)習(xí)中還會(huì)遇到更復(fù)雜的多項(xiàng)式乘法運(yùn)算，因此本節(jié)中將拓展乘法公式的內(nèi)容，補(bǔ)充三個(gè)數(shù)和的完全平方公式、立方和、立方差公式．在根式的運(yùn)算中，我們已學(xué)過(guò)被開(kāi)方數(shù)是實(shí)數(shù)的根式運(yùn)算，而在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，經(jīng)常會(huì)接觸到被開(kāi)方數(shù)是字母的情形，但在初中卻沒(méi)有涉及，因此本節(jié)中要補(bǔ)充．基于同樣的原因，還要補(bǔ)充“繁分式”等有關(guān)內(nèi)容．一、乘法公式【公式1】證明： 等式成立【例1】計(jì)算：解：原式= 說(shuō)明：多項(xiàng)式乘法的結(jié)果一般是按某個(gè)字母的降冪或升冪排列． 【公式2】(立方和公式) 證明: 說(shuō)明:請(qǐng)同學(xué)用文字語(yǔ)言表述公式2. 【例2】計(jì)算： 解：原式= 我們得到： 【公式3】(立方差公式)請(qǐng)同學(xué)觀察立方和、立方差公式的區(qū)別與聯(lián)系，公式3均稱為乘法公式．【例3】計(jì)算：（1） （2）（3） （4）解：（1）原式= （2）原式= （3）原式= （4）原式= 說(shuō)明：（1）在進(jìn)行代數(shù)式的乘法、除法運(yùn)算時(shí)，要觀察代數(shù)式的結(jié)構(gòu)是否滿足乘法公式的結(jié)構(gòu)． （2）為了更好地使用乘法公式，記住…、20的平方數(shù)和…、10的立方數(shù)，是非常有好處的．【例4】已知，求的值．解： 原式= 說(shuō)明：本題若先從方程中解出的值后，再代入代數(shù)式求值，則計(jì)算較煩瑣．本題是根據(jù)條件式與求值式的聯(lián)系，用整體代換的方法計(jì)算，簡(jiǎn)化了計(jì)算．請(qǐng)注意整體代換法．本題的解法，體現(xiàn)了“正難則反”的解題策略，根據(jù)題求利用題知，是明智之舉．【例5】已知，求的值．解： 原式= ① ②，把②代入①得原式=說(shuō)明：注意字母的整體代換技巧的應(yīng)用．引申：同學(xué)可以探求并證明： 二、根式 式子叫做二次根式，其性質(zhì)如下： (1) (2) (3) (4) 【例6】化簡(jiǎn)下列各式：(1) (2) 解：(1) 原式= (2) 原式=說(shuō)明：請(qǐng)注意性質(zhì)的使用：當(dāng)化去絕對(duì)值符號(hào)但字母的范圍未知時(shí)，要對(duì)字母的取值分類討論．【例7】計(jì)算(沒(méi)有特殊說(shuō)明，本節(jié)中出現(xiàn)的字母均為正數(shù))：(1) (2) (3) 解：(1) 原式= (2) 原式= (3) 原式=說(shuō)明：(1)二次根式的化簡(jiǎn)結(jié)果應(yīng)滿足：①被開(kāi)方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式；②被開(kāi)方數(shù)不含能開(kāi)得盡方的因數(shù)或因式．(2)二次根式的化簡(jiǎn)常見(jiàn)類型有下列兩種：①被開(kāi)方數(shù)是整數(shù)或整式．化簡(jiǎn)時(shí)，先將它分解因數(shù)或因式，然后把開(kāi)得盡方的因數(shù)或因式開(kāi)出來(lái)；②分母中有根式(如)或被開(kāi)方數(shù)有分母(如)．這時(shí)可將其化為形式(如可化為) ，轉(zhuǎn)化為 “分母中有根式”的情況．化簡(jiǎn)時(shí)，要把分母中的根式化為有理式，采取分子、分母同乘以一個(gè)根式進(jìn)行化簡(jiǎn)．(如化為，其中與叫做互為有理化因式)．【例8】計(jì)算：(1) (2) 解：(1)