動(dòng)點(diǎn)路徑長專題-在線瀏覽
2025-05-11 12:53本頁面
【正文】 拋物線y=x2﹣x﹣與直線y=x﹣2交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），動(dòng)點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，先到達(dá)拋物線的對(duì)稱軸上的某點(diǎn)E，再到達(dá)x軸上的某點(diǎn)F，最后運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B．若使點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的總路徑最短，則點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的總路徑的長為（ ?。．B．C．D．考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題．719606 專題：壓軸題．分析：首先根據(jù)題意求得點(diǎn)A與B的坐標(biāo)，求得拋物線的對(duì)稱軸，然后作點(diǎn)A關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸x=的對(duì)稱點(diǎn)A′，作點(diǎn)B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)B′，連接A′B′，則直線A′B′與直線x=的交點(diǎn)是E，與x軸的交點(diǎn)是F，而且易得A′B′即是所求的長度．解答：解：如圖∵拋物線y=x2﹣x﹣與直線y=x﹣2交于A、B兩點(diǎn)，∴x2﹣x﹣=x﹣2，解得：x=1或x=，當(dāng)x=1時(shí)，y=x﹣2=﹣1，當(dāng)x=時(shí)，y=x﹣2=﹣，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（，﹣），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，﹣1），∵拋物線對(duì)稱軸方程為：x=﹣=作點(diǎn)A關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸x=的對(duì)稱點(diǎn)A′，作點(diǎn)B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)B′，連接A′B′，則直線A′B′與對(duì)稱軸（直線x=）的交點(diǎn)是E，與x軸的交點(diǎn)是F，∴BF=B′F，AE=A′E，∴點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的最短總路徑是AE+EF+FB=A′E+EF+FB′=A′B′，延長BB′，AA′相交于C，∴A′C=++（1﹣）=1，B′C=1+=，∴A′B′==．∴點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的總路徑的長為．故選A．點(diǎn)評(píng)：此題考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)的綜合應(yīng)用．注意找到點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的最短路徑是解此題的關(guān)鍵，還要注意數(shù)形結(jié)合與方程思想的應(yīng)用． 2．如圖，半徑為4的⊙O中，CD為直徑，弦AB⊥CD且過半徑OD的中點(diǎn)，點(diǎn)E為⊙O上一動(dòng)點(diǎn)，CF⊥AE于點(diǎn)F．當(dāng)點(diǎn)E從點(diǎn)B出發(fā)順時(shí)針運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D時(shí)，點(diǎn)F所經(jīng)過的路徑長為（ ） A．B．C．D．考點(diǎn)：圓的綜合題．719606 專題：壓軸題．分析：連接AC，AO，由AB⊥CD，利用垂徑定理得到G為AB的中點(diǎn)，由中點(diǎn)的定義確定出OG的長，在直角三角形AOG中，由AO與OG的長，利用勾股定理求出AG的長，進(jìn)而確定出AB的長，由CO+GO求出CG的長，在直角三角形AGC中，利用勾股定理求出AC的長，由CF垂直于AE，得到三角形ACF始終為直角三角形，點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)軌跡為以AC為直徑的半徑，如圖中紅線所示，當(dāng)E位于點(diǎn)B時(shí)，CG⊥AE，此時(shí)F與G重合；當(dāng)E位于D時(shí)，CA⊥AE，此時(shí)F與A重合，可得出當(dāng)點(diǎn)E從點(diǎn)B出發(fā)順時(shí)針運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D時(shí)，點(diǎn)F所經(jīng)過的路徑長，在直角三角形ACG中，利用銳角三角函數(shù)定義求出∠ACG的度數(shù)，進(jìn)而確定出所對(duì)圓心角的度數(shù)，再由AC的長求出半徑，利用弧長公式即可求出的長，即可求出點(diǎn)F所經(jīng)過的路徑長．解答：解：連接AC，AO，∵AB⊥CD，∴G為AB的中點(diǎn)，即AG=BG=AB，∵⊙O的半徑為4，弦AB⊥CD且過半徑OD的中點(diǎn)，∴OG=2，∴在Rt△AOG中，根據(jù)勾股定理得：AG==2，∴AB=2AG=4，又∵CG=CO+GO=4+2=6，∴在Rt△AGC中，根據(jù)勾股定理得：AC==4，∵CF⊥AE，∴△ACF始終是直角三角形，點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)軌跡為以AC為直徑的半圓，當(dāng)E位于點(diǎn)B時(shí)，CG⊥AE，此時(shí)F與G重合；當(dāng)E位于D時(shí)，CA⊥AE，此時(shí)F與A重合，∴當(dāng)點(diǎn)E從點(diǎn)B出發(fā)順時(shí)針運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D時(shí)，點(diǎn)F所經(jīng)過的路徑長，在Rt△ACG中，tan∠ACG==，∴∠ACG=30176?！咧睆紸C=4，∴的長為=π，則當(dāng)點(diǎn)E從點(diǎn)B出發(fā)順時(shí)針運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D時(shí)，點(diǎn)F所經(jīng)過的路徑長為π．故選C．點(diǎn)評(píng)：此題考查了圓的綜合題，涉及的知識(shí)有：坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)定義，弧長公式，以及圓周角定理，其中根據(jù)題意得到點(diǎn)E從點(diǎn)B出發(fā)順時(shí)針運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D時(shí)，點(diǎn)F所經(jīng)過的路徑長，是解本題的關(guān)鍵． 二．填空題（共9小題）3．（2013?鄂爾多斯）如圖，直線y=﹣x+4與兩坐標(biāo)軸交A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)P為線段OA上的動(dòng)點(diǎn)，連接BP，過點(diǎn)A作AM垂直于直線BP，垂足為M，當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)，則點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)路徑的長為 ?。键c(diǎn)：一次函數(shù)綜合題．719606 分析：根據(jù)直線與兩坐標(biāo)軸交點(diǎn)坐標(biāo)的特點(diǎn)可得A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)，由題意可得點(diǎn)M的路徑是以AB的中點(diǎn)N為圓心，AB長的一半為半徑的，求出的長度即可．解答：解：∵AM垂直于直線BP，∴∠BMA=90176?！逜B==4，∴ON=2，∴=?2=．故答案為：π．點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的綜合題，涉
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