動(dòng)點(diǎn)路徑長(zhǎng)專題(更新版)
【正文】 點(diǎn)B的左側(cè)），動(dòng)點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，先到達(dá)拋物線的對(duì)稱軸上的某點(diǎn)E，再到達(dá)x軸上的某點(diǎn)F，最后運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B．若使點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的總路徑最短，則點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的總路徑的長(zhǎng)為（ ） A．B．C．D．考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題．719606 專題：壓軸題．分析：首先根據(jù)題意求得點(diǎn)A與B的坐標(biāo)，求得拋物線的對(duì)稱軸，然后作點(diǎn)A關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸x=的對(duì)稱點(diǎn)A′，作點(diǎn)B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)B′，連接A′B′，則直線A′B′與直線x=的交點(diǎn)是E，與x軸的交點(diǎn)是F，而且易得A′B′即是所求的長(zhǎng)度．解答：解：如圖∵拋物線y=x2﹣x﹣與直線y=x﹣2交于A、B兩點(diǎn)，∴x2﹣x﹣=x﹣2，解得：x=1或x=，當(dāng)x=1時(shí)，y=x﹣2=﹣1，當(dāng)x=時(shí)，y=x﹣2=﹣，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（，﹣），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，﹣1），∵拋物線對(duì)稱軸方程為：x=﹣=作點(diǎn)A關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸x=的對(duì)稱點(diǎn)A′，作點(diǎn)B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)B′，連接A′B′，則直線A′B′與對(duì)稱軸（直線x=）的交點(diǎn)是E，與x軸的交點(diǎn)是F，∴BF=B′F，AE=A′E，∴點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的最短總路徑是AE+EF+FB=A′E+EF+FB′=A′B′，延長(zhǎng)BB′，AA′相交于C，∴A′C=++（1﹣）=1，B′C=1+=，∴A′B′==．∴點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的總路徑的長(zhǎng)為．故選A．點(diǎn)評(píng)：此題考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)的綜合應(yīng)用．注意找到點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的最短路徑是解此題的關(guān)鍵，還要注意數(shù)形結(jié)合與方程思想的應(yīng)用． 2．如圖，半徑為4的⊙O中，CD為直徑，弦AB⊥CD且過(guò)半徑OD的中點(diǎn)，點(diǎn)E為⊙O上一動(dòng)點(diǎn)，CF⊥AE于點(diǎn)F．當(dāng)點(diǎn)E從點(diǎn)B出發(fā)順時(shí)針運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D時(shí)，點(diǎn)F所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為（ ?。．B．C．D．考點(diǎn)：圓的綜合題．719606 專題：壓軸題．分析：連接AC，AO，由AB⊥CD，利用垂徑定理得到G為AB的中點(diǎn)，由中點(diǎn)的定義確定出OG的長(zhǎng)，在直角三角形AOG中，由AO與OG的長(zhǎng)，利用勾股定理求出AG的長(zhǎng)，進(jìn)而確定出AB的長(zhǎng)，由CO+GO求出CG的長(zhǎng)，在直角三角形AGC中，利用勾股定理求出AC的長(zhǎng)，由CF垂直于AE，得到三角形ACF始終為直角三角形，點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)軌跡為以AC為直徑的半徑，如圖中紅線所示，當(dāng)E位于點(diǎn)B時(shí)，CG⊥AE，此時(shí)F與G重合；當(dāng)E位于D時(shí)，CA⊥AE，此時(shí)F與A重合，可得出當(dāng)點(diǎn)E從點(diǎn)B出發(fā)順時(shí)針運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D時(shí)，點(diǎn)F所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)，在直角三角形ACG中，利用銳角三角函數(shù)定義求出∠ACG的度數(shù)，進(jìn)而確定出所對(duì)圓心角的度數(shù)，再由AC的長(zhǎng)求出半徑，利用弧長(zhǎng)公式即可求出的長(zhǎng)，即可求出點(diǎn)F所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)．解答：解：連接AC，AO，∵AB⊥CD，∴G為AB的中點(diǎn)，即AG=BG=AB，∵⊙O的半徑為4，弦AB⊥CD且過(guò)半徑OD的中點(diǎn)，∴OG=2，∴在Rt△AOG中，根據(jù)勾股定理得：AG==2，∴AB=2AG=4，又∵CG=CO+GO=4+2=6，∴在Rt△AGC中，根據(jù)勾股定理得：AC==4，∵CF⊥AE，∴△ACF始終是直角三角形，點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)軌跡為以AC為直徑的半圓，當(dāng)E位于點(diǎn)B時(shí)，CG⊥AE，此時(shí)F與G重合；當(dāng)E位于D時(shí)，CA⊥AE，此時(shí)F與A重合，∴當(dāng)點(diǎn)E從點(diǎn)B出發(fā)順時(shí)針運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D時(shí)，點(diǎn)F所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)，在Rt△ACG中，tan∠ACG==，∴∠ACG=30176。﹣（∠HOP+∠OPH）=135176。﹣∠IPO﹣∠IOP=180176。所以點(diǎn)I在以O(shè)A為弦，并且所對(duì)的圓周角為135176。AC=BC=4，點(diǎn)P在AC上運(yùn)動(dòng)，將紙片沿PB折疊，得到點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D（P在C點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是本身），則折疊過(guò)程對(duì)應(yīng)點(diǎn)D的路徑長(zhǎng)是 ?。键c(diǎn)：翻折變換（折疊問(wèn)題）；弧長(zhǎng)的計(jì)算．719606 分析：根據(jù)翻折變換的性質(zhì)以及△ABC是等腰直角三角形判斷出點(diǎn)D的路徑是以點(diǎn)B為圓心，以BC的長(zhǎng)為半徑的扇形，然后利用弧長(zhǎng)公式列式計(jì)算即可得解．解答：解：∵∠C=90176?！郆0Bn=ON?tan30176。BC=1米，A′B=2米，∴∠BA′C=30176。=4=2，∵E是BP的中點(diǎn)，∴PE=，∴PE=PC=，∵∠BPC=60176。．∴點(diǎn)C在直線MC上運(yùn)動(dòng)．當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)O時(shí)，點(diǎn)C與點(diǎn)M重合．當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為∴點(diǎn)C所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為．點(diǎn)評(píng)：本題考查的是相似形綜合題及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵． 13
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