【正文】 離排列，用“插空法”，先將甲、乙、丙外的4人排成一行，形成左、右及每?jī)扇酥g的五個(gè)“空”。=1440種不同的排法。 　　解：（1）奇數(shù)：要得到一個(gè)5位數(shù)的奇數(shù)，分成3步，第一步考慮個(gè)位必須是奇數(shù)，從1，3，5中選出一個(gè)數(shù)排列個(gè)位的位置上有 種；第二步考慮首位不能是0，從余下的不是0的4個(gè)數(shù)字中任選一個(gè)排在首位上有種；第三步：從余下的4個(gè)數(shù)字中任選3個(gè)排在中間的3個(gè)數(shù)的位置上，由乘法原理共有=388（個(gè)）。 　　第二類：0不作個(gè)位即5作個(gè)位，則 =96。 　?。?）比20300大的數(shù)的五位數(shù)可分為三類： 　　第一類：3xxxx, 4xxxx, 5xxxx有3個(gè)； 　　第二類：21xxx, 23xxx, 24xxx, 25xxx, 的4個(gè)； 　　第三類：203xx, 204xx, 205xx, 有3個(gè)， 　　因此，比20300大的五位數(shù)共有：3+4 +3 =474（個(gè)）。 　　例7．直線與圓相離，直線上六點(diǎn)A1，A2，A3，A4，A5，A6，圓上四點(diǎn)B1，B2，B3，B4，任兩點(diǎn)連成直線，問(wèn)所得直線最多幾條？最少幾條？ 　　解：所得直線最多時(shí)，即為任意三點(diǎn)都不共線可分為三類：　　第一類為已知直線上與圓上各取一點(diǎn)連線的直線條數(shù)為=24；　　第二類為圓上任取兩點(diǎn)所得的直線條數(shù)為=6；　　第三類為已知直線為1條，則直線最多的條數(shù)為N1= ++1=31（條）。解排列組合問(wèn)題的策略 　　要正確解答排列組合問(wèn)題，第一要認(rèn)真審題，弄清楚是排列問(wèn)題還是組合問(wèn)題、還是排列與組合混合問(wèn)題；第二要抓住問(wèn)題的本質(zhì)特征，采用合理恰當(dāng)?shù)姆椒▉?lái)處理，做到不重不漏；第三要計(jì)算正確。 　　一、解含有特殊元素、特殊位置的題——采用特殊優(yōu)先安排的策略 　　對(duì)于帶有特殊元素的排列問(wèn)題，一般應(yīng)先考慮特殊元素、特殊位置，再考慮其他元素與其他位置，也就是解題過(guò)程中的一種主元思想。 　　若含有兩個(gè)或兩個(gè)以上的特殊位置或特殊元素，則應(yīng)使用集合的思想來(lái)考慮。如圖1所示。所以，組成的符合題意的六位數(shù)是=120(個(gè))。先分別求出兩個(gè)特殊位置上的排列數(shù)(不需考慮順序)，再求出其余位置上的排列數(shù)，最后利用乘法原理，問(wèn)題即可得到解決?！　　　　　　　　　　　　　　?　　末位上只能取5，有 種取法，首位上雖然有五個(gè)元素可取但元素5已經(jīng)排在末位了，故只有 種不同取法，其余四個(gè)位置上有 種不同排法，所以組成的符合題意的六位數(shù)有=96(個(gè))。 　　(3)影響型(兩個(gè)特殊位置上可取的元素既有相同的，又有不同的。) 　　例4　用1，2，3，4，5這五個(gè)數(shù)字，可以組成比20000大并且百位數(shù)字不是3的沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)有多少個(gè)? 　　解：由題意可知，首位和百位是兩個(gè)特殊位置，“3”是特殊元素。用圖3表示。①首先考慮首位是3的五位數(shù)共有： 個(gè)；②再考慮首位上不是3的五位數(shù)，由于要比20000大，∴首位上應(yīng)該是5中的任一個(gè)， 種選擇；其次3應(yīng)排在千位、十位與個(gè)位三個(gè)位置中的某一個(gè)上， 種選擇，最后還有三個(gè)數(shù)、三個(gè)位置，有 種排法，于是首位上不是3的大于20000的五位數(shù)共有個(gè) 　　綜上①②，知滿足題設(shè)條件的五位數(shù)共有： +=78個(gè)。 　　例5　平面上4條平行直線與另外5條平行直線互相垂直，則它們構(gòu)成的矩形共有________個(gè)。這樣取出的四條直線構(gòu)成一個(gè)矩形，據(jù)乘法原理，構(gòu)成的矩形共有 　　例6　在正方體的8個(gè)頂點(diǎn)，12條棱的中點(diǎn)，6個(gè)面的中心及正方體的中心共27個(gè)點(diǎn)中，共線的三點(diǎn)組的個(gè)數(shù)是多少? 　　解：依題意，共線的三點(diǎn)組可分為三類：兩端點(diǎn)皆為頂點(diǎn)的共線三點(diǎn)組共有 =28(個(gè))；兩端點(diǎn)皆為面的中心的共線三點(diǎn)組共有 =3(個(gè))；兩端點(diǎn)皆為各棱中點(diǎn)的共線三點(diǎn)組共有 =18(個(gè))。 　　例7　某種產(chǎn)品有4只次品和6只正品(每只產(chǎn)品均可區(qū)分)。求第4只次品在第五次被發(fā)現(xiàn)的不同情形有多少種? 　　解：先考慮第五次測(cè)試的產(chǎn)品有4種情況，在前四次測(cè)試中包含其余的3只次品和1只正品，它們排列的方法數(shù)是6 。 　　有些排列組合問(wèn)題元素多，取出的情況也有多種，對(duì)于這類問(wèn)題常用的處理方法是：可按結(jié)果要求，分成不相容的幾類情況分別計(jì)算，最后計(jì)算總和。 　　合并總計(jì)，共有 + + + + =300(個(gè))?！　?　　說(shuō)明：此題也可用定序問(wèn)題縮位法求解，先考慮所有6位數(shù)： 個(gè)，因個(gè)位數(shù)字須小于個(gè)位數(shù)字，故所求6位數(shù)有( )/ =300(個(gè))。 　　例9　已知集合A和集合B各含12個(gè)元素，A∩B含有4個(gè)元素，試求同時(shí)滿足下面的兩個(gè)條件的集合C的個(gè)數(shù)： 　　(1)C A∪B，且C中含有3個(gè)元素； 　　(2)C∩A≠ （ 表示空集)?！　」仕蠹疌的個(gè)數(shù)是 + + =1084。 　　例10　3名醫(yī)生和6名護(hù)士被分配到3所學(xué)校為學(xué)生體檢，每校分配1名醫(yī)生和2名護(hù)土，不同的分配方法共有　 (　 )?！　〉诙剑簩?名護(hù)士分成3組，每組2人有：( )/ 種分法?！　〉谒牟剑簩⑺玫?組分配到3所不同的學(xué)校有 種分配法。 =540(種)。 　　分析：(二)第一步：先將6名護(hù)士分配到3所不同學(xué)校，每所學(xué)校2名，則有 (種)分法。 　　故共有=540(種)故選(D)。 　　三、解排列組臺(tái)混合問(wèn)題——采用先選后排策略 　　對(duì)于排列與組合的混合問(wèn)題，可采取先選出元素，后進(jìn)行排列的策略。 　　簡(jiǎn)析：這是一個(gè)排列與組合的混合問(wèn)題。從4個(gè)盒子中選出3個(gè)，有 種選法；第二步排列，把選出的2個(gè)球視為一個(gè)元素，與其余的2個(gè)球共3個(gè)元素對(duì)選出的3個(gè)盒子作全排列，有 種排法。 　　四、正難則反、等價(jià)轉(zhuǎn)化策略 　　對(duì)某些排列組合問(wèn)題，當(dāng)從正面入手情況復(fù)雜，不易解決時(shí)，可考慮從反面入手，將其等價(jià)轉(zhuǎn)化為一個(gè)較簡(jiǎn)單的問(wèn)題來(lái)處理。其實(shí)它就是補(bǔ)集思想。 　　簡(jiǎn)析：關(guān)掉一只燈的方法有7種，關(guān)第二只、第三只燈時(shí)要分類討論，情況較為復(fù)雜，換一個(gè)角度，從反面入手考慮。故滿足條件的關(guān)燈的方法共有10種。如a1a2b1b2a3b3b4b5a4b6b7a5a6a7。 　　例14　有2個(gè)a，3個(gè)b，4個(gè)c 共九個(gè)字母排成一排，有多少種排法? 　　分析：若將字母作為元素，1—9號(hào)位置作為位子，那么這是一個(gè)“不盡相異元素的全排列”問(wèn)題，若轉(zhuǎn)換角色，將1—9號(hào)位置作為元素，字母作為位子，那么問(wèn)題便轉(zhuǎn)化成一個(gè)相異元素不許重復(fù)的組合問(wèn)題。 　　有些問(wèn)題反面的情況為數(shù)不多，容易討論，則可用剔除法。這是解決排列組合應(yīng)用題時(shí)一種常用的解題策略。因此，采用剔除法，由10個(gè)點(diǎn)中取出4個(gè)點(diǎn)的組合數(shù)( 減去4個(gè)點(diǎn)共面的個(gè)數(shù)即為所求)。故4點(diǎn)不共面的取法有(4 +6+3)=141種。 　　解：從這10個(gè)數(shù)中取出3個(gè)不同的偶數(shù)的取法有 種；取1個(gè)偶數(shù)和2個(gè)奇數(shù)的取法有 種。 　　因此，符合題設(shè)條件的不同取法有 + 9=51種。 　　事實(shí)上，這種方法就是將相鄰的某幾個(gè)元素，優(yōu)先考慮。 　　例17　A，B，C，D，E五人并排站成一排，如A，B必相鄰，且B在A右邊，那么不同排法有 （　 ） 　　A．24種　 B．60種　 C．90種　 D．120種 　　分析：將特殊元素A，B按B在A的右邊“捆綁”看成一個(gè)大元素，與另外三個(gè)元素全排列 ，由A，B不能交換，故不再“松綁”，選A。故共有=48種。 　　例19　計(jì)劃展出10幅不同的畫(huà)，其中一幅水彩畫(huà)、4幅油畫(huà)、5幅國(guó)畫(huà)，排成一行陳列，要求同一品種的畫(huà)必須連在一起，并且水彩畫(huà)不放在兩端，那么不同的陳列方式有多少種? (　　 ) 　　A、 　　B、 　　C、 　　D、