【正文】 ?????????00103010021321?求第一行各元素的代數(shù) 余子式之和 .11211 nAAA ???解 : 第一行各元素的代數(shù)余子式之和可以表示成 nAAA 11211 ??? ?n?????????001030100211111?.11!2???????? ?? ??nj jn線(xiàn)性代數(shù) Linear Algebra 張俊敏 二 .行列式的乘法法則 引理 ： ( ) ,i j m mAa ??若 ( ) ,i j n nBB ??( ) ,i j n mCc ?? 則 d e t d e t ( ) d e t ( ) .AO ABCB?? ?????.A B B A?注： 雖然 ,A B B? 但 定理 設(shè) ，則 A B A B?nnA B R ??、線(xiàn)性代數(shù) Linear Algebra 張俊敏 推論： 對(duì)于方陣 有 1 2 1 2de t ( ( , , , ) ) de t ( ) de t ( ) de t ( ) .kkd ia g A A A A A A?12, , , kA A A推論： 若 方陣，則 de t ( ) ( de t ( ) )nnAA?A線(xiàn)性代數(shù) Linear Algebra 張俊敏 例 2 1 3 0 01 1 1 0 03 0 1 0 00 0 0 2 10 0 0 3 1???2 1 3211 1 131301?? ? ?( 9 ) 5 4 5? ? ? ? ?例 1d e t 1n???????????1d e t 1n???????????? ??????????33() nn????線(xiàn)性代數(shù) Linear Algebra 張俊敏 行列式的計(jì)算方法大致可歸納為： （ 1）利用定義直接計(jì)算，即按行（列）展開(kāi)； （ 2）利用行列式性質(zhì)將行列式三角化，或使某行（列）出現(xiàn)更多個(gè)零元素，然后按行（列）展開(kāi)； （ 3）利用行列式乘積定理及推論。 ???????????343122321A,333 1212 ????A線(xiàn)性代數(shù) Linear Algebra 張俊敏 同理可得 ,2,6,6,2 23222113 ????? AAAA,2,5,4 333231 ????? AAA,222563462????????????????A得故 ?? ? AAA11???????????????22256346221 .11125323231???????????????線(xiàn)性代數(shù) Linear Algebra 張俊敏 二 . Cramer 法則 對(duì)系數(shù)矩陣為方陣的二、三元線(xiàn)性方程組，當(dāng)系數(shù) 行列式 0?D 時(shí)，方程組有唯一解， )3,2,1( ?? iDDx ii含有 n個(gè)未知數(shù)， n個(gè)方程的線(xiàn)性方程組，與二、三元線(xiàn)性方 程組類(lèi)似，它的解也可以用 n階行列式表示。 線(xiàn)性代數(shù) Linear Algebra 張俊敏 例 ： 用 Cramer法則解線(xiàn)性方程組。 2. 理論意義：給出了解與系數(shù)的明顯關(guān)系。 3. 撇開(kāi)求解公式 ,DDx jj ? Cramer法則含下面幾層含義： 2. 如果線(xiàn)性方程組 (1)無(wú)解或有兩個(gè)不同的解，則它的系數(shù)行列式必為零 . 1. 如果線(xiàn)性方程組 (1)的系數(shù)行列式 則 (1)一定有解 ,且解是唯一的 . 0?D線(xiàn)性代數(shù) Linear Algebra 張俊敏 ????????????????????000221122221211212111nnnnnnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa???????????????有非零解。 注： ,0?D3. 如果齊次線(xiàn)性方程組的系數(shù)行列式 則齊次線(xiàn)性方程組沒(méi)有非零解。 2,0 ?? ?? 3??線(xiàn)性代數(shù) Linear Algebra 張俊敏 注：對(duì)于 n元齊次線(xiàn)性方程組的 Cramer法則的推論，常被用來(lái)解決解析幾何的問(wèn)題。 解： 四個(gè)平面相交于一點(diǎn)，即線(xiàn)性方程組 ???????????????????????00004444333322221111dzcybxadzcybxadzcybxadzcybxa有唯一解。 因?yàn)辇R次線(xiàn)性方程組有非零解的充要條件是 0?D所以，四平面相交于一點(diǎn)的條件為 04444333322221111?dcbadcbadcbadcba線(xiàn)性代數(shù) Linear Algebra 張俊敏 例 已知三次曲線(xiàn) 332210)( xaxaxaaxfy ?????在四個(gè)點(diǎn) 2,1 ???? xx 處的值為 6)2(,6)2()1()1( ??????? ffff試求系數(shù) ., 3210 aaaa解： ?????????????????????????????????6)2()2()2(62226)1()1()1(63322103322103322103210aaaaaaaaaaaaaaaa線(xiàn)性代數(shù) Linear Algebra 張俊敏 若用 Cramer法則求此方程組的解，有 323232)2()2(212221)1()1(111111???????D（考慮 范德蒙德行列式） 33332222)2(2)1(1)2(2)1(122111111???????TDD)(14jjii xx ?? ????72)22)(12)(12)(12)(12)(11(????????????線(xiàn)性代數(shù) Linear Algebra 張俊敏 5 7 684268426111611161 ???????D 7284618461116111612 ??????D1 4 486218621161116113 ????????D 7264216421611161114 ?????D87257610 ???? DDa 1727221 ????DDa27214432 ????? DDa 1727243 ??? DDa線(xiàn)性代數(shù) Linear Algebra 張俊敏 課堂練習(xí) ： 思考題 : 當(dāng)線(xiàn)性方程組的系數(shù)行列式為零時(shí) ,能否用克拉默法則解方程組 ?為什么 ?此時(shí)方程組的解如何 ? 解答 : 不能 ,此時(shí)方程組的解為無(wú)解或有無(wú)窮多解 . 線(xiàn)性代數(shù) Linear Algebra 張俊敏 小 結(jié) Cramer 法則及其應(yīng)用 矩陣可逆的判別定理及求法 返回 線(xiàn)性代數(shù) Linear Algebra 張俊敏 第四節(jié) 解線(xiàn)性方程組的消元法 問(wèn)題的引出 高斯消元法 高斯 — 若當(dāng)消元法 線(xiàn)性代數(shù) Linear Algebra 張俊敏 由前面第二章的知識(shí) ， 我們知道當(dāng)方程組的解唯一的時(shí)候 ， 可以利用克蘭姆法則求出方程組的解 ， 但隨著方程組階數(shù)的增高 ， 需要計(jì)算的行列式的階數(shù)和個(gè)數(shù)也增多 ， 從而運(yùn)算量也越來(lái)越大 ， 因此在實(shí)際求解中該方法是行不通的 . 線(xiàn)性代數(shù) Linear Algebra 張俊敏 例 解線(xiàn)性方程組 解 4 2 5 41 2 0 72 1 3 1???????????? ?? ? )2()1(121 2 31 2 3274 2 5 42 3 1xxx x xx x x????? ? ??? ? ? ??)3()2()1(???? ?? ??? ??? )3()2()1( )2()4()1(122323276 5 2 45 3 1 3xxxxxx????? ? ??? ? ? ?? )3()2()1(1 2 3121 2 34 2 5 4272 3 1x x xxxx x x? ? ??????? ? ? ?? )3()2()1(12rr?????1 2 0 74 2 5 42 1 3 1?????????2131 ( 4 )( 2 )rrrr? ? ?? ? ??????1 2 0 70 6 5 240 5 3 13????????線(xiàn)性代數(shù) Linear Algebra 張俊敏 ???? ?? ??? )3()65()2(12233276 5 24776xxxxx?? ???? ? ???? ???(1)(2)(3)1 2 0 70 6 5 2470 0 76????????????32 5()6rr? ? ??????? 消元過(guò)程總共作了三種變換： （ 1） 交換方程次序 。 （ 3） 一個(gè)方程加上另一個(gè)方程的倍 . 注 ：由于三種變換都是可逆的，所以變換前的方程組與變換后的方程組是同解的．故這三種變換是同解變換． 求解線(xiàn)性方程組實(shí)質(zhì)上是對(duì)增廣矩陣施行 3種初等運(yùn)算： (1) 對(duì)調(diào)矩陣的兩行。 (3)將矩陣的某一行所有 元素乘以非零常數(shù) k后 加到另一行對(duì)應(yīng)元素上。ji rr ?逆變換 。 (行 )記作 ji rr ? kri ? ji krr ?(1) (2) (3) ( 0 )k ?(列 )記作 ijcc?ick? ijc kc?(1) (2) (3) ( 0 )k ? 1）矩陣的初等變換 :矩陣的行變換 。 注： 線(xiàn)性代數(shù) Linear Algebra 張俊敏 B如果矩陣 經(jīng)過(guò)有限次初等變換變?yōu)榫? 陣 ，則稱(chēng)矩陣 與 等價(jià)，記作 ： AB A B A定義 ~ 注： 任意一個(gè)矩陣總可以經(jīng)過(guò)初等變換化為階梯形矩陣 。 ( 0 )1( 0 )11(1)iai a? ),3,2( ni ??作 主元 線(xiàn)性代數(shù) Linear Algebra 張俊敏 ????????????????????????)3()3(3)3(3)2(3)2(33)2(33)1(2)1(23)1(232)1(22)0(1)0(13)0(132)0(121)0(11nnnnnnnnnnnbxaxabxaxabxaxaxabxaxaxaxa??????????????照此消元 ， 直至第 步得到三角形方程組 1?n???????????????????????? )1()1()2(3)2(33)2(33)1(2)1(23)1(232)1(22)0(1)0(13)0(132)0(121)0(11nnnnnnnnnnnnbxabxaxabxaxaxabxaxaxaxa?????????????第二步 ， 0)1(22 ?a設(shè) (1)1(1)22(2)iai a? ( 3, )in?， 作 否則將方程與 （ 2）對(duì)調(diào) ， 使對(duì)調(diào)后的第一個(gè)方程的系數(shù)不為 零 。 nx 121 , xxx nn ???回代過(guò)程 ?????????????????)1()1()1()1()()1()1()1()1()()()(kikkkkikkikikkjkkkkikkijkijbaabbaaaaankkjink,2,1,1,2,1???????